Definição: Uma transformação afim M(x,y,z) = A(x,y,z) + [math]\left(\alpha,\beta,\gamma\right)[/math] é uma composição de uma transformação linear L(x,y,z) = A.(x,y,z) e uma translação T(x,y,z) = (x,y,z) + [math]\left(\alpha,\beta,\gamma\right)[/math] . Onde a matriz A é uma matriz 3x3 regular [br][br] A= [math]\text{\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}}[/math].[br][br]As equações da transformação afim M são da forma [math]u=ax+by+cz+\alpha,\quad v=dx+ey+fz+\beta,\quad p=gx+hy+iz+\gamma[/math] com [math]det\left(A\right)=a\left(ci-hf\right)-b\left(di-fg\right)+c\left(dh-cg\right)\ne0[/math]. [br][br]O jacobiano da transformação afim M é [br][br] JM= [math]\text{\begin{bmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial p}{\partial x} & \frac{\partial p}{\partial y} & \frac{\partial p}{\partial z} \end{bmatrix}}[/math] = [math]det(A)[/math] = [math]a\left(ci-hf\right)-a\left(ci-hf\right)-b\left(di-fg\right)+c\left(dh-cg\right)[/math][br][br]As transformações lineares canônicas são: [br][br]