[right][size=85][size=50]Diese Seite ist Teil des[color=#cc0000][i][b] GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/size][color=#cc0000][b][size=85][/size][/b][/color][/right][right][color=#cc0000][b][size=85]Nachtrag ([color=#ff7700]28.04.2021[/color]) und Vereinfachung der Formeln: siehe unten[/size][/b][/color] [math]\Downarrow[/math][/right][br]Die Gleichung der oben angezeigten bizirkularen Quartik lautet:[br][list][*][math](z\bar{z})^2-\left(\mathbf{Re}\left(z\right)\right)^2\cdot\left(s^2-\frac{1}{s^2}\right)+\left(\mathbf{Im}\left(z\right)\right)^2\cdot\frac{(s^4-1)(f^4-1)+4f^2s^2}{(s^4-1)f^2-(f^4-1)s^2}-1=0[/math] für [math]z=x+i\cdot y\in\mathbb{C}[/math], also [br](*) [math](x^2+y^2)^2-x^2\cdot\left(s^2-\frac{1}{s^2}\right)+y^2\cdot\frac{(s^4-1)(f^4-1)+4f^2s^2}{(s^4-1)f^2-(f^4-1)s^2}-1=0[/math][br]oder [math](x^2+y^2)^2-x^2\cdot\kappa\left(s\right)-y^2\cdot\frac{\kappa\left(s\right)\cdot\kappa\left(f\right)+4}{\kappa\left(f\right)-\kappa\left(s\right)}-1=0[/math], wobei [math]\kappa\left(r\right):=r^2-\frac{1}{r^2}[/math] [br]invariant unter Spiegelungen an der [math]x[/math]- und an der [math]y[/math]-Achse ist.[/*][/list]Die Gleichung des [i][b]Leitkreises[/b][/i] für den Brennpunkt [math](f,0)[/math] und [math]1\, < \,f \,< \,s [/math] lautet:[list][*][math]x^2-\frac{x}{f}\cdot\left(s^2-\frac{1}{s^2}\right)+y^2-\frac{1}{f^2}=0[/math].[/*][/list]Die Quartik ist eine der [i][b]konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i] mit den Brennpunkten [math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math].[br][size=85][u][i][b]Rechnerische Begründung[/b][/i][/u] mit Hermitescher Wurzel des zugehörigen quadratischen Vektorfeldes.[br]In Geradenkoordinaten (siehe oben das Hilfefenster "Euklidisches KOS") gilt für die Verbindungsgeraden [math]\mathbf\vec{g}_{12}(f)=\mathbf\vec{g}(f,-f)=\frac{-f}{2}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+\frac{1}{f}\cdot\mathbf\vec{p}_0[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_{34}(f)=i\cdot\mathbf\vec{g}(i/f,-i/f)=\frac{1}{2f}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+f\cdot\mathbf\vec{p}_0[/math]. [br]Eine der beiden Geraden wird als elliptisches, das andere als hyperbolisches Kreisbüschel gewählt. [br]Die Kreise sind dann orthogonal zu einer der beiden Achsen; und die im folgenden zu berechnenden [br]selbstadjungierten Matrizen besitzen reelle Koeffizienten, was Voraussetzung für die Bildung [i][b]Hermitescher[/b][/i] Formen ist.[br]Die folgende symmetrische Bilinearform definiert eine bezüglich [math]\bullet[/math] selbstadjungierte Abbldung [math]\mathbf{S}_f[/math]:[br][list][*][math]\mathbf\vec{g}_{12}(f)\vee\mathbf\vec{g}_{34}(f)\left(\mathbf\vec{g},\mathbf\tilde\vec{g}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{12}\bullet\mathbf\vec{g}\cdot\mathbf\vec{g}_{34}\bullet\mathbf\tilde\vec{g}+\mathbf\vec{g}_{12}\bullet\mathbf\tilde\vec{g}\cdot\mathbf\vec{g}_{34}\bullet\mathbf\vec{g}\right)=\left(\mathbf{S}_f\;\mathbf\vec{g}\right)\bullet\mathbf\tilde\vec{g}[/math][br][/*][/list] mit der Matrix [math]\mathbf{S}_f=\left(\begin{tabular} {ccc} f^2-\frac{1}{f^2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & f^2-\frac{1}{f^2} \end{tabular}\right)[/math]. Auf der Möbiusquadrik [math]\mathcal{Q}=\{\mathbf\vec{p}\in \mathcal{G}|\;\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=0\}[/math] ist durch [math]\mathbf{S}_f\,\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}=1[/math] [br]ein [i][b]quadratisches Vektorfeld[/b][/i] gegeben, welches für alle [math]\mathbf{S}_f-\tau\cdot\mathbf{Id},\tau\in \mathbb{R}[/math] dasselbe ist. [br]Wir wählen aus dieser Schar diejenige selbstadjungierte Abbildung [math]\mathbf{S0}_f[/math], für die [math]\mathbf{Spur}\left(\mathbf{S0}_f\right)=0[/math] ist. [br]Wir berechnen das charakteristische Polynom von [math]\mathbf{S0}_f[/math]:[br][list][*][math]p_{char}(f,\lambda)=\mathbf{Det}\left(\lambda\cdot\mathbf{Id}-\mathbf{S0}_f\right)=\lambda^3+g_2(f)\cdot\lambda-g_3(f)[/math] mit reellen [math]g_2(f)[/math] und [math]g_3(f)[/math]. [size=50](Konkrete Werte s. u.!)[/size][/*][/list]Damit kann man die "Wurzeln" von [math]\mathbf{S0}_f[/math] erklären: [math]\mathbf{S0W}_f(\lambda):={\mathbf{S0}_f}\,^2+\lambda\cdot\mathbf{S0}_f+\frac{g_2(f)-\lambda^2}{2}\cdot\mathbf{Id}[/math].[br]Man rechnet nach: [math]\mathbf{S0W}_f(\lambda)^2=-p_{char}(f,\lambda)\cdot\mathbf{S0}_f+q(f,\lambda)\cdot\mathbf{Id}[/math] mit einer reellwertigen Funktion [math]q(f,\lambda)[/math] (s.u.).[br]Für eine mit [math]\mathbf{S}_f[/math], und damit auch mit [math]\mathbf{S0W}_f(\lambda)[/math] vertauschbare Spiegelung [math]\mathbf{K}[/math] in [math]\mathcal{G}[/math], d.h. eine involutorische [i][b][br]Hermitesche[/b][/i] Abbildung, ist dann [math]\mathbf{H}_f(\lambda):=\mathbf{S0W}_f(\lambda)\circ\mathbf{K}[/math] eine [i][b]Hermitesche Wurzel[/b][/i] von [math]\mathbf{S}_f[/math]. [br]Mit [math]\mathbf{S}_f[/math] vertauschbare Spiegelungen sind die Spiegelung [math]\mathbf{K}_x[/math] an der [math]x[/math]-Achse und die Spiegelung [math]\mathbf{K}_y[/math] an der [math]y[/math]-Achse.[br]Die Spiegelung [math]\mathbf{K}_x[/math] an der [math]x[/math]-Achse ist schnell erklärt: [math]\mathbf{K}_x\left(a\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+b\cdot \mathbf\vec{g}_0 +c\cdot \mathbf\vec{p}_0\right) =\bar{a}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+\bar{b}\cdot \mathbf\vec{g}_0 +\bar{c}\cdot \mathbf\vec{p}_0,\;a,b,c \in \mathbb{C}[/math], [br]insbesondere gilt im Geradenraum auf der Möbiusquadrik: [math]\mathbf{K}_x\,\mathbf\vec{p}(z)=\mathbf\vec{p}(\bar{z})[/math]. [br]Damit können wir die Lösungskurven des quadratischen Vektorfeldes berechnen:[br][math] \mathbf{H}_f(\lambda)\mathbf\vec{p}(z)\bullet\mathbf\vec{p}(z)=\kappa \left(f,\lambda\right)\cdot \left( z\bar{z}^2+Re(z)^2\cdot\frac{f^8-3\cdot f^6 \cdot \lambda+10\cdot f^4+3\cdot f^2\cdot\lambda+1}{f^2\cdot\left(2\cdot f^4+3\cdot f^2\cdot \lambda-2 \right)}+Im(z)^2\cdot\frac{f^4-3\cdot f^2\cdot\lambda-1}{3\cdot f^2}-1\right)=0[/math]  [br]mit einem reellwertigem, von Null verschiedenem Faktor [math]\kappa (f,\lambda)[/math] . [br]Um die Scheitel [math]s[/math] auf der [math]x[/math]-Achse zu ermitteln, setzen wir [math]z=s+0\cdot i[/math] in die Gleichung ein und erhalten:[br][list][*][math]s^4+\frac{3\cdot s^2\cdot \left( f^4+1\right)^2}{f^2\cdot\left(3\cdot f^2\cdot \lambda+2\cdot\left(f^4-1\right)\right)}-\frac{s^2\cdot\left(f^4-1\right)}{f^2}-1=0[/math], aufgelöst nach [math]\lambda[/math]: [/*][/list][list][*][math]\lambda=\frac{2\cdot f^2\cdot\left(f^4-1\right)\cdot\left( s^4-1\right)+s^2\cdot\left(f^8+10\cdot f^4+1\right)}{3\cdot f^2\cdot\left(\left(f^4-1\right)\cdot s^2-\left(s^4-1\right)\cdot f^2\right)}[/math][br][/*][/list]Setzt man dieses von [math]s[/math] abhängige [math]\lambda[/math] in die [i][b]Hermitesche[/b][/i] Gleichung [math] \mathbf{H}_f(\lambda)\mathbf\vec{p}(z)\bullet\mathbf\vec{p}(z)=0[/math] ein, [br]so erhält man die oben angegebene Quartik-Gleichung (*).[br][br]Die Rechnungen im Einzelnen wurden mit der "veralteten" CAS-Software DERIVE durchgeführt. [br]Damit ist es möglich, problemlos mit komplexen Vektoren und Matrizen zu rechnen. [br]Vektoren und Matrizen werden einheitlich als Listen geführt. [br]Funktionen und Abbildungen können problemlos ohne Spezifizierung der Variablen definiert und verarbeitet werden.[br]Auch eine größere Anzahl von impliziten Funktionen werden sekundenschnell exakt berechnet [br](mit Brüchen und Wurzeln, falls die Eingaben rational waren) und ebenso schnell gezeichnet. [u][i]Siehe die Ausschnitte unten[/i][/u].[br][br][br][/size]

[color=#cc0000][b][size=85] [math]\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow[/math] Nachtrag 28.04.2021: die Formeln[/size][/b][/color][br][br][size=85]Eine 1-teilige bizirkulare Quartik besitzt in Normalform die Gleichung:[br][br][/size][list][*][size=85][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2-1=0[/math] mit [math]A_x,B_y\in\mathbb{R}[/math][/size][br][/*][/list][size=85][br]In dieser [b]Normal-Gleichung[/b] ist die [color=#f1c232][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] bezüglich der Koordinaten-Achsen, und, wie wir sehen werden, [br]([b]*[/b]) die Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][/color][math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R}[/math] verarbeitet.[br][list][*]Mit [math]A_x=\frac{1}{2}\cdot\left(s_x\;^2-\frac{1}{s_x\;^2}\right)[/math] berechnet man die [math]x[/math]-Achsenschnittpunkte [math]s_x=\pm\sqrt{A_x+\sqrt{A_x\;^2+1+0\cdot i}}[/math] und [br]entsprechend die [math]y[/math]-Achsenschnittpunkte [math]s_y=\pm i\cdot\sqrt{B_y+\sqrt{B_y\;^2+1}}[/math] als komplexe Punkte in [math]\mathbb{C}[/math].[/*][br][*]Mit [math]Q_{xy}:=\frac{A_x\cdot B_y+1}{B_y-A_x}=\frac{1}{2}\cdot\left(f^2-\frac{1}{f^2}\right)[/math] berechnet man die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], siehe ([b]*[/b])[math]f:=\pm\sqrt{Q_{xy}\pm\sqrt{Q_{xy}\;^2+1+0\cdot i}}[/math][/*][/list][size=50][color=#cc4125][u][i][b]Bemerkung: [/b][/i][/u][/color]Im Handbuch von [color=#980000][i][b]geogebra [/b][/i][/color]wird zwar bemerkt, dass[color=#980000][u][b] geogebra[/b][/u][/color] [i][b]komplexe Zahlen[/b][/i] nicht unterstützt; [br]dennoch rechnet [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] trefflich sowohl die [i][b]Rechenvorschriften[/b][/i] als auch die [i][b]Funktionen[/b][/i] [color=#0000ff][i][b]komplex[/b][/i][/color], wenn man die angegebenen Tricks verwendet. [br][/size][br][color=#38761D][u][i][b]Konfokale[/b][/i][/u][/color][color=#ff7700][u][i][b] bizirkulare Quartiken[/b][/i][/u][/color] besitzen (per definitionem) dieselben [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und damit dasselbe [br]oben berechnete [math]Q_{xy}[/math]. Festgelegt sind sie durch die [color=#ff7700][i][b]Scheitelpunkte[/b][/i][/color] [math]sC_x[/math] auf der [math]x[/math]-Achse. [br]Die Koeffizienten [math]AC_x,BC_y[/math] der [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] ermittelt man daher mit den Formeln:[br][br][/size][list][*][size=85][math]AC_x:=\frac{1}{2}\cdot\left(sC_x\;^2-\frac{1}{sC_x\;^2}\right)[/math][/size][br][/*][*][size=85][math]BC_y:=\frac{1+Q_{xy}\cdot AC_x}{Q_{xy}-AC_x}[/math][/size][br][/*][/list][br][size=85]Man vergleiche hierzu auch die Seite: [math]\hookrightarrow[/math] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/s9egxqws]Darboux Cycliden: die Formeln 2[/url][/b][/i][/u][/color][/size]