Sejam, [math]\alpha[/math] um plano associado a um sistema de coordenadas cartesianas[math]\left(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\right)[/math], um ponto [math]F[/math] e uma reta [math]r[/math], denomina-se parábola o lugar geométrico dos pontos [math]P[/math], tais que [math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math].

Sejam, [math]h[/math], [math]k[/math] e [math]p[/math] constantes reais, com [math]p[/math] diferente de zero, um ponto [math]F=\left(h,k+p\right)[/math] e uma reta horizontal de equação [math]r:y-\left(k-p\right)=0[/math], a parábola [math]\rho[/math] é o lugar geométrico dos pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] tais que [math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math].[br][br]Para determinar a equação da parábola [math]\rho[/math], calculamos a equação [math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math].[br][br][math]d\left(P,F\right)=\sqrt{\left(x-h\right)^2+\left[y-\left(k+p\right)\right]^2}[/math] e [math]d\left(P,r\right)=y-\left(k-p\right)[/math][br][br][math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\sqrt{\left(x-h\right)^2+\left[y-\left(k+p\right)\right]^2}=y-\left(k-p\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(\sqrt{\left(x-h\right)^2+\left[y-\left(k+p\right)\right]^2}\right)^2=\left[y-\left(k-p\right)\right]^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-h\right)^2+\left[y-\left(k+p\right)\right]^2=\left[y-\left(k-p\right)\right]^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-h\right)^2+y^2-2y\left(k+p\right)+\left(k+p\right)^2=y^2-2y\left(k-p\right)+\left(k-p\right)^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math][br][math]\left(x-h\right)^2-2ky-2py+k^2+2kp+p^2=\left(y^2-y^2\right)-2ky+2py+k^2-2kp+p^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-h\right)^2=-2ky+2ky+2py+2py+k^2-k^2-2kp-2kp+p^2-p^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-h\right)^2=4py-4kp[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math][br][br]Portanto a equação buscada é [math]\rho:\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math] com [math]p\ne0[/math][br][br]Elementos[br][br]1 - Parâmetro [math]p[/math];[br]2 - Vértice [math]V=\left(h,k\right)[/math];[br]3 - Foco [math]F=\left[h,\left(k+p\right)\right][/math];[br]4 - Diretriz, reta horizontal de equação [math]r:y-\left(k-p\right)=0[/math];[br]5 - Eixo focal ou eixo de simetria, reta vertical de equação [math]f:x-h=0[/math];[br]6 - Latus rectum [math]d\left(L,R\right)=LR=\left|4p\right|[/math];[br]7 - Lugar geométrico dos pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] tais que [math]\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math] com [math]p\ne0[/math].[br][br]Condições[br][br]Se [math]p>0[/math] a parábola tem concavidade voltada para cima;[br]Se [math]p<0[/math] a parábola tem concavidade voltada para baixo.[br]

A equação da parábola vertical [math]\rho:\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math] com [math]p\ne0[/math] é chamada de equação reduzida, ou equação na forma reduzida. Quando desenvolve-se a equação reduzida, obtém-se uma equação da forma [math]Ax^2+Dx+Ey+F=0[/math] com [math]A\ne0[/math], tal equação é dita equação geral, ou equação na forma geral.

Sejam [math]h[/math], [math]k[/math] e [math]p[/math], constantes reais com [math]p\ne0[/math], um ponto [math]F=\left(h+p,k\right)[/math] uma reta vertical de equação [math]r:x-\left(h-p\right)=0[/math], a parábola [math]\rho[/math] é o lugar geométrico dos pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] tais que [math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math].[br][br]Para determinar a equação de [math]\rho[/math], calculamos a equação [math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math][br][br][math]d\left(P,F\right)=\sqrt{\left[x-\left(h+p\right)\right]^2+\left(y-k\right)^2}[/math] e [math]d\left(P,r\right)=x-\left(h-p\right)[/math][br][br][math]d\left(P,F\right)=d\left(P,r\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\sqrt{\left[x-\left(h+p\right)\right]^2+\left(y-k\right)^2}=x-\left(h-p\right)[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(\sqrt{\left[x-\left(h+p\right)\right]^2+\left(y-k\right)^2}\right)^2=\left[x-\left(h-p\right)\right]^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left[x-\left(h+p\right)\right]^2+\left(y-k\right)^2=\left[x-\left(h-p\right)\right]^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2-2x\left(h+p\right)+\left(h+p\right)^2+\left(y-k\right)^2=x^2-2x\left(h-p\right)+\left(h-p\right)^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2-x^2-2hx-2px+h^2+2hp+p^2+\left(y-k\right)^2=-2hx+2px+h^2-2hp+p^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(y-k\right)^2=-2hx+2hx+2px+2px+h^2-h^2-2hp-2hp+p^2-p^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math][math]\left(y-k\right)^2=4px-4hp[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(y-k\right)^2=4p\left(x-h\right)[/math].[br][br]Portanto a equação buscada é [math]\rho:\left(y-k\right)^2=4p\left(x-h\right)[/math] com [math]p\ne0[/math][br][br]Elementos[br][br]1 - Parâmetro [math]p[/math];[br]2 - Vértice [math]V=\left(h,k\right)[/math];[br]3 - Foco [math]F=\left[\left(h+p\right),k\right][/math];[br]4 - Diretriz, reta vertical de equação [math]r:x-\left(h-p\right)=0[/math];[br]5 - Eixo Focal, ou eixo de simetria é reta horizontal de equação [math]f:y-k=0[/math][br]6 - Latus rectum [math]LR=\left|4p\right|[/math];[br]7 - Lugar geométrico dos pontos [math]P=\left(x,y\right)[/math] tais que [math]\left(y-k\right)^2=4p\left(x-h\right)[/math] com [math]p\ne0[/math].[br][br]Condições[br][br]Se [math]p>0[/math] a parábola tem concavidade voltada para a direita.[br]Se [math]p<0[/math] a parábola tem concavidade voltada para a esquerda.

A equação da parábola vertical [math]\rho:\left(y-k\right)^2=4p\left(x-h\right)[/math] com [math]p\ne0[/math] é chamada de equação reduzida, ou equação na forma reduzida. Quando desenvolve-se a equação reduzida, obtém-se uma equação da forma [math]Cy^2+Dx+Ey+F=0[/math] com [math]C\ne0[/math] , tal equação é dita equação geral, ou equação na forma geral.

Como visto, do estudo da equação reduzida de uma parábola, é possível deduzir seus elementos e do seu desenvolvimento, obtém-se a equação na forma geral, ou seja, dada a equação na forma reduzida de uma parábola obtém-se a equação na forma geral. Por outro lado, dada a equação na forma geral de uma parábola, as informações sobre seus elementos não são deduzidas de forma imediata, para tanto, deve-se reescrevê-la na forma reduzida. [br][br]A questão é: Como reescrever a equação de uma parábola da forma geral para a forma reduzida?[br][br]Para reescrever a equação geral de modo a obter a equação reduzida de uma parábola aplica-se o método de completar quadrados.

Um dos métodos mais antigos de resolver uma equação do segundo grau, é o método de Completar quadrado, seu desenvolvimento é atribuído ao matemático árabe al-Khwarizmi (750 a 850 d.C.), considerado o patrono da álgebra. Nas equações a incógnita ele chamava "coisa", a ele também é atribuído a utilização da letra "x" para representá-la.[br][br]Antes de tratar do desenvolvimento do método de completar quadrados, considere o produto notável quadrado da soma de dois termos[br][br][math]\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2[/math][br][br]que pode ser expressado como um algoritmo "o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo". Ou o produto notável quadrado da diferença entre dois termos.[br][br][math]\left(a-b\right)^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2[/math][br][br]Equações do segundo grau, que possuem a forma desenvolvida de um destes produtos notáveis, podem representar a área de regiões quadradas e são conhecidos como trinômio quadrado perfeito.[br][br]Observe as Figuras 01 e 02, ambas representam uma região quadrada. [br][br]O quadrado da Figura 01, por exemplo, é composto por[br][br]1 - um quadrado azul, cujo lado tem medida desconhecida, representaremos o lado do quadrado por [math]x[/math] e a região azul é dada por [math]x\times x=x^2[/math];[br][br]2 - dois retângulos verdes, cada um com um lado de medida [math]1[/math] e o outro de medida [math]x[/math], e sua região é dada por [math]1\times x=x[/math], como são dois retângulos, a região verde tem medida [math]2x[/math];[br][br]3 - e um quadrado amarelo de lado unitário, cuja região é dada por [math]1\times1=1^2=1[/math].[br][br]Ou seja, pela soma das regiões obtém-se a área A do quadrado, ou seja [math]A=x^2+2x+1[/math].[br][br]Observe ainda que o lado do quadrado tem medida [math]\left(x+1\right)[/math], ou seja a área A, pode ser obtida pelo seguinte desenvolvimento[br][br][math]A=\left(x+1\right)\left(x+1\right)=\left(x+1\right)^2=x^2+2x+1[/math][br][br]ou seja, uma região quadrada representada por uma equação do segundo grau, da forma trinômio quadrado perfeito.[br][br]De forma análoga, a área A do quadrado da Figura 02, pode se obtida da seguinte forma[br][br][math]A=\left(x+3\right)\left(x+3\right)=\left(x+3\right)^2=x^2+6x+9[/math].[br][br][br]

Observe nas Figuras 03 e 04 representações de regiões quadradas dadas por equações do tipo [math]\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2[/math].[br][br]Na Figura 03, tem-se uma representação de uma região de equação [math]\left(x-1\right)^2=x^2-2x+1[/math]. Note que:[br][br]1 - O quadrado completo, tem lado igual a [math]x[/math], logo tem região de equação [math]x\times x=x^2[/math];[br]2 - Deste quadrado, é subtraída a região rosa, ou seja, dois retângulos, onde cada um tem área de altura igual a [math]1[/math] e largura igual a [math]x[/math], ou seja um retângulo de área [math]1\times x=x[/math], como são dois retângulos, retira-se uma área igual a [math]2x[/math]. Observe na decomposição da figura e respectiva operação, que neste processo de retirada de dois retângulos iguais, o pequeno quadrado da região superior é retirado duas vezes;[br]3 - Por esta razão, observa-se que no desenvolvimento da equação o quadrado unitário é adicionado, pois é a pequena região quadrada que falta para que a área do quadrado azul esteja correta.[br]2 - Buscamos o quadrado da diferença, ou seja, a região azul, cujo lado tem é dado por [math]\left(x-1\right)[/math], e a região é dada por [math]\left(x-1\right)^2=x^2-2x+1[/math][br][br]De modo análogo a região azul da Figura 04 tem equação[br][br][math]\left(x-2\right)^2=x^2-2x+4[/math]

O método de completar quadrado pode ser utilizado para resolver (encontrar as raízes) equações do segundo grau, no contexto deste estudo, a finalidade da aplicação do método é encontrar uma equação equivalente à uma equação dada.[br][br]Neste contexto, o método consiste em completar um trinômio quadrado perfeito e escrevê-lo na forma de um binômio ao quadrado, ou seja,[br][br][math]a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2[/math] ou [math]a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2[/math][br][br]Exemplo 01, representada na Figura 05.[br][br]Dada a equação [math]R=x^2+8x+3[/math], aplique o método de completar quadrados e reescreva a equação obtendo uma equação na forma fatorada[br][br]1 - Inicialmente, tomando a equação dada associe os temos que contém a incógnita [math]x[/math][br][br][math]R=x^2+8x+3=\left(x^2+8x\right)+3[/math][br][br]2 - Observe os termos associados e compare com a forma [math]\left(a^2+2ab+b^2\right)=\left(a+b\right)^2[/math] onde [math]a=x[/math] e [math]b=4[/math] e formam o trinômio [math]\left(x^2+8x+16\right)=\left(x+4\right)^2[/math], deste modo, o valor que completa o trinômio é o número [math]16[/math]. Vale ressaltar, que para não alterar a equação, deve-se acrescentar o valor [math]\left(16-16\right)=0[/math] da seguinte forma[br][br][math]R=x^2+8x+3=\left(x^2+8x\right)+3=\left(x^2+8x+16\right)+\left(-16+3\right)=\left(x+4\right)^2+\left(-13\right)=\left(x+4\right)^2-13[/math].[br][br]Portanto [math]R=x^2+8x+3=\left(x+4\right)^2-13[/math], cuja representação geométrica pode ser visualizada na Figura 05.[br][br]Outra forma de aplicar o método é tomar a equação dada com [math]R=0[/math], assim[br][br][math]x^2+8x+3=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+8x=-3[/math][br][br]Sabendo que o valor que completa o trinômio quadrado perfeito é [math]16[/math], e considerando as propriedades da igualdade, tem-se que[br][br][math]x^2+8x+3=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+8x=-3[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+8x+16=-3+16[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x+4\right)^2=13[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x+4\right)^2-13=0[/math][br][br]Como tomamos [math]R=0[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]R=\left(x+4\right)^2-13[/math]

Exemplo 02, representado na Figura 06[br][br]Dada a equação [math]R=x^2+4x+12[/math], aplique o método de completar quadrados e obtenha uma equação equivalente na forma fatorada.[br][br]1 - Tomando a equação dada, associe os termos que contém a incógnita [math]x[/math][br][br][math]R=x^2+4x+12=\left(x^2+4x\right)+12[/math][br][br]2- Observe os termos associados e compare com a forma [math]\left(a^2+2ab+b^2\right)=\left(a+b\right)^2[/math] onde [math]a=x[/math] e [math]b=2[/math] e formam o trinômio [math]\left(x^2+4x+4\right)=\left(x+2\right)^2[/math], deste modo o valor que completa o trinômio é [math]4[/math], então[br][br][math]R=x^2+4x+12=\left(x^2+4x\right)+12=\left(x^2+4x+4\right)+\left(-4+12\right)=\left(x+2\right)^2+8[/math].[br][br]Portanto [math]R=x^2+4x+12=\left(x+2\right)^2+8[/math] cuja representação gráfica pode ser observado na Figura 06[br][br]Pela segunda forma de aplicar o método (tomando R=0)[br][br][math]x^2+4x+12=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+4x=-12[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+4x+4=-12+4[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x+2\right)^2=-8[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x+2\right)^2+8=0[/math][br][br]Portanto [math]R=\left(x+2\right)^2+8[/math]

Exemplo 03[br][br]Dada a equação geral da parábola [math]\rho:x^2-8x-4y+24=0[/math] escreva a equação reduzida e determine os elementos da parábola e faça um esboço do gráfico.[br][br]Solução:[br][br]Visto que o termo com expoente dois esta na incógnita [math]x[/math], a parábola [math]\rho[/math] é vertical, portanto a equação que devemos escrever tem a forma [math]\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math] com [math]p\ne0[/math]. Tomando a equação dada e aplicando o método de completar quadrados, tem-se que[br][br][math]x^2-8x-4y+24=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2-8x=4y-24[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2-8x+16=4y-24+16[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-4\right)^2=4y-8[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-4\right)^2=4\left(y-2\right)[/math][br][br]Portanto a equação da parábola [math]\rho[/math] na forma reduzida é [math]\rho:\left(x-4\right)^2=4\left(y-2\right)[/math], de onde obtém-se os seguintes elementos:[br][br]1 - Parâmetro: se [math]4p=4[/math], então [math]p=1[/math];[br]2 - Vértice: [math]V=\left(h,k\right)=\left(4,2\right)[/math];[br]3 - Foco: [math]F=\left(h,k+p\right)=\left(4,2+1\right)=\left(4,3\right)[/math];[br]4 - Diretriz: [math]d:y-\left(k-p\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y-\left(2-1\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y-1=0[/math] (reta horizontal);[br]5 - Eixo Focal: [math]f:x-k=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f:x-2=0[/math] (reta vertical);[br]6 - Latus rectum: [math]LR=\left|4p\right|=\left|4\right|=4[/math].[br][br]A Figura 07 é o esboço do gráfico da parábola.

Exemplo 04[br][br]Dada a equação geral da parábola [math]\rho:x^2+4x+2y+1=0[/math] escreva a equação reduzida, determine os elementos e faça um esboço da parábola.[br][br]Solução: [br][br]Visto que o termo quadrático esta na incógnita [math]x[/math], a parábola é vertical, de modo que a equação que devemos escrever tem a forma [math]\rho:\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math] com [math]p\ne0[/math]. Tomando a equação dada e aplicando o método de completar quadrado, tem-se que[br][br][math]\rho:x^2+4x+2y+1=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+4x=-2y-1[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2+4x+4=-2y-1+4[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x+2\right)^2=-2y+3[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x+2\right)^2=-2\left(y-\frac{3}{2}\right)[/math][br][br]Portanto a equação da parábola [math]\rho[/math] na forma reduzida é [math]\rho:\left(x+2\right)^2=-2\left(y-\frac{3}{2}\right)[/math], de onde obtém-se os seguintes elementos:[br][br]1 - Parâmetro: [math]4p=-2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]p=-\frac{1}{2}[/math];[br]2 - Vértice: [math]V=\left(h,k\right)=\left(-2,\frac{3}{2}\right)[/math];[br]3 - Foco: [math]F=\left(h,k+p\right)=\left(-2,\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)=\left(-2,\frac{2}{2}\right)=\left(-2,1\right)[/math];[br]4 - Diretriz: [math]d:y-\left(k-p\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y-\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y-\left(\frac{4}{2}\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y-2=0[/math];[br]5 - Eixo Focal: [math]f:x-h=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f:x+2=0[/math];[br]6 - Lactus rectum: [math]LR=\left|4p\right|=\left|4\times\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\left|-2\right|=2[/math].[br][br]A Figura 08 é um esboço do gráfico da parábola.[br][br]

Exemplo 05[br][br]Dada a equação geral da parábola [math]\rho:y^2-4x-2y+1=0[/math] escreva a equação reduzida e determine os elementos da parábola e faça um esboço do gráfico.[br][br]Solução:[br][br]Visto que o termo com expoente dois esta na incógnita [math]y[/math], a parábola [math]\rho[/math] é horizontal, portanto a equação que devemos escrever tem a forma [math]\left(y-k\right)^2=4p\left(x-h\right)[/math] com [math]p\ne0[/math]. Tomando a equação dada e aplicando o método de completar quadrados, tem-se que[br][br][math]y^2-4x-2y+1=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]y^2-2y=4x-1[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]y^2-2y+1=4x-1+1[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(y-1\right)^2=4x[/math] [br][br]Portanto a equação da parábola [math]\rho[/math] na forma reduzida é [math]\rho:\left(y-1\right)^2=4x[/math], de onde obtém-se os seguintes elementos:[br][br]1 - Parâmetro: se [math]4p=4[/math], então [math]p=1[/math];[br]2 - Vértice: [math]V=\left(h,k\right)=\left(0,1\right)[/math];[br]3 - Foco: [math]F=\left(h+p,k\right)=\left(0+1,1\right)=\left(1,1\right)[/math];[br]4 - Diretriz: [math]d:x-\left(h-p\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:x-\left(0-1\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:x+1=0[/math] (reta vertical);[br]5 - Eixo Focal: [math]f:y-k=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f:y-1=0[/math] (reta horizontal);[br]6 - Latus rectum: [math]LR=\left|4p\right|=\left|4\right|=4[/math].[br][br]A Figura 09 é o esboço do gráfico da parábola.[br][br]

Exemplo 06[br][br]Dada a equação geral da parábola [math]\rho:y^2+4x-4y-8=0[/math] escreva a equação reduzida e determine os elementos da parábola e faça um esboço do gráfico.[br][br]Solução:[br][br]Visto que o termo com expoente dois esta na incógnita [math]y[/math], a parábola [math]\rho[/math] é horizontal, portanto a equação que devemos escrever tem a forma [math]\left(y-k\right)^2=4p\left(x-h\right)[/math] com [math]p\ne0[/math]. Tomando a equação dada e aplicando o método de completar quadrados, tem-se que[br][br] [math]y^2+4x-4y-8=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]y^2-4y=-4x+8[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]y^2-4y+4=-4x+8+4[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(y-2\right)^2=-4x+12[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(y-2\right)^2=-4\left(x-3\right)[/math] [br][br]Portanto a equação da parábola [math]\rho[/math] na forma reduzida é [math]\rho:\left(y-2\right)^2=-4\left(x-3\right)[/math], de onde obtém-se os seguintes elementos:[br][br]1 - Parâmetro: se [math]4p=-4[/math], então [math]p=-1[/math] ([math]p<0[/math] a parábola tem abertura voltada a esquerda)[br]2 - Vértice: [math]V=\left(h,k\right)=\left(3,2\right)[/math];[br]3 - Foco: [math]F=\left(h+p,k\right)=\left(3-1,2\right)=\left(2,2\right)[/math];[br]4 - Diretriz: [math]d:x-\left(h-p\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:x-\left(3+1\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:x-4=0[/math] (reta vertical);[br]5 - Eixo Focal: [math]f:y-k=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f:y-2=0[/math] (reta horizontal);[br]6 - Latus rectum: [math]LR=\left|4p\right|=\left|4\times\left(-1\right)\right|=\left|-4\right|=4[/math].[br][br]A Figura 10 é o esboço do gráfico da parábola.

Exemplo 07[br][br]Dada a equação geral da parábola [math]\rho:2x^2-18x-18y+27=0[/math] escreva a equação reduzida e determine os elementos da parábola e faça um esboço do gráfico.[br][br]Solução:[br][br]Visto que o termo com expoente dois está na incógnita [math]x[/math], a parábola [math]\rho[/math] é vertical, portanto a equação que devemos escrever tem a forma [math]\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math] com [math]p\ne0[/math]. Tomando a equação dada e aplicando o método de completar quadrados, tem-se que[br][br] [math]2x^2-18x-18y+27=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2-9x-9y+\frac{27}{2}=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2-9x=9y-\frac{27}{2}[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]x^2-9x+\frac{81}{4}=9y-\frac{27}{2}+\frac{81}{4}[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-\frac{9}{2}\right)^2=9y+\frac{27}{4}[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]\left(x-\frac{9}{2}\right)^2=9\left(y+\frac{3}{4}\right)[/math] [br][br]Portanto a equação da parábola [math]\rho[/math] na forma reduzida é [math]\left(x-\frac{9}{2}\right)^2=9\left(y+\frac{3}{4}\right)[/math], de onde obtém-se os seguintes elementos:[br][br]1 - Parâmetro: se [math]4p=9[/math], então [math]p=\frac{9}{4}[/math];[br]2 - Vértice: [math]V=\left(h,k\right)=\left(\frac{9}{2},-\frac{3}{4}\right)[/math];[br]3 - Foco: [math]F=\left(h,k+p\right)=\left(\frac{9}{2},-\frac{3}{4}+\frac{9}{4}\right)=\left(\frac{9}{2},\frac{6}{4}\right)=\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right)[/math];[br]4 - Diretriz: [math]d:y-\left(k-p\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y-\left(-\frac{3}{4}-\frac{9}{4}\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y-\left(-\frac{12}{4}\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y-\left(-3\right)=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]d:y+3=0[/math] (reta horizontal);[br]5 - Eixo Focal: [math]f:x-h=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f:x-\frac{9}{2}=0[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]f:2x-9=0[/math] (reta vertical);[br]6 - Latus rectum: [math]LR=\left|4p\right|=\left|4\times\frac{9}{4}\right|=\left|9\right|=9[/math].[br][br]A Figura 11 é o esboço do gráfico da parábola.