[b]このワークシートは[url=https://www.geogebra.org/m/twxxx3yq]Math by Code[/url]の一部です。[br][br]アプレット、背景、実装の順に見ていきましょう。[br][/b]

[size=150][size=100][color=#0000ff]１，３，５，７番目の音は[br]和音としても[br]ありふれた音の積み方、たし方ですね。[br]なにしろ、ドレミファソラシの音に音階にただ、奇数番目を押してできるからです。[br][br]そこで、偶数番目がスパイスになりそうです。２，４，６の音ですね。[br]ただ、７音を全部押しても音楽にはなりません。[br]そこで、単純なルールで「緊張感」のある和音を作ってみよう。[br][br]また、別の方法で、緊張感のある和音を作る方法を調べましょう。[br][/color][/size][b][br]＜教会モードで度数の思い起こし＞[/b][/size][br]C＝１はイオニアン（メジャー）[b][color=#0000ff]全全半[/color]全 [/b]全全半[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[b][color=#0000ff]全半全[/color]全 [/b]全半全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[b][color=#0000ff]半全全[/color]全 [/b]半全全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#ff0000]全全全[/color]半 [/b]全全半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[b][color=#0000ff]全全半[/color]全 [/b]全半全[br]A＝１はエオリアン（マイナー）[b][color=#0000ff]全半全[/color]全 [/b]半全全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[b][color=#9900ff]半全全半 [/color][/b]全全全[br]マイナーでもメジャーでも、[br][b]完全５度（全３半１）[/b]が大半なこと、[br][b]完全４度（全２半１）[/b]が大半なこと[br]この２つは変わりませんね。[br][br]３度は間の音程が２つありますが、半半はありませんでした。３度は全全か全１半１です。[br][b][color=#38761d]全全[/color][/b]というのは[b]長３度（メジャー[/b]3）、[b][color=#0000ff]全半か半全[/color][/b]が[b]短３度（マイナー[/b]３）です。[br][br]４和音にすることで、７度の音程に気づきました。半の音程は最高２つしかないので、[br]７度は全５[b]半１[/b]か全４[b]半２[/b]のどちらかです。[br][color=#38761d][b]半１[/b][/color]というのは[b]長７度（メジャー７[/b]）、[b][color=#0000ff]半２[/color][/b]が[b]短７度（マイナー７[/b]）ですが、[br][b][color=#0000ff]マイナー７が普通なのでマイナーをつけずにただの７度[/color][/b]といいます。[br][br]つまり、５度、４度は基本的に完全が主ですが、３度と７度はメジャーとマイナーがあったのでした。[br]３度のマイナーはコードをマイナーにするのですが、[br]７度のマイナーはマイナー７なのに、ただの７をつけます。[br]マイナーでない７、つまりメジャー７はスケール上の７番なのに、レアなので逆にmaj7とか△7とか[br]かきましたね。

[b][size=150]＜偶数は７の上にある＞[br][/size][/b]通常のコードでとばしてきた２，４，６は、響きの関係で飛ばすのが当然でしょう。[br]しかし、７の先にあるとして考えると、音のたし算ができるかもしれません。[br]２＋７＝９[br]４＋７＝１１[br]６＋７＝１３[br]つまり、７番コードの上に音をさらに重ねるのです。[br]すると、偶数に見えたものが、[br]７番を法とした剰余では偶数だったものが、[br]音階の主音から数えていくと、みな奇数番目ともいえるようになるのですね。[br][br]そうはいっても、音名でみると、一音違いの音を押させることになり、[br]とても緊張感があります。[br]７の上に積み重ねる和音を[b]テンションコード[/b]といいます。[br][br]まぎらわしいですが、１音だけたし算する場合は別の言い方があります。[br][color=#0000ff]・sus4[/color][br]１１番ではなく４番として押すときはsus4とかsusとかいいます。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]Gsus4 > G7のコード進行[br][br][color=#0000ff]・６番[/color][br]１３番ではなく６番として押すときは６番といいます。（例）C６。[br][b][size=150][br]＜メジャースケール上の７和音＞[br][/size][/b]白鍵の１番と３番と5番と７番の４和音の先に9番、11番、13番の3音を重ねた７和音を考えます。[br]　　　　　　　　　　　　　　１　３　５　７[u]８ ９ 11 13 15[/u]　[br]C＝１はイオニアン（メジャー）[b][color=#38761d][u]全全半全全全[/u][/color][/b]半|[b][color=#38761d][u]全|全半|全全|全[/u][/color][/b]半　[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[b][color=#0000ff]全半[u]全全全[/u]半[/color][/b]全|[b][color=#0000ff]全|半全|全全|半[/color][/b]全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全全全半全[/b][/color]全|[color=#0000ff][b]半|全全|全半|全[/b][/color]全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#38761d][u]全全全半全全[/u][/color][/b]半|[b][color=#38761d][u]全|全全|半全|全[/u][/color][/b]半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[color=#0000ff][b]全全半全全半[/b][/color]全|[color=#0000ff][b]全|全半|全全|半[/b][/color]全[br]A＝１はエオリアン　　　　　　[color=#0000ff][b]全半全全半全[/b][/color]全|[color=#0000ff][b]全|半全|全半|全[/b][/color]全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全全半全全[/b][/color]全|[color=#0000ff][b]半|全全|半全|全[/b][/color]全[br][br]１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５，７，９，11, 13を同時に引いたのが７和音です。[br]９番－８番が全だと、９度、半だとー９．[br]11番－８番が全全半だと１１、全全全は+11[br]13番ー８番が全全半全全で13, 半が２つで-13 [br]７和音を機械的にかくとどうなるでしょう。[br]C=1ではC３・７、 9, 11, 13。つまり、Cmaj7、9.11.13[br]D=1ではD-３・-7、9, 11, 13。つまり、Dm7、9.11.13[br]E=１ではE-3・-7、-9, 11, -13。つまり、Em7[b]-9.11-13[/b][br]F=１ではF３・７、 9,+11, 13。つまり、Fmaj7、9[b]+11[/b].13[br]G=１ではG３・-７, 9, 11, 13。つまり、G7、9.11.13[br]A=１ではA-３・-７,9, 11, -13。つまり、Am7、9.11[b]-13[/b][br]B=１ではB-3,-5,-7, -9, 11,-13。つまり、Bm7-5、-[b]9.11-13[/b][br][br][b][size=150]＜メジャースケール上のテンションで避けたいもの＞[br][/size][/b]４和音に対して、追加の3音がいつもたされるわけではありません。[br]テンションというより不安定、不協和な音程を避けることが必要です。[br]一般的には、次のように言われています。[br]・コードトーンの全全全差は避ける。[br]　Dm7のー３とー13≡－６(mod7)は全全全の音程だから避ける。[br]・コードトーンと半音差は避ける。　[br]９番[br]　Eｍ7のー９番のFは8番≡1番のEと半音差だから避ける。[br]　Bm7-5のー９番のCは８番≡１番のCと半音差だから避ける。[br]11番[br]　Cmaj7の11番≡４番のFは３番のEと半音差だから避ける。[br]　G7の11番≡４番のCは３番のBと半音差だから避ける。[br]13番[br]　Em7のー13番≡ー６番のCは５番のBと半音差だから避ける。[br]　Am7のー13番≡ー６番のFは５番のEと半音差だから避ける。[br][br]７和音で、避けたいものを除いた残りは、[br]C=１ではCmaj7、9.13＝C+Bｍ７(5ぬき）[br]D=１ではDm7、 9.11＝Dｍ+C[br]E=１ではEm7、　 [b]11　＝Em+D(３ぬき）[/b][br]F=１ではFmaj7、 9[b]+11[/b].13＝F＋Emmaj7[br]G=１ではG7、　　9.13=G+Fmaj7（５ぬき）[br]A=１ではAm7、　 9.11=Am+G[br]B=１ではBm7-5、[b]11-13＝Bm-5+A7(3ぬき）[br][br][size=150]＜一般化＞[br][/size][/b][color=#0000ff]１番メジャースケール上のテンションコードは[br]１番maj7, 9.　 13[br]２番m7、 9.11[br]３番m7、　 [b]11[/b][br]４番maj7, 9[b]+11[/b].13[br]５番7、　 9. 13[br]６番m7、　9. 11[br]７番m7-5、 [b]11-13[br][br][/b][/color][b][size=150]＜演奏上の注意＞[/size][/b][br]全部のせということは少ないので、[br]7音コードを意識して、３和音＋７番をベースにしたスケール上の４和音をつける[br]７，９，１１，１３⇒　ー６⇒　7番を１とした１，３，５，７[br]テンションを強調するときは、3和音部分の３，５度は省いたりすることが多い。

[b][size=150]＜ナチュラルマイナースケール上の７和音＞[br][/size][/b]白鍵の１番と３番と5番と７番、９，１１，１３番を同時に押してみます。[br]　　　　　　　　　　　　　　１　３　５　７[u]８ ９ 11 13 15[/u]　[br]A＝１はエオリアン（メジャー）[color=#0000ff][b]全半全全半全[/b][/color]全|[color=#0000ff][b]全|半全|全半|全[/b][/color]全[br]B＝１はロクリアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全全半全全[/b][/color]全|[color=#0000ff][b]半|全全|半全|全[/b][/color]全[br]C＝１はイオニアン（メジャー）[b][color=#38761d][u]全全半全全全[/u][/color][/b]半|[b][color=#38761d][u]全|全半|全全|全[/u][/color][/b]半　[br]D＝１はドリアン　　　　　　　[b][color=#0000ff]全半全全全半[/color][/b]全|[b][color=#0000ff]全|半全|全全|半[/color][/b]全[br]E ＝１はフリジアン　　　　　　[color=#0000ff][b]半全全全半全[/b][/color]全|[color=#0000ff][b]半|全全|全半|全[/b][/color]全[br]F ＝１はリディアン　　　　　　[b][color=#38761d][u]全全全半全全[/u][/color][/b]半|[b][color=#38761d][u]全|全全|半全|全[/u][/color][/b]半[br]G＝１はミクソ・リディアン　　[color=#0000ff][b]全全半全全半[/b][/color]全|[color=#0000ff][b]全|全半|全全|半[/b][/color]全[br][br]１つとばしで、白鍵の奇数番号、１，３，５，７，９，11, 13を同時に引いたのが７和音です。[br]７和音で、避けたいものを除いた残りは、[br]A=１ではAm7、　 9.11[br]B=１ではBm7-5、[b]11-13[/b][br]C=１ではCmaj7、9.13[br]D=１ではDm7、 9.11[br]E=１ではEm7、　 [b]11[/b][br]F=１ではFmaj7、 9[b]+11[/b].13[br]G=１ではG7、　　9.13[br][br][b][size=150]＜一般化＞[br][/size][/b][color=#0000ff]1番ナチュラルマイナースケール上のテンションコードは[br]１番m7、　 9. 11[br]２番m7-5、　 [b]11 -13[/b][br]３番maj7、9.　　13[br]４番m7、 9. 11[br]５番m7、　 　[b]11[/b][br]６番maj7、9[b]+11[/b].13[br]７番7、　　9.　　13[/color]

[b][size=150]＜ディミニッシュ＞[/size][/b][br][br]ディミニッシュコードは名前も、説明も複雑に感じる人がいるかもしれません。[br]図形としてみると単純です。[br]たとえば、[br]Cメジャースケールでの７番目の４和音はBm７－５でした。[br]Bから白鍵だけを４つ押してB、D、F、Aです。 [br]Bからみると１、－３、－５、－７というマイナスだらけです。[br]B＝１はロクリアン　　　　　 |[color=#0000ff][b]半全|全半|全全|[/b][/color]全|[br][br]さて、ここで音程は12で1周したことを思い出してください。[br]そして、[b][color=#0000ff]７度はメジャー７(全５半１）マイナー７（全４半２）[/color][/b]の2種類が[br]スケールコードで生まれる７度でした。もう一声半音を増やした[b][color=#0000ff]減７度（全３半３）[/color][/b]を作るのです。[br]Bからみると１、－３、－５、ー－７というマイナスだらけです。[br]B＝１でディミニシュ　 |[color=#0000ff][b]半全|全半|全半|半[/b][/color]全|[br]Bから順にB、D、F、G#の４つを押します。[br]さあ、これで、きれいに12個の半音階クロマチックスケールが４等分されました。[br]綺麗ですね。これをBdim7といいます。[br]BからみてG#が[b]減７度（diminished 7th)[/b]だからです。[br][br]音程の均等性に目をつけると、[br]Bdim7=Ddim7=Fdim7＝G#dim7になることがわかりますね。すべて半音あげると[br]Cdim7=D#dim7=F#dim7=Adim7です。さらに半音あげると[br]C#dim7=Edim7=Gdim7=A#dim7となります。今までのスケールの世界は、同型の和音はキーごとに12個できました。[br]ディミニッシュコードはキーを変えても、本質的に3個しかないことがわかりますね。[br][br]この事実を表したものが、最初のアプレットです。

[color=#9900ff][u][b][size=150]質問：ディミニッシュコードが視覚化できるアプレットはどうやって作りますか？[br][/size][/b][/u][/color][br]12種類の音名があるので、12角形の点にします。[br][b]たとえば、e^(i 2π/k) k=1...12として、12個の複素数ｚ１からｚ１２を設定[/b]しましょう。[br]12音名のリストNameS={"B", "C",......., "A#"}にたいして、[br]NameS(1), NameS(2),....,NameS(12)を１つ１つのテキストオブジェクトとして、[br][b]txt1, txt2,.....txt12[/b]と名前をつけなおします。[br]そうして、それぞれのテキストオブジェクト[b]txt kの「設定」の「位置」のリストから対応するｚk[/b][br]を選ぶべば、12個の頂点に、音名を表示できるようになるでしょう。[br][br]1つ１つの複素数の他に、複素数のリスト[b]pt=sequence(e^(i 2π/k), k, 1, 12)を設定[/b]しておけば、[br]pt(x)のｘを適当に選ぶことで、スケールに関係のある点を強調できます。[br]（そして、選ばれた番号の頂点ｋに対して、mod（ｋ－１,12）+1をすることで、１２のときに１２にする[br]変則mod12を作ることで、ｋの変化に対して、１，２、…、１２、１，２、…。１２と返します。）[br][br]選ばれたスケールの番号[b]M=[u][color=#0000ff]{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}です。これがメジャーとの違いです。[/color][br][/u][/b][br]キーをn=2としたばあい、[b]M＋n-1[/b]={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}と、リストをシフトして、[b]MN[/b]という名前をつけます。そして、[b]Sequence(Mod(MN(k)-1, 12)+1,k,1,[color=#ff0000]12[/color])[/b]として複素数の番号を12個に納めます。[br]たいていのスケールは７音ですが、[b][color=#0000ff]クロマチックは12音なので、数列の範囲を７から12に変える必要[/color][/b]があるので注意しましょう。[br][br]ここで、zip(pt(k),k,MN2)とするとMN2番目の頂点、つまりキーが２の[b]スケール音名を強調[/b]できますね。[br][br]最後に和音がサイクリックな音名の関係、つまり円環構造なので、[br][b]スケール上の４和音の点を多角形の頂点[/b]として選びだしましょう。[br]4和音[b]Cp4＝｛MN2(i),MN2(i+3),MN2(i+6),MN2(i+9)｝と番号リスト[/b]を作ります。[br]すると、12等分の点から[b]polygon(pt(Cp4(1)),pt(Cp4(2)),pt(Cp4(3)),pt(Cp4(4))[/b]とするだけで四角形が指定できます。[br]くわしくは、かくれた「数式」を広げて、グラフィックビューを一時的にせまくして、観察しましょう。