제곱하여 [math]-1[/math]이 되는 새로운 수를 생각하고 이것을 기호 [math]i[/math]로 나타낸다. 즉[br] [math]i^2=-1[/math][br]이다. 이러한 수 [math]i[/math]를 허수단위라 하고, 제곱하여 [math]-1[/math]이 되는 수이므로[br] [math]i=\sqrt{-1}[/math][br]과 같이 나타낸다.[br]임의의 두 실수 [math]a,b[/math]에 대하여[br] [math]a+bi[/math][br]꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 하고, [math]a[/math]를 복소수의 실수부분, [math]b[/math]를 허수부분이라 한다.[br]한편 [math]0i=0[/math]으로 정하면 임의의 실수 [math]a[/math]는[br] [math]a=a+0i[/math][br]로 나타낼 수 있으므로 실수도 복소수이다.[br]또 실수가 아닌 복소수 [math]a+bi(b\ne0)[/math]를 허수라 한다.

실수를 표현할 때 수직선을 사용하는 것처럼 평면을 사용하여 복소수를 나타낼 수 있다. [b]복소평면[/b]은 복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 개발된 평면으로 서로 직교하는 [b]실수축[/b]과 [b]허수축[/b]으로 이루어져 있다. 이는 복소수의 실수부분이 실수축에, 허수부분이 허수축에 대응된 좌표평면으로 볼 수 있다.[br][br]예를 들어 복소평면에 [math]2+3i,1-i,2-3i,3i,-3[/math]을 복소평면에 나타내면 <그림1>과 같다.

아래 지오지브라 애플릿에 [b]복소수[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon] 도구를 이용하여 복소수를 나타내어보자.[br][list][*]복소수 도구를 선택한 후 복소수를 나타낼 지점을 클릭하면 복소수를 만들 수 있다.[/*][/list][br]복소수 [math]5+2i[/math], [math]3i[/math], [math]-4[/math], [math]-6+i[/math], [math]-2i[/math], [math]3-i[/math]를 나타내어보자.

복소수는 평면에 나타낼 수 있으므로 극좌표 형식으로 나타낼 수도 있다. 이를 위해 복소수의 크기와 각을 지정해야 한다. 복소수의 [b]크기[/b]는 복소평면에 나타낸 복소수와 원점까지의 거리로 [math]r[/math]로 나타낸다. 즉, 복소수 [math]a+bi[/math]의 크기 [math]r[/math]는[br] [math]r=\sqrt{a^2+b^2}[/math][br]이다. 예를 들어 복소수 [math]2+3i[/math]의 크기 [math]r[/math]는[br] [math]r=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}[/math][br]이다.[br][br]복소평면에서 원점과 복소수를 연결한 선분과 실수축의 양의 부분이 이루는 각을 복소수의 [b]편각[/b]이라고 하며, [math]\theta[/math]로 나타낸다. 예를 들어 복소수 [math]2i[/math], [math]-2[/math], [math]1+i[/math]의 편각은 각각 [math]90^\circ[/math], [math]180^\circ[/math],[math]45^\circ[/math]이다.[br][br][center][img]https://www.geogebra.org/resource/asnfuy2u/dXO1MkZWXkWB2yiw/material-asnfuy2u.png[/img][/center]크기가 [math]r[/math]이며, 편각이 [math]\theta[/math]인 복소수 [math]a+bi[/math]에서 실수부분 [math]a[/math]와 허수부분 [math]b[/math]는 삼각함수를 이용하여[br] [math]a=r\cos\theta[/math], [math]b=r\sin\theta[/math][br]로 나타낼 수 있으므로 [br] [math]a+bi=r\cos\theta+ir\sin\theta[/math][br]라고 할 수 있다. 이처럼 [math]r\cos\theta+ir\sin\theta[/math]와 같이 나타내는 것을 복소수 [math]a+bi[/math]의 [b]극형식[/b]이라고 한다.