Analysis I & II D-MAVT/MATL 2019/2020

Andreas Steiger, Sep 3, 2019

Geogebrabuch zum Kurs Analysis I & II für die Studiengänge Maschinenbau und Materialwissenschaften an der ETH Zürich

Table of Contents

  1. I: Funktionen
    1. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
    2. Grenzwert einer Folge
    3. Transformationen von Funktionen
    4. Arcussinus - Umkehrung der Sinusfunktion
    5. Arcuscosinus - Umkehrung der Cosinusfunktion
    6. Arcustangens - Umkehrung der Tangensfunktion
    7. Arcuscotangens - Umkehrung der Cotangesfunktion
  2. II: Differentialrechnung
    1. Beispiel aus dem Abschnitt Fehlerrechnung
    2. Hyperbel mit Parametern
    3. Bernoullispirale
    4. Zykloide: Die Spur von Katzenaugen
    5. Plotter für ebene Kurven
    6. Plotter in Polarkooridinaten
    7. Evolute eines höheren Monoms
    8. Krümmung und Evolute
  3. III: Integralrechnung
    1. Riemannsumme 2
    2. Bogenlänge der Bernoullispirale
    3. klothoide
    4. Trasse an Schnellstraßen-Abfahrt
    5. Falsche Trasse an Abfahrt
    6. Gewölbte Staumauer mit Quadern
    7. Zylinderhuf
    8. Berechnung des Rotationsvolumens
    9. Rotationskörper
    10. Mantelfläche
    11. Moment of Inertia: Rolling and Sliding Down an Incline
  4. IV: Mehrdimensionale Differentialrechnung
    1. Niveaulinien
    2. Partielle Ableitungen
    3. Zum Beweis vom Satz von Schwarz
    4. Tangentialebene & Lineare Ersatzfunktion
    5. Extrema mit Nebenbedingungen
    6. Verallgemeinerte Kettenregel
    7. Niveauflächen in drei Variablen
    8. Gradient, Tangentialebene, Orthogonaltrajektorie in 3 Var.
    9. Polarkoordinaten für eine Funktion in 2 Variablen
  5. V: Mehrdimensionale Integralrechnung
    1. Beispiel eines Doppelintegrals
    2. Fubini: Vertauschen der Integrationsreihenfolge
    3. Koordinatentransformation für Flächenelemente
    4. Visualisierung eines Integrals in Polarkoordinaten
    5. Gaussintegral in kartesischen und Polarkoordinaten
    6. Kugelkoordinaten
    7. Beispiel: Lineare Approximation mit Least Square
    8. Integrale mit Parameter
  6. VI: Vektoranalysis
    1. Rotationsvektorfeld
    2. Coulombfeld
    3. Vektorfeld zum Gesetz von Biot-Savart
    4. Flussgesetz von Hagen-Poiseuille
    5. Ebene Vektorfelder
    6. Divergenz und Rotation eines ebenen Vektorfelds
    7. Parametrisierte Flächen im Raum
    8. Tangentenfläche
    9. Fluss des ebenen, homogenen Vektorfelds
    10. Animation des Fluss eines Vektorfelds
    11. Arbeit eines ebenen Vektorfelds
    12. Satz von Stokes
    13. Ebene Potentialfelder
  7. VII: Differentialgleichungen
    1. Plotter für Differentialgleichungen erster Ordnung
    2. Wurf und Fall in der Luft
    3. Kurvenscharen von Differentialgleichungen 1. Ordnung
    4. Differentialgleichung ohne eindeutige Lösung
    5. Lösungen von homogenen linearen DGL 1. Ordnung
    6. Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
    7. Orthogonaltrajektorien von Niveaulinien
    8. Enveloppe einer Parabelschar
    9. Enveloppe einer Geradenschar
    10. Plotter für lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
    11. Plotter für autonome Differentialgleichungssysteme

1.

I: Funktionen

  • 1. Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung
  • 2. Grenzwert einer Folge
  • 3. Transformationen von Funktionen
  • 4. Arcussinus - Umkehrung der Sinusfunktion
  • 5. Arcuscosinus - Umkehrung der Cosinusfunktion
  • 6. Arcustangens - Umkehrung der Tangensfunktion
  • 7. Arcuscotangens - Umkehrung der Cotangesfunktion

1.1.

Folgen in expliziter und rekursiver Darstellung

– Andreas Lindner

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

2.

II: Differentialrechnung

  • 1. Beispiel aus dem Abschnitt Fehlerrechnung
  • 2. Hyperbel mit Parametern
  • 3. Bernoullispirale
  • 4. Zykloide: Die Spur von Katzenaugen
  • 5. Plotter für ebene Kurven
  • 6. Plotter in Polarkooridinaten
  • 7. Evolute eines höheren Monoms
  • 8. Krümmung und Evolute

2.1.

Beispiel aus dem Abschnitt Fehlerrechnung

Dieses Applet begleitet das Beispiel von Seite 12 in Kapitel II des Skripts.[br][br]Gegeben seien die Seite a sowie der Winkel [math]\alpha[/math] eines Dreiecks. Aus einer Messung des Winkels [math]\beta[/math] ergibt sich der Wert für die Seite b.[br][br]Der Messfehler [math]\Delta\beta[/math] in [math]\beta[/math] pflanzt sich dann über die Formel [math]\frac{a}{sin\alpha}\cdot cos\beta\cdot\Delta\beta[/math] fort. Überprüfen Sie durch Verschieben des Punkts A, dass der Fehler in b bei [math]\beta=90^\circ[/math] tatsächlich kaum einen Einfluss auf b hat!
– Andreas Steiger

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

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2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

3.

III: Integralrechnung

  • 1. Riemannsumme 2
  • 2. Bogenlänge der Bernoullispirale
  • 3. klothoide
  • 4. Trasse an Schnellstraßen-Abfahrt
  • 5. Falsche Trasse an Abfahrt
  • 6. Gewölbte Staumauer mit Quadern
  • 7. Zylinderhuf
  • 8. Berechnung des Rotationsvolumens
  • 9. Rotationskörper
  • 10. Mantelfläche
  • 11. Moment of Inertia: Rolling and Sliding Down an Incline

3.1.

Riemannsumme 2

Das bestimmte Integral kann für stetige Funktionen f über [b]Riemannsummen [/b]definiert werden.[br][math]\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\cdot(x_i-x_{i-1})[/math][br][br]Dabei kann die Zwischenstelle [math]\xi_i[/math] beliebig aus dem Teilintervall [math][x_{i-1}; x_i] [/math] gewählt werden.[br]In diesem Applet sind die [b]Teilintervalle gleichlang[/b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Erhöhe den Wert für die Anzahl n der Unterteilungen des Intervalls [a; b] und beobachte, wie sich der Wert der Riemannsumme [math]Z_n=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\cdot(x_i-x_{i-1})[/math] einem bestimmten Wert - dem Wert des Integrals - annähert.
– Andreas Lindner

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

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3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

4.

IV: Mehrdimensionale Differentialrechnung

  • 1. Niveaulinien
  • 2. Partielle Ableitungen
  • 3. Zum Beweis vom Satz von Schwarz
  • 4. Tangentialebene & Lineare Ersatzfunktion
  • 5. Extrema mit Nebenbedingungen
  • 6. Verallgemeinerte Kettenregel
  • 7. Niveauflächen in drei Variablen
  • 8. Gradient, Tangentialebene, Orthogonaltrajektorie in 3 Var.
  • 9. Polarkoordinaten für eine Funktion in 2 Variablen

4.1.

Niveaulinien

Warnung: Diese App ist [b][i][u]*sehr*[/u][/i][/b] langsam beim Starten und enthält Bugs!
– Andreas Steiger

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

5.

V: Mehrdimensionale Integralrechnung

  • 1. Beispiel eines Doppelintegrals
  • 2. Fubini: Vertauschen der Integrationsreihenfolge
  • 3. Koordinatentransformation für Flächenelemente
  • 4. Visualisierung eines Integrals in Polarkoordinaten
  • 5. Gaussintegral in kartesischen und Polarkoordinaten
  • 6. Kugelkoordinaten
  • 7. Beispiel: Lineare Approximation mit Least Square
  • 8. Integrale mit Parameter

5.1.

Beispiel eines Doppelintegrals

– Andreas Steiger

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

6.

VI: Vektoranalysis

  • 1. Rotationsvektorfeld
  • 2. Coulombfeld
  • 3. Vektorfeld zum Gesetz von Biot-Savart
  • 4. Flussgesetz von Hagen-Poiseuille
  • 5. Ebene Vektorfelder
  • 6. Divergenz und Rotation eines ebenen Vektorfelds
  • 7. Parametrisierte Flächen im Raum
  • 8. Tangentenfläche
  • 9. Fluss des ebenen, homogenen Vektorfelds
  • 10. Animation des Fluss eines Vektorfelds
  • 11. Arbeit eines ebenen Vektorfelds
  • 12. Satz von Stokes
  • 13. Ebene Potentialfelder

6.1.

Rotationsvektorfeld

Rotationsvektorfeld
– Andreas Steiger

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

6.9.

–

6.10.

–

6.11.

–

6.12.

–

6.13.

–

7.

VII: Differentialgleichungen

  • 1. Plotter für Differentialgleichungen erster Ordnung
  • 2. Wurf und Fall in der Luft
  • 3. Kurvenscharen von Differentialgleichungen 1. Ordnung
  • 4. Differentialgleichung ohne eindeutige Lösung
  • 5. Lösungen von homogenen linearen DGL 1. Ordnung
  • 6. Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
  • 7. Orthogonaltrajektorien von Niveaulinien
  • 8. Enveloppe einer Parabelschar
  • 9. Enveloppe einer Geradenschar
  • 10. Plotter für lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
  • 11. Plotter für autonome Differentialgleichungssysteme

7.1.

Plotter für Differentialgleichungen erster Ordnung

– Andreas Steiger

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

7.10.

–

7.11.

–

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