aus Engel, J. (2018): Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion. Berlin: Springer Spektrum, S. 173.
Wachstumsmodelle
Table of Contents
- Wachstumsmodelle
- Lineares Wachstum
- Exponentielles Wachstum
- Richtungsfeld für y' = k·y
- Entwicklung von Bakterien
- Simulation des radioaktiven Zerfalls
- Verkaufte Smartphones - beschränktes Wachstum
- Beschränktes Wachstum
- Beschränktes Wachstum: Abkühlungsprozess
- Beschränktes Wachstum: Richtungsfeld
- Logistisches Wachstum
- Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
- Weltbevölkerung - logistisches Wachstum
- Die logistische Gleichung
- Räuber-Beute-Modelle
- Räuber - Beute - Modell
- Epidemie
- Ausbreitung einer Epidemie: einfaches Modell
- Ausbreitung einer Epidemie: verbessertes Modell
- Ausbreitung einer Epidemie: nochmals verbessertes Modell
- Ausbreitung einer Epidemie: SEIR-Modell
- Weitere Modelle
- Radioaktiver Zerfall - Mutter- und Tochtersubstanz
Lineares Wachstum
Räuber - Beute - Modell
Das [b]Modell [/b]beschreibt die Entwicklung der [b]Anzahl von Beutetieren B und Räubern R[/b] (nach [b]Lotka [/b]und [b]Volterra[/b], um 1920). [br]Grundlage bilden [b]zwei gekoppelte Differentialgleichungen 1. Ordnung[/b] für B und R:[br][br][math]\frac{dB}{dt}=fb\cdot B\left(t\right)-re\cdot B\left(t\right)\cdot R\left(t\right)[/math][br][math]\frac{dR}{dt}=fr\cdot B\left(t\right)\cdot R\left(t\right)-tf\cdot R\left(t\right)[/math][br][br][table][tr][td]B Anzahl der Beutetiere (200)[br]fb Fortpflanzungsfaktor der Beutetiere (0,05) [br]re Reißfaktor (0,001)[/td][td]R Anzahl der Räuber (50)[br]fr Fortpflanzungsfaktor der Räuber (0,0002)[br]tf Todesfaktor der Räuber (0,03)[/td][/tr][/table][br]Zur Berechnung für die Tabellenkalkulation werden die beiden folgenden [b]Differenzengleichungen [/b]verwendet:[br][math]B_{n+1}=B_n+fb\cdot B_n-re\cdot B_n\cdot R_n[/math] bzw. [math]B(t+\Delta t)=B(t)+fb\cdot B(t)\cdot\Delta t-re\cdot B(t)\cdot R(t)\cdot\Delta t[/math][br][math]R_{n+1}=R_n+fr\cdot B_n\cdot R_n-tf\cdot R_n[/math] bzw. [math]R(t+\Delta t)=R(t)+fr\cdot B(t)\cdot R(t)\cdot\Delta t-tf\cdot R(t)\cdot\Delta t[/math][br]
Ausbreitung einer Epidemie: einfaches Modell
Ein sehr [b]einfaches Modell[/b] zur Beschreibung der Ausbreitung einer Epidemie (Grippe, Corona/Covid-19, ...) kann durch folgende Formeln beschrieben werden.[br]Dabei bezeichnet [b]G[sub]n[/sub][/b] die Anzahl der [b]Gesunden [/b]zum Zeitpunkt n, [b]K[sub]n[/sub][/b] die Anzahl der [b]Kranken [/b]zum Zeitpunkt n und [b]k[/b] die [b]Kontaktrate[/b].[br][center] [math]G_{n+1}=G_n-\left(K_{n+1}-K_n\right)[/math][br][math]K_{n+1}=K_n+k\cdot K_n\cdot G_n[/math] [/center]Die Anzahl der Gesunden zum neuen Zeitpunkt G[sub]n+1[/sub] ergibt sich aus der Anzahl der bisher Gesunden G[sub]n[/sub] verringert um die Anzahl der Neuerkrankten, also die Anzahl der Kranken zum neuen Zeitpunkt K[sub]n+1[/sub] minus der Anzahl der Erkrankten zum vorigen Zeitpunkt K[sub]n[/sub].[br]Die Anzahl der Kranken zum neuen Zeitpunkt K[sub]n+1[/sub] ergibt sich aus der Anzahl der bisher Erkrankten K[sub]n[/sub] vermehrt um die Anzahl der Neuerkrankten. Für diese Anzahl kann man annehmen, dass sie proportional zu der Anzahl der bisher Erkrankten K[sub]n[/sub] und zur Anzahl der bisher Gesunden G[sub]n[/sub] ist. Der Proportionalitätsfaktor k gibt die Kontaktrate an.[br][br]Hinweis für die Umsetzung in der Tabelle:[br]Nach der Eingabe der Anfangswerte G[sub]0[/sub] und K[sub]0[/sub] in den Zellen B2 und C2 beginnt man die rekursive Festlegung am besten in der Zelle C3 mit [i]= C2 + k*C2*B2[/i] und anschließend erst in der Zelle B3 mit [i]=B2 - (C3 - C2)[/i].[br][br]Aus dem diskreten Ansatz der Differenzengleichungen werden für eine kontinuierliche Beschreibung mithilfe eines stetigen Modells die Differentialgleichungen[br][center][math]G'\left(t\right)=-K'\left(t\right)[/math][br][math]K'\left(t\right)=k\cdot K\left(t\right)\cdot G\left(t\right)[/math][/center]Wird die Gesamtbevölkerung mit P bezeichnet, so gilt G + K = P und aus der letzten Differentialgleichung wird [center][math]K'\left(t\right)=k\cdot K\left(t\right)\cdot \left(P-K\left(t\right) \right)[/math][/center] die aus der Beschreibung des logistischen Wachstum bekannt ist.[br][br][i]Hinweis:[br]Dieses Modell kann nicht der Realität entsprechen, da alle Personen in dieser Population erkranken. Das Modell muss also in einem weiteren Durchlauf des Modellierungskreislauf verbessert werden.[/i][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Anfangszahl der Gesunden [b]G[sub]0[/sub][/b] und Kranken [b]K[sub]0[/sub][/b] und die Kontaktrate [b]k[/b].
Radioaktiver Zerfall - Mutter- und Tochtersubstanz
Zerfallsgesetz
Die Änderung der Anzahl der radioaktiven Atomkerne einer Muttersubstanz N[sub]M[/sub] ist proportional zur Anzahl der momentan vorhandenen Atomkerne N[sub]M[/sub] (Zerfallskonstante λ[sub]1[/sub]).[br]Gleichzeitig kann die entstehende Tochtersubstanz N[sub]T[/sub] ebenfalls wieder radioaktiv sein und nach derselben Gesetzmäßigkeit mit der Zerfallskonstanten λ[sub]2[/sub] weiter zerfallen. Hier treten also Neubildung und Zerfall gemeinsam auf.[br][br]Die Differenzengleichungen für diesen Fall lauten[br][math]N_M\left(t+\Delta t\right)=N_M-\lambda_1\cdot N_M\left(t\right)\cdot\Delta t[/math][br][math]N_T\left(t+\Delta t\right)= N_T + \left( \lambda_1\cdot N_M\left(t\right) -\lambda_2\cdot N_T(t)[br] \right) \cdot\Delta t[/math][br][br]Ein stetiges Modell wird durch die folgenden Differentialgleichungen beschrieben.[br][math]\frac{dN_1\left(t\right)}{dt}=-k_1\cdot N_1\left(t\right)[/math][br][math]\frac{dN_2\left(t\right)}{dt}=-k_2\cdot N_2\left(t\right) + k_1\cdot N_1\left(t\right)[/math][br]Die Lösungen lauten[br][math]N_1\left(t\right)=N_0\cdot e^{-k_1\cdot t}[/math] [math]N_2\left(t\right)=\frac{N_0\cdot k_1}{k_2-k_1}\cdot\left(e^{-k_1\cdot t}-e^{-k_2\cdot t}\right)[/math][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Wirkt sich die Zerfallskonstanten λ[sub]2[/sub] auch auf den Zerfall der Muttersubstanz M aus?[br]Was bedeutet es, wenn die Zerfallskonstanten λ[sub]2[/sub] = 0 ist?