[size=85][size=85][size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][b]GeoGebra-Books [i][color=#000000][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/color][/i][/b][/color] ([color=#ff0000]Dezember 2021[/color])[/right][/size][/size]Es gibt 3 Möglichkeiten, 4 verschiedene [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] in 2 [color=#ff0000][i][b]Punkte-Paare[/b][/i][/color] zu zerlegen.[br]Ein [color=#ff0000][i][b]Punkte-Paar[/b][/i][/color] (z.B.: [math]\left[f_1,f_2\right][/math]) repräsentiert ein (elliptisches) [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color], bestehend aus allen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] [br]durch die beiden [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color]. Die [b]LIE[/b]-Klammern verwenden wir analog zu den [b]LIE[/b]-Klammern der [b]LIE[/b]-Algebra der [br][color=#0000ff][i][b]Möbius-Gruppe[/b][/i][/color]: Stellt man die Gruppe der Möbiustransformationen als komplexe [math]\mathbf{SO(3,\mathbb{C})}[/math] dar, so kann man [br]die komplexen Vektoren der zugehörigen [b]LIE[/b]-Algebra deuten als [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und den dazugehörigen [color=#38761D][i][b]loxodromischen Kurven[/b][/i][/color].[br]Die komplexe [color=#0000ff][i][b]Möbius[/b][/i][/color]-[b]LIE[/b]-Algebra ist die komplexifizierung des dreidimensionalen [i][b]euklidischen Vektorraumes[/b][/i] mit [br][color=#cc0000][i][b]Skalarprodukt[/b][/i][/color] und [color=#cc0000][i][b]Kreuzprodukt[/b][/i][/color].[br]Wir untersuchen beispielsweise die beiden Kreisbüschel [math]\left[f_1,f_2\right][/math] und [math]\left[f_3,f_4\right][/math]. [br]Fall die 4 [color=#ff0000][i][b]Punkte[/b][/i][/color] nicht [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] sind, d.h. falls sie nicht auf einem Kreis oder einer Geraden liegen,[br]gibt es aus dem [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[f_1,f_2\right][/math] je ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch [math]f_3[/math] und durch [math]f_4[/math].[br]Dazu konstruiere man die Winkelhalbierenden-Kreise (rot) [color=#cc0000][b]cw12[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#cc0000][b]cw12[sub]2[/sub][/b][/color]. [br]Auf dieselbe Weise konstruiere man Winkelhalbierenden-Kreise (grün) [color=#38761D][b]cw34[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#38761D][b]cw34[sub]2[/sub][/b][/color] für das [color=#ff0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[f_3,f_4\right][/math][br]und die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch [math]f_1[/math] und [math]f_2[/math]. [br]Eines der Kreis-Paare [color=#cc0000][b]cw12[sub]i[/sub][/b][/color], [color=#38761D][b]cw34[sub]j[/sub][/b][/color] liegen in einem [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] (sie schneiden sich nicht reell),[br]das andere Kreis-Paar schneidet sich in den Grundpunkten des [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color]: [math]z12_1[/math] und [math]z12_2[/math][br]es sind die Grundpunkte des [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschels[/b][/i][/color] [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math].[br]Die [color=#ff0000][b]Punkte-Paare[/b][/color] [math]f_1,f_2[/math] und [math]f_3,f_4[/math] liegen jeweils [color=#BF9000][i][b]punkt-symmetrisch[/b][/i][/color] zu den Grund-Punkten [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math].[br]Eine [color=#BF9000][i][b]Punktspiegelung[/b][/i][/color] ist eine gleichsinnige [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color], sie entsteht als Produkt von 2 [color=#BF9000][i][b]Kreisspiegelungen[/b][/i][/color] [br]an 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen [/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] aus dem [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math].[br]Rechnerisch folgt dies daraus, dass die [b]LIE[/b]-Produkte [math]\left[f_1,f_2\right][/math] und [math]\left[f_3,f_4\right][/math] [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] zu [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math] sind.[br][br]Analog konstruiert für die anderen [color=#ff0000][i][b]Punkte-Paare[/b][/i][/color] die [b]LIE[/b]-Produkte und ihre [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]:[br][/size][size=85][list][*]Die [b]LIE[/b]-Produkte [math]\left[\left[f_1,f_2\right],\left[f_3,f_4\right]\right][/math], [math]\left[\left[f_1,f_3\right],\left[f_2,f_4\right]\right][/math] und [math]\left[\left[f_1,f_4\right],\left[f_2,f_3\right]\right][/math] sind paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color], [br]ihre Grundpunkte liegen auf 4 paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] Kreisen (einer davon imaginär) [br]und die vorgegebenen Punkte-Paare liegen zu den zugeordneten Grundpunkten punkt-symmetrisch[/*][/list]Die Rechnungen ergeben sich aus der [b]Lagrange[/b]schen [color=#0000ff][i][b]Entwicklungsregel[/b][/i][/color] für das [b]LIE[/b]-Produkt. [br]Die [color=#BF9000][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] lassen sich mittels einer [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] auf [math]0,\infty,1,-1,i,-i[/math] abbilden,[br]aus der [color=#BF9000][i][b]Punktsymmetrie[/b][/i][/color] folgt dann, dass die Bilder von [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] sich als [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{C}[/math] darstellen lassen.[/size]