Las [b][color=#ff0000]alturas[/color][/b] de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por el vértice opuesto. Se cortan las tres en el [color=#ff0000][b]ortocentro H[/b][/color].

¿El ortocentro siempre se encuentra en el interior del triángulo? Averigua cuando está dentro, en el perímetro (¿exactamente dónde?) o en el exterior del triángulo. Mueve para ello los vértices y fíjate en los valores de los ángulos.[br][br]Sitúa alternativamente los vértices en la posición en la que se encuentra [color=#ff0000][b]H[/b][/color]. ¿Donde se sitúa entonces [color=#ff0000][b]H[/b][/color]?[br][br]Por tanto, ¿cuál es el ortocentro del triángulo [b][color=#0000ff]AB[/color][color=#ff0000]H[/color][/b]? ¿y del [b][color=#0000ff]BC[/color][color=#ff0000]H[/color][/b]? ¿y del [b][color=#0000ff]CA[/color][color=#ff0000]H[/color][/b]? Los cuatro puntos constituyen un [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/CuadriverticeOrtocentrico.html]Cuadrivértice ortocéntrico[/url].[br][br]El penúltimo punto utiliza el concepto de [url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/PotenciaPuntoCircunferencia.html]potencia de un punto respecto de una circunferencia[/url]: El producto de los segmentos desde un punto hasta la circunferencia en una misma recta es constante, independiente de la recta.[br][br]El simétrico [color=#ff7700][b]B''[/b][/color] de [color=#ff0000][b]H[/b][/color] respecto del punto medio del lado [color=#0000ff][b]b[/b][/color], [color=#0000ff][b]M[sub]b[/sub][/b][/color], forma con [color=#0000ff][b]A[/b][/color], [color=#ff0000][b]H[/b][/color] y [color=#0000ff][b]C[/b][/color] un paralelogramo, puesto que sus diagonales se cortan en su punto medio. Por tanto [b]∠[color=#0000ff]C[/color][color=#ff7700]B''[/color][color=#0000ff]A[/color] = ∠[color=#0000ff]A[/color][color=#ff0000]H[/color][color=#0000ff]C[/color] = ∠[color=#0000ff]A[/color][color=#ff00ff]Q[/color][color=#0000ff]C[/color][/b] y [color=#ff7700][b]B''[/b][/color] también está en la circunferencia circunscrita. Igual ocurre con [color=#ff7700][b]A''[/b][/color] y [color=#ff7700][b]C''[/b][/color]. Por tanto, la circunferencia homotética de la circunscrita con centro [color=#ff0000][b]H[/b][/color] y razón [b]½[/b] pasa por los pies de las alturas, por los puntos medios de los lados y por los puntos medios del ortocentro y los vértices (en blanco en la figura). Se trata de la [b][color=#ff7700][url=http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Circunferencia9P.html]circunferencia de los 9 puntos[/url][/color][/b] o de [b][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Karl_Wilhelm_Feuerbach]Feuerbach[/url][/b].[br][br]Obsérvese que esto implica que [b]∠[color=#0000ff]B[/color][color=#ff00ff]Q[/color][color=#ff7700]B''[/color][/b] es recto y por tanto [b][color=#0000ff]B[/color][color=#ff7700]B''[/color][/b] es un diámetro de la circunferencia circunscrita [b][color=#ff00ff]c[sub]C[/sub][/color][/b], del mismo modo que [b][color=#0000ff]A[/color][color=#ff7700]A''[/color][/b] y [b][color=#0000ff]B[/color][color=#ff7700]B''[/color][/b]. Como [b][color=#0000ff]A[/color][color=#ff7700]B''[/color] = [color=#ff0000]H[/color][color=#0000ff]C[/color][/b], se tiene que la suma de sus cuadrados es igual al cuadrado del diámetro, y lo mismo para los otros casos:[br][br][b][b][color=#0000ff]A[b][color=#0000ff]B[/color][/b][/color][/b]² + [b][color=#ff0000]H[b][color=#0000ff]C[/color][/b][/color][/b]² = [b][color=#0000ff]B[b][color=#0000ff]C[/color][/b][/color][/b]² + [b][color=#ff0000]H[b][color=#0000ff]A[/color][/b][/color][/b]² = [b][color=#0000ff]C[/color][/b][b][color=#0000ff]A[/color][/b]² + [b][color=#ff0000]H[b][color=#0000ff]B[/color][/b][/color][/b]² = [color=#ff00ff]d[/color]²[/b][br][br]donde [b][color=#ff00ff]d[/color][/b] es el diámetro de [b][color=#ff00ff]c[sub]C[/sub][/color][/b].[br][br]