Arbeiten mit Funktionen
Es handelt sich um eine Zusammenstellung von Arbeitsblättern zum Funktionsbegriff am Charlotte-Wolff-Kolleg. Zunächst für den Unterricht in der Einführungsphase ohne Differentialrechnung. Dann für die Kursphase mit Differentialrechnung.
Table of Contents
- Basiswissen
- Basiswissen Algebra
- Grundwissen Potenzrechnung
- Arbeit mit Gleichungen
- lineare Gleichungssysteme
- Grundbegriffe zum Thema Funktionen
- Monotonie von Funktionen
- Symmetrie zum Koordinatenursprung
- Symmetrie zur y-Achse
- Symmetrie von Funktionen
- Lineare Funktionen
- Lineare Funktion und Graph
- allgemeine lineare Funktion
- elementare Eigenschaften
- Gerade durch zwei Punkte
- Schnitt Gerade Gerade
- lineare Funktionen: Schnittpunkte
- Quadratische Funktionen
- Parabel in Normalform
- Scheitel einer Normalparabel
- 5 Punkte Methode
- Parabel und Normalparabel
- Rekonstruktion Normalparabeln
- Schnitt Gerade Normalparabel
- Schnitt Parabel Normalparabel
- ganzrationale Funktionen (Polynome)
- Produktfunktion und Graph
- Produktfunktion und Nullstellen
- Polynom und Grad
- Polynom Grad3
- Die Punktsymmetrie (kurz und dynamisch)
- Nullstellen von Polynomen (Theorie)
- Polynome und Nullstelle (Übung)
- Polynom und Gerade
- Gebrochenrationale Funktionen
- Grundlagen rationale Funktionen
- Verhalten an einer Stelle
- Verhalten im Unendlichen
- Untersuchung des Grenzverhaltens durch Testeinsetzung (Theorie)
- Beispiel Testeinsetzung
- Grenzuntersuchung (Fortsetzung)
- Übung Grenzverhalten
- Winkelfunktionen
- Sinus am Einheitskreis
- Einführung in die Differentialrechnung
- Tangente an Graphen im Punkt
- Ableitung als Grenzwert (h-Methode)
- Tangentengleichung
- Tangente und Ableitungsfunktion
- Schnittwinkel
- Ableitung und Monotonie
- Ableitung und Krümmung
- Ableitung und charakteristische Punkte
- Elemente der Kurvendiskussion (Theorie)
- Kurvendiskussion Übung
- Einführung in die Integralrechnung
- Richtungsfeld und Anfangswerte
- Funktion und Stammfunktion
- Flächen unter Graphen: Streifenmethode
- Intervalladditivität
- Integral auf Intervall
- Integral und Fläche
- Flächen zwischen Graphen
- uneigentliches Integral 1
- Rotationskörper 1
- Rotationskörper 2
Basiswissen Algebra
Zahlen und Variable
Sie benötigen grundlegendes Wissen über Zahlen und das Rechnen mit Zahlen.[br][list][*]Zahlen dienen zum zählen und messen. [/*][*]Zählen meint die Anzahl von in Bezug auf ein bestimmtes Merkmal gleichartigen Objekten: fünf Stühle, drei Sessel, ...[/*][*]Beim Rechnen wird zwei Eingangszahlen ein Ergebnis zugeordnet: Fünf Stühle und drei Stühle zusammen sind acht Stühle.[/*][*]Das Rechnen erfolgt nach bestimmten Rechengesetzen.[/*][*]Beim Messen gibt man an, wie oft eine zuvor festgelegte Einheit benötigt wird, um die zu messende Größe zu erreichen: die Strecke von A nach B ist 8km lang[/*][/list]Wir unterscheiden vier grundlegende Rechenarten: [br][list][*][b]Addition[/b] (addieren, zusammenzählen, hinzunehmen) [br][/*][*][b]Subtraktion[/b] (subtrahieren, abziehen, wegnehmen)[/*][*][b]Multiplikation[/b] (multiplizieren, malnehmen, vervielfachen)[/*][*][b]Division[/b] (dividieren, teilen, aufteilen)[/*][/list]Folgende Fachbegriffe werden verwendet:[br][left][/left][list][*]Für die Addition: Summand plus Summand gleich Summe[br][/*][*]Für die Subtraktion: Minuend minis Subtrahend gleich Differenz[br][/*][*]Für die Multiplikation: Faktor mal Faktor gleich Produkt[br][/*][*]Für die Division: Dividend durch Divisor gleich Quotient[br][/*][/list]Mathematische Aussagen werden gern für mehr als eine Zahl und damit allgemein formuliert. [br]Dazu werden Zahlenmengen zu einem [i][u]Grundbereich[/u][/i] zusammengefasst und Buchstaben als Platzhalter oder Stellvertreter für alle Zahlen aus dem Grundbereich verwendet.[br]Buchstaben für unbestimmte und frei veränderliche Zahlen werden als [i][u][b]Variable[/b][/u][/i] bezeichnet, während [i][u][b]Parameter[/b][/u][/i] unbestimmte, aber feste Zahlen eines Grundbereichs bezeichnen.[br]Da Variable und Parameter für Zahlen stehen, muss man mit ihnen genau so wie mit konkreten Zahlen rechnen.
Rechengesetzte
[b]Kommutativgesetze (Vertauschungsgesetze)[/b][br]Beim addieren und multiplizieren können die beiden Eingangszahlen vertauscht werden, ohne das sich das Ergebnis ändert.[br][br]In mathematischer Fachsprache:[br][br]Für alle Zahlen a und b gilt: [math]a+b=b+a[/math] und [math]a\cdot b=b\cdot a[/math] [br][br][b]Assoziativgesetze (Klammergesetze)[/b][br]Beim addieren und multiplizieren von jeweils mehr als zwei Zahlen werden erst zwei Zahlen verrechnet und das Ergebnis wir mit der dritten Zahl verrechnet. [br]Welche zwei Zahlen zuerst benutzt werden hat dabei keinen Einfluss auf das Ergebnis.[br][br][i]In mathematischer Fachsprache: [br][br]Für alle Zahlen a, b und c gilt: [/i][math](a+b)+c=a+(b+c)[/math][i] und [/i][math](a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)[/math][br][br][b]Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)[/b][br]Dieses Gesetz regelt das Zusammenwirken von Addition und Multiplikation:[br]Soll eine Zahl mit einer Summe zweier weiterer Zahlen multipliziert werden, so muss die eine Zahl mit beiden anderen Zahlen einzeln multipliziert werden. [br]Diese beiden Zwischenergebnissen müssen anschließend zum Gesamtergebnis zusammen addiert werden.[br][br][i]In mathematischer Fachsprache:[br][br]Für alle Zahlen a, b und c gilt: [/i][math]a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c[/math]
Wichtige Sonderfälle
Für das Rechnen mit den besonderen Zahlen Null und Eins gelten einige Sonderregeln.[br]Für alle Zahlen a gilt:[math][/math][math][/math][math][/math][list][*][math]0+a=a[/math][br][/*][*][math]0\cdot a=0[/math][br][/*][*][math]1\cdot a=a[/math][br][/*][/list][color=#ff0000][b]Achtung![/b][/color][br]Eine Division durch Null ist unter keinen Umständen möglich!
Lineare Funktion und Graph
Einordnung
Ziel ist es, den Einfluß der Parameter m und n der Funktionsgleichung einer linearen Funktion [math]f:y=m\cdot x+n[/math] auf den Graphen zu untersuchen.
Aufgabe
Variieren Sie die Schieberegler und beobachten Sie die Wirkung auf den Graphen.[br]Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich.[br]Notieren Sie Ihre Ergebnisse im Heft und skizzieren Sie charakteristische Beispiele.
Parabel in Normalform
Einordnung
Untersucht werden soll der Einfluss der Parameter p und q auf die elementaren Eigenschaften einer Parabel in Normalform.
Aufgaben
Verändern Sie die Werte für die Parameter p und q mit Hilfe der Schieberegler.[br]Notieren Sie die angegebenen Eigenschaften und kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe der Kontrollen.[br][i]Zusatz:[/i][br][i]Welchen Einfluss haben die Parameter auf die Eigenschaften?[/i]
Produktfunktion und Graph
Einordnung
Ziel ist es, ausgehend von Standardfunktionen durch Multiplikation der Funktionsterme neue Funktionen zu gewinnen. Dabei sollen wesentliche Eigenschaften der neuen Funktionsgraphen erkundet werden.
Aufgaben
[list=1][*]Verändern Sie mit den Schiebereglern die Ausgangsfunktionen und beobachten Sie die Wirkung auf den Graphen der Produktfunktion![br][/*][*]Finden Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede. [br][/*][*]Formulieren Sie Ihre Ergebnisse in Form von "Wenn..., dann... " Sätzen.[/*][*]Verändern Sie auch den Zoom und beurteilen Sie den Verlauf des Graphen im Großen und Ganzen.[/*][*]Lösen im Heft Sie für zwei Parametersätze in der Produktfunktion die Klammern auf. Sie erzeugen so die [b][i]Summendarstellung von p[/i][/b].[/*][/list]
Zusatzaufgabe
Geben Sie einen allgemeinen Ansatz für die Summendarstellung der Produktfunktion an.[br]Verwenden Sie vier Parameter.
Grundlagen rationale Funktionen
Begriffsbildung
Bisher wurden Polynome und einige ihrer Eigenschaften untersucht. Nun sollen mit Hilfe von Polynomen durch Division der Funktionsterme neue Funktionen gebildet werden:[br]So wird aus den Polynomen [math]f\left(x\right)=x^2-1[/math] und [math]g\left(x\right)=x-2[/math] zum Beispiel die Funktion [math]q\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}[/math] mit der Gleichung [math]q\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-2}[/math]. [br]Dabei nennt man f [u]Zählerpolynom[/u] und g [u]Nennerpolynom[/u] von q.[br][br]Da die Division durch Null nicht definiert ist, hat diese Quotientenfunktion einen eingeschränkten Definitionsbereich: die Nullstelle [math]x_0=2[/math]des Nennerpolynoms g gehört nicht zur Definitionsmenge dieser sogenannten gebrochenrationalen Funktion.[br][br]Besitzt das Zählerpolynom an einer Stelle des Definitionsbereichs von q eine Nullstelle, so wird diese Eigenschaft auf die Funktion q vererbt.[br]Gebrochenrationale Funktionen haben also höchsten dort Nullstellen, wo das Zählerpolynom Nullststellen besitzt.[br][br]Es gibt keine Normgraphen gebrochenrationaler Funktionen - sie haben vielfältige Gestalt und bestehen zum Teil aus nicht miteinander verbundenen Teilstücken.
Aufgabe
Geben Sie andere Funktionsterme für die Polynome ein und bestimmen Sie die Nullstellen und die Definitionslücken der Quotientenfunktion in Ihrem Heft.[br]Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse.
Sinus am Einheitskreis
Einordnung
Der Sinus und Kosinus eines Winkels wurde zur Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken eingeführt.[br]Das Verhältnis der Länge der Gegenkathete eines spitzen Innenwinkels zur Länge der Hypotenuse ist dabei unabhängig von der Größe nur vom Winkel abhängig und wird als [i][u]Sinus des Winkels[/u][/i] bezeichnet. [br]Für ein Dreieck in Standardbezeichnung ergibt sich[br] [math]sin\left(\alpha\right)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{a}{c}[/math][br]Damit sind nur Winkelwerte zwischen 0° und 90° zulässig.[br]Das Applet veranschaulicht die Verallgemeinerung des Gedanken durch eine Verlegung des rechtwinkligen Dreiecks in einen Einheitskreis (Radius 1) und die Verwendung negativer Koordinaten.
Aufgaben
[list=1][*]Verändern Sie die Winkelgröße und beobachten Sie. [br][/*][*]Formulieren Sie möglichst viele Eigenschaften der Funktion.[br][/*][*]Finden Sie Winkel mit gleichen Funktionswerten.[br][/*][*]Finden Sie Winkel mit entgegengesetzten Funktionswerten.[br][/*][*]Wie rechnet man Winkelgrößen vom Grad ins Bogenmaß um?[/*][/list]
Tangente an Graphen im Punkt
Einordnung
Auf einer gekrümmten Straße fährt ein Lastwagen mit überhöhter Geschwindigkeit. [br]Er verliert ein Stück seiner Ladung. [br]Wird der Passant am Straßenrand getroffen?
Dargestellt ist ein mathematisches Modell des Sachverhalts als Draufsicht. [br]Die Ladung wird im Punkt Po verloren. [br][br]Der Passant steht beim Punkt A.[br] 1. Welche Gleichung beschreibt die Fahrtkurve des Lastwagens?[br] 2. Welcher Ansatz für die Draufsicht auf die Flugbahn der verlorenen Ladung ist physikalisch sinnvoll?[br] 3. Skizzieren Sie den möglichen Verlauf und geben Sie eine Gleichung zur Beschreibung der Bahn an.[br] 4. Variieren Sie den Abflugpunkt Po.
Richtungsfeld und Anfangswerte
Einordnung
Der Begriff des unbestimmten Integrals einer Funktion als Menge aller Stammfunktionen beinhaltet eine Funktionenschar mit dem additiven Scharparameter c.[br]Ist zusätzlich ein Punkt bekannt, durch den eine spezielle Stammfunktion verlaufen soll, ergibt sich ein sogenanntes Anfangswertproblem.
Aufgabe
Veranschaulichen Sie sich die Aufgabenstellung und die Bedeutung des Richtungsfeldes.[br]Verschieben Sie den Punkt A. Wie ändert sich die Lösung?[br]Entwickeln Sie einen Plan für eine rechnerische Lösung.[br]Variieren Sie die Ableitungsfunktion und rechen Sie erneut.