Considere os vetores[br][br][math]\vec v = (2m, n/2)[/math][br] [br][math]\vec w = (m, -n/2)[/math][br] [br]Determine analiticamente os valores de [math]m \in \mathbb R[/math] para que [math]\Pr_{\vec w} \vec v[/math] seja um vetor unitário.[br][br][list][*]Dica 1: [br] [br] [math][br] \left|\Pr_{\vec w} \vec v \right| = 1 [br] \quad \iff \quad[br] \left|\frac{\langle \vec v, \vec w \rangle}{| \vec w |^2}\right|[br] \cdot | \vec w | = 1[br] \quad \iff \quad[br] \frac{|\langle \vec v, \vec w \rangle|}{| \vec w |^2}[br] \cdot | \vec w | = 1[br] [/math][br][br][br][/*][*]Dica 2:[br][br]O vetor[br] [br] [math][br] \frac{\vec w}{|\vec w|}[br] [/math][br][br]sempre é unitário. Considere que [br][br] [math][br] \frac{|\langle \vec v, \vec w \rangle|}{| \vec w |^2}[br] \cdot \vec w [br] \quad=\quad [br] \frac{|\langle \vec v, \vec w \rangle|}{| \vec w |}[br] \cdot \frac{\vec w}{| \vec w |}[br] [/math][br][br][/*][/list][br][br]Usando qualquer uma das duas dicas, você vai chegar a uma equação de quarto grau biquadrada (que você pode resolver substituindo [math]m^2[/math] por uma variável qualquer [math]z[/math]).[br]

Vamos usar o sistema de computação algébrica (CAS) do Geogebra.[br][br]Ao mesmo tempo , vamos visualizar os vetores na janela gráfica do Geogebra.[br][br]No [i]app[/i] abaixo, posicione o controle deslizante no valor de [math]n[/math] que foi atribuído a você.[br][br]Depois, examine o raciocínio à esquerda, um passo de cada vez, cuidadosamente.[br][br]Para entender melhor, refaça cada passo à mão.[br][br]No gráfico à direita, o controle deslizante [math]j[/math] escolhe qual das respostas você quer exibir.[br][br]O vetor [math]\vec v[/math] é azul, o vetor [math]\vec w[/math] é vermelho, e a projeção [math]\Pr_{\vec w} \vec v[/math] é cinza.[br][br]Se necessário, arraste o gráfico e use o [i]zoom[/i] para visualizar melhor os vetores.

[list][*]Na linha 7 do [i]app[/i], pedimos para o Geogebra resolver diretamente a equação de quarto grau.[/*][*]À mão, você transformaria a equação de quarto grau em uma equação de segundo grau, substituindo [math]m^2[/math] por [math]z[/math]. Isto só é possível porque a equação da linha 6 é biquadrada.[/*][*]Depois de achar os valores de [math]z[/math], você precisa resolver a equação [br][br][math]m^2 = z[/math][br][br]que vai ter como soluções [br][br][math]z = \pm \sqrt{m}[/math][br][br][/*][*]Como você pode ter achado 2 valores para [math]z[/math], a resposta pode acabar sendo 4 valores para [math]m[/math].[br][/*][/list][br]