Στη δραστηριότητα επιχειρούμε να αναδείξουμε τη σημασία των πολλαπλών δυναμικών αναπαραστάσεων για τη σχεσιακή κατανόηση στο μαθηματικό συλλογισμό. [br][br]Συγκεκριμένα, από δυναμικές αναπαραστάσεις με γεωμετρικό περιεχόμενο, νοηματοδοτούνται αλγεβρικές σχέσεις και αντίστροφα: από δ.α με συναρτησιακό ή/και αλγεβρικό περιεχόμενο, νοηματοδοτούνται γεωμετρικές μεταβολές. [br][br][b][color=#1e84cc][size=150]Πρόβλημα (γεωμετρική διατύπωση)[/size][/color][/b][br][i][quote]Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ με σταθερό εμβαδόν, να βρεθεί εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα ή από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδόν, ποιο έχει ελάχιστη διαγώνιο;[/quote][/i]

[b][color=#1e84cc][size=150]Αλγεβρική Αναδιατύπωση του προβλήματος[/size][/color][/b][br][br][i][quote][b]Από όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y με σταθερό γινόμενο, ποιοι έχουν ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων[/b];[/quote][/i]

Στο δόμημα εμφανίζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με σταθερό εμβαδόν Ε, το οποίο ρυθμίζεται από το δρομέα Ε. Στο δεξί παράθυρο, εμφανίζεται η γραμμή που διαγράφει ένα σημείο Ρ που έχει συντεταγμένες (γ,α) με γ,α την κάθετη πλευρά και την υποτείνουσα αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ. [br][br][b][size=150][color=#1e84cc]Πειραματισμός - Εικασία[/color][/size][/b][br][list][*]Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις. Μπορείτε από το γράφημα του σημείου Ρ να εικάσετε πότε η υποτείνουσα α γίνεται [b]ελάχιστη[/b];[/*][*]Eπαναλάβατε τον πειραματισμό και για άλλες τιμές του εμβαδού Ε. Πατήστε το κουμπί "min" για να ελέγξετε την εικασία σας.[/*][/list][br][b][color=#1e84cc]1η Απόδειξη (ερμηνεία από τη γραφική παράσταση)[/color][/b][br][br]Έστω x και y οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Το πρόβλημα τότε περιγράφεται από το σύστημα:

H εξίσωση (1) αν θέσουμε x[sup]2[/sup]=ω, γράφεται ισοδύναμα: ω[sup]2[/sup]-α[sup]2[/sup]ω+4Ε[sup]2[/sup]=0. (2)[br]Πατήστε το διακόπτη "1η αναπαράσταση". Εμφανίζεται η γραφική παράσταση p (παραβολή) του τριωνύμου [math]p\left(x\right)=x^2-α^2x+4E^2[/math][br][br][list][*]Πειραματιστείτε με διάφορες θέσεις του σημείου Β.[/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει για τις σχετικές θέσεις της παραβολής p με τον άξονα xx΄;[/*][*]Εκφράστε αλγεβρικά τις παρατηρήσεις σας από το προηγούμενο ερώτημα.[/*][*]Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την προηγούμενη σχέση για την απόδειξη της εικασίας; [/*][/list]

[b][color=#1e84cc]2η απόδειξη (αλγεβρική)[/color][/b][br][br]Ισχύει ότι: [br][math]α^2=x^2+y^2=x^2+\frac{4E^2}{x^2}[/math][br][br]H τελευταία σχέση προδιαθέτει για το σχηματισμό ...(;)[br]

[b][color=#1e84cc][size=150]3η απόδειξη (Γεωμετρική)[br][br][/size][/color][/b]Ανοίξτε το διακόπτη "3η αναπαράσταση". Εμφανίζονται το ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και το εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΛΓ, όπου Λ το μέσο του τόξου ΒΓ. [br][list][*]Ποια σχέση υπάρχει μεταξύ των υψών ΑΝ και ΛΜ;[/*][*]Χρησιμοποιώντας ως δεδομένη τη σχέση: βγ=αυ[sub]α[/sub] που ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε να αποδείξετε τον ισχυρισμό;[/*][/list]

[size=150][b][color=#1e84cc]2η Αναπαράσταση (αναλυτική γεωμετρία)[/color][/b][/size][br][br]Ανοίξτε το διακόπτη "2η αναπαράσταση".Εμφανίζονται οι γραφικές παραστάσεις του κύκλου [math]x^2+y^2=a^2,x>0,y>0[/math] και της υπερβολής [math]y=\frac{2E}{x},x>0[/math] καθώς και οι εφαπτομένες της υπερβολής στα σημεία της Η και Θ. [list][*]Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις. [/*][*]Τί παρατηρείτε για τις σχετικές θέσεις των δύο κωνικών τομών; [/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει με τη σχετική θέση τους, όταν η υποτείνουσα α γίνει ελάχιστη;[/*][*]Μπορείτε να εικάσετε από το προηγούμενο ερώτημα, [i]πότε δύο κωνικές τομές θα λέμε ότι εφάπτονται σε κάποιο κοινό τους σημείο[/i];[/*][/list][color=#1e84cc][b][br]και κάτι τελευταίο...[br][br][/b][/color]Από το δόμημα φαίνεται σαν το σημείο Ρ να "κινείται" επάνω στην υπερβολή από κάποιο σημείο και πριν. Μπορείτε να ελέγξετε αν αυτός ο ισχυρισμός είναι πραγματικός; (θα χρειαστεί να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης στην οποία κινείται το σημείο Ρ).