De gulden snede - ooggetuigen
Dit GeoGebraboek gaat over 7 hoofdacteurs in een verhaal over vele eeuwen: het verhaal van de gulden snede zoals het meestal verteld wordt. Sommigen van deze hoofdacteurs zijn dat heel bewust, anderen beweren dat ze er nooit van gehoord hebben en er tegen wil en dank werden ingepraat door derden. We laten ze zelf aan het woord en ontdekken vooral ooggetuigen en rapporteurs van tijdsgebonden denkkaders over de kosmos, het leven, schoonheid en wiskunde. Volg in deze true-crime de individuele verhalen van Leonardo da Vinci, Vitruvius, Pythagoras, Euclides, Pacioli, Kepler en Zeising en ontdek het ware verhaal van de gulden snede.
Table des matières
- inleiding
- een foto met een boom
- gulden vrouwen
- waarover gaat het wiskundig eigenlijk?
- wat is 'de gulden snede'?
- het getal phi
- gulden 'spiraal'
- Leonardo da Vinci
- Wat moet je met de tekst van Vitruvius?
- da Vinci's versie
- en die navel dan?
- Vitruvius
- Vitruvius, de doorgever
- Pythagoras
- Pythagoras
- het Parthenon in afbeeldingen
- het Parthenon in cijfers en het Griekse wiskundige denken
- Euclides
- De volledige 13 boeken van Euclides' Elementen
- twee figuren met dezelfde oppervlakte
- een lijnstuk verdelen in uiterste en middelste reden
- eigenschappen van de gulden snede
- ingeschreven en omgeschreven figuren
- stelling van Pyhtagoras in Euclides' Elementen
- Pacioli
- 'over de goddelijke verhouding'
- waarom 'goddelijk'?
- 'over de architectuur'
- Diuina Proportio
- de renaissance architecten
- Kepler
- kosmologie met goddelijke proportie
- sneeuwvlokken en honingraten
- Zeising
- een nieuwe leer van de proportie van het menselijk lichaam
- Vitruvius versus Zeising
- Ghyka
- Le Corbusier
- extra's
- Tijdgerelateerd denken
- links en referenties
een foto met een boom
Hoe kadreer je een foto van een boom? [br]Versleep de gekleurde punten, bepaal de positie van de boom en zie waar je wel of niet, of ongeveer terechtkomt.
wat is 'de gulden snede'?
Wat is de 'gulden snede'?
De gulden snede is de verdeling van een lijnstuk in twee delen, zodat de verhouding van de totale lengte tot het langste deel gelijk is aan de verhouding van het langste deel tot het kortste deel:[br][math]\frac{totaal}{langste\;deel}=\frac{langste\;deel}{kortste\;deel}[/math] [br]Deze verdeling is maar op één manier mogelijk: [br]Bij een lijnstuk met lengte 1 is hierbij de lengte van het grootste deel [math]\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi=0.618[/math]...
constructie
Met de hulp van de stelling van Pythagoras kan je [url=https://www.geogebra.org/m/h9ywaeeg#material/qtwyuaeh]wortelvormen voorstellen[/url].[br]Om [math]\varphi[/math] te creëren moeten we dus eerst [math]\frac{\sqrt{5}}{2}[/math] creëren en daarvan [math]\frac{1}{2}[/math] aftrekken.[br][math]\frac{\sqrt{5}}{2}[/math] kan je creëren in een rechthoek met zijden 1 en [math]\frac{1}{2}[/math]:[br][list][*]Teken het te verdelen lijnstuk en noem de lengte 1.[/*][*]Construeer op dit lijnstuk een vierkant met zijde 1.[/*][*]Verdeel het vierkant verticaal in twee delen.[/*][*]Construeer in het linkse deel de diagonaal en creëer een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 1 en [math]\frac{1}{2}[/math].[/*][*]Volgens de stelling van Pythagoras is lengte van de diagonaal gelijk aan [math]\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}[/math].[br][/*][*]Om [math]\varphi[/math] te bekomen moet je van deze lengte [math]\frac{1}{2}[/math] aftrekken.[br]Dat kan door de halve zijde van het vierkant af te passen op de diagonaal.[/*][*]Pas nu de bekomen lengte [math]\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi[/math] af op het originele lijnstuk met lengte 1.[br]Het hebt het nu verdeeld in twee delen waarvan het grootste deel gelijk is aan [math]\varphi[/math].[br][math]\varphi[/math] is een irrationaal getal: je kan het niet schrijven als een quotiënt van gehele getallen.[br]In decimale schrijfwijze is [math]\varphi[/math] benaderend gelijk aan[b] 0.618...[/b][/*][/list]
Verken de stappen in het applet
Wat moet je met de tekst van Vitruvius?
man in cirkel en vierkant
[url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Vitruvius_(architect)]Vitruvius[/url] (c. 80 – c. 20 BC) beschrijft in [i]De architectura[/i] de ideale verhoudingen van de man, ingeschreven in een cirkel en een vierkant: [br][b]Wanneer een man op zijn rug ligt met uitgestrekte armen en benen is de navel het middelpunt van een [color=#0000ff]cirkel [/color]rond hem en vingertoppen en tenen raken de omtrek. [br]De lengte van de man komt overeen met de spanwijdte van de gestrekte armen en vormen zo een [color=#0000ff]vierkant[/color].[/b][br]Alleen...Vitruvius verwijst wel naar begeleidende tekeningen, maar die hebben de tijd niet overleefd.
pogingen
In 15[sup]e[/sup] en 16 eeuw proberen verschillende kunstenaars en architecten hoe ze die beschrijving kunnen uittekenen.
Francesco di Giorgio Martini maakt een tekening van de 'Vitruviaanse man', maar zijn 'vierkant' is hoger dan het breed is en is dus een rechthoek.
Cesare Cesariano
[url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Cesare_Cesariano]Cesare Cesariano[/url] (1475-1543) was de eerste die de volledige tekst van Vitruvius vertaalde in het Italiaans, becommentarieerde én verzag van illustraties: 300 pag. en een oplage van 1300 exemplaren.[br]Ook hij kon niet voorbij aan die cirkel en vierkant, waagde zich wel aan een echte constructie, maar die handen en voeten...
Vitruviaanse man door Martini
Vitruvius, de doorgever
van presocraten naar de renaissance
Rond 25 v.Chr. schreef Vitruvius (85-20 v.Chr.) [i][url=https://archive.org/details/mvitrvviipollion00vitr]De Architectura libri decem[/url][/i], de enige verhandeling van deze omvang en diepgang over architectuur die uit de klassieke oudheid bewaard is gebleven.[br]Vitruvius' drie grondbeginselen waren [b][i]firmitas [/i][/b](stevigheid) - [b][i]utilitas [/i][/b](functionaliteit) en [b][i]venustas [/i][/b](schoonheid), die enkel mogelijk waren als alle delen van een gebouw de juiste proportie hadden tot het geheel.[br]De idee van orde en proportie haalt Vitruvius bij de vroege Griekse filosofen of [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Presocratische_filosofie]presocraten [/url](600-400 v.Chr.) en krijgt een nieuw leven in het humanisme van de renaissance wanneer zijn werk herontdekt wordt in de 15e eeuw. [br]Hiermee vervult Vitruvius de rol van doorgever van ideeën uit 600-400 v.Chr. naar het humanisme van de renaissance in de 15e en 16e eeuw.
kosmos
Voor de presocraten betekent Kosmos '[i][b]orde[/b]'[/i] of '[i][b]harmonie[/b][/i]': een harmonische orde van de onderdelen in een organisch systeem. [br]Wanneer de Duitse humanist Petrus Aspianus in de 16e eeuw het universum voorstelt, beeldt hij uit hoe de aarde binnen een samenhangend geheel omringd wordt door de maan, de planeten en de dierenriem.
macrokosmos en microkosmos
De mens krijgt zijn plaats in deze kosmos door het beeld van [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Microcosm%E2%80%93macrocosm_analogy]macrokosmos en microkosmos[/url].[br]Binnen het heelal als macrokosmos is de mens een microkosmos, een en al orde en proportie én de maat voor het aardse leven.[br]De 17e eeuwse Britse astronoom [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Robert_Fludd]Robert Fludd[/url] maakte onderstaande afbeelding van macro- en microkosmos.
mens en architectuur
[i]mens[/i][br]Binnen het beeld van macrokosmos en microkosmos is het evident dat de mens zelf een toonbeeld van proportie is. Vitrivius illustreert dit door op te sommen hoe lichaamsdelen zich verhouden tot de de lengte van de mens. Deze lijst zal da Vinci zal overnemen in zijn Vitruviaanse man.[br][br][i]architectuur[/i][br]Even vanzelfsprekend is dat de mens de maat is voor het aardse en dus ook voor de architectuur, niet omdat dit aantrekkelijk is, maar omdat het bij 'orde en proportie' hoort.[br][i]PS: Vaak wordt hierbij ook verwezen naar Protagoras ([/i][math]\pm[/math][i]490 - [/i][math]\pm[/math][i]420 v.Chr.) die zou gezegd hebben "De mens is de maat van alle dingen". Maar in de filosofie interpreteert men dit eerder als een suggereren dat hij niet geloofde in een objectieve waarheid, maar er vanuit ging dat de mens zijn eigen waarheid heeft of zelfs fabriceert.[/i][br][br][url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Francesco_di_Giorgio_Martini]Francisco di Giorgio Martini[/url] schrijft in 1480 op zijn beurt een theoretisch werk over architectuur.[br]Dat hij het plan van een kerk tekent vanuit de menselijke proporties valt dus niet zomaar uit de lucht.[br]Evenmin is het vreemd dat hij als renaissance architect dit doet in een raster van vierkanten en ingeschreven cirkels waarbinnen elk element zich met gehele getallen verhoudt tot het geheel[br]
Pythagoras
Pythagoras
De vroege Griekse filosofen of [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Presocratische_filosofie]presocraten[/url] (600 - 400 v.Chr.) liggen aan de basis van de westerse filosofie en wetenschappen. Fundamenteel is de plaats die getallen en verhoudingen van getallen innemen in hun denken. 'Kosmos' betekent orde, en die wordt gerealiseerd door verhoudingen van natuurlijke getallen. Deze ideeën vinden heel uitgesproken terug bij Pythagoras (ca. 570 v.Chr. - ca. 500 v.Chr.)[br]De pythagoreeërs zien in de beginselen van de wiskunde de beginselen van alle getallen. Getallen hebben symbolische betekenissen op zich en in hun relaties tot elkaar.[br]Zo wordt bv. het getal 10 voorgesteld als een driehoeksgetal. Het heeft de vorm van een viertal (tetraktys). [br][img]https://www.geogebra.org/resource/kk7vkead/c8Wc3FG4iRcKfzSi/material-kk7vkead.png[/img][br]Het getal10, een hogere vorm voor de eenheid, is in deze vorm de combinatie van de eerste vier getallen en symbool voor de opbouw van de kosmos.[br]1 vormt de basis voor een punt, 2 voor een lijn, 3 voor een plat vlak en 4 voor de ruimte.[br]Tegelijk stemmen de onderlinge verhoudingen overeen met de frequentieverhoudingen van de harmonische samenklanken in de muziek:[br][list][*]octaaf 1 : 2[/*][*]kwint 2 : 3[/*][*]kwart 3 : 4[/*][/list]Voor de pythagoreeërs is dat geen toevallig meenemertje. De muziek is net de meest evidente illustratie van het samengaan van verhoudingen van natuurlijke getallen en harmonie.
verhoudingen
[list][*]De basis van de esthetische proportieleer ligt in de verhouding van twee getallen. [br]Bij de verhouding [b]a : b[/b] van twee getallen is meteen een derde getal in het spel: de waarde van de verhouding.[/*][*]Twee verhoudingen kunnen aan elkaar gelijk zijn, [b]a : b :: c : d [/b](bv. 4 : 2 :: 10 : 5).[br]Wij noemen dat een evenredigheid, de Grieken een analogie.[br][/*][*]Een bijzonder geval is [b]a : b :: b : c[/b], met een middenterm die aan beide verhoudingen deelneemt.[br]Meetkundig betekent het dat je met enkel die middenterm eenzelfde oppervlak kan vormen als met de beide buitentermen. [br]Immers [math]\frac{a}{b}=\frac{b}{c}[/math] komt overeen met [math]b^2=a\cdot c[/math]. [br]Bijvoorbeeld [b]4 : 6 :: 6 : 9[/b] betekent [math]\frac{4}{6}=\frac{6}{9}[/math] en komt overeen met [math]6^2=4\cdot9[/math].[br]Het midden 6 verbindt de getallen 4 en 9 en een vierkant van 6 op 6 is even groot als een rechthoek van 4 op 9.[br][/*][/list]
Plato
Plato zegt dat twee zaken altijd door een derde moeten verbonden en dat de mooiste verbinding die is die een verbinding maakt tussen zichzelf en een derde.[br]Hij schrijft: "[i]Omdat de aarde niet plat is kunnen we niet met een middenterm volstaan en zijn er twee nodig[/i]" en verbindt zo de fysische elementen tot de dubbele middelevenredigheid [b]vuur : lucht :: lucht : water :: water : aarde[/b]
irrationaliteit
Illustratief is de wijdverspreide legende dat Pythagoras één van zijn volgelingen, liet verdrinken omdat hij de structuur van het twaalfvlak en de inschrijving in een bol (en daarmee de irationaliteit) openbaarde. Anderen vernoemen de irrationale verhouding tussen de diagonaal en de zijde van een vierkant.[br][br]PS: De diagonaal van een vierkant met zijde 1 is [math]\sqrt{2}[/math], wat inderdaad een irrationaal getal is.[br]Maar dat 'probleem' werd onder de mat geveegd met volgende uitspraak: [br][i]"De diagonaal van een gegeven vierkant is gelijk aan de zijde van een vierkant dat dubbel zo groot is".[/i]
[url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Pappos_van_Alexandri%C3%AB]Pappos van Alexandrië[/url] suggereert een minder letterlijke interpretatie: "Wie zich met irrationalia bezighoudt, zal er in verdrinken."[br]Waar of niet waar, in de pythagoreïsche gedachtewereld is geen plaats voor irrationale getallen.[br]Maar hoe zit het dan met het Parthenon (uit ca 460 v.Chr.)?[br]Dat ontdek je op de pagina [url=https://www.geogebra.org/m/uzmpvfks#material/btbhjjcn]het Parthenon in cijfers en het Griekse wiskundige denken[/url].
De volledige 13 boeken van Euclides' Elementen
Je vindt de volledige 13 boeken van Euclides' Elementen online terug op [url=https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf]https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf[/url] [br]Via de zijbalk kan je handig bladeren door de verschillende boeken en hun proposities.[br]In 545 pagina's wordt zowel een Griekse als een moderne Engelse vertaling aangeboden. [br]De proposities zijn voorzien van een duidelijke tekening, de omschrijving, uitwerking en bewijs van de propositie. [br]Hieronder kan het pdf-document ook rechtstreeks downloaden.
Euclides_elementen
verwijzingen naar de gulden snede
In de werkbladen van dit hoofdstuk overlopen we de rechtstreekse of onrechtstreekse verwijzingen naar de gulden snede zoals je die doorheen de verschillende boeken kan terugvinden.
'over de goddelijke verhouding'
In 1498 schrijft Pacioli en manuscript [i]Divina Proportione, [/i]waarvan slechts 3 officiële exemplaren werden gekopieerd. [br]In 1509 verschijnt het in druk, maar nu samengebonden met nog enkele andere teksten, waaronder een Italiaanse vertaling van Piero della Francesca’s traktaat over de vijf regelmatige lichamen, en een traktaat dat Pacioli aan de architectuur had gewijd. Het gaat dus om 3 verschillende teksten die samen verschijnen onder de titel van de eerste (eigen) tekst. En dat kan je merken aan hun inhoud.[br]Je kan het boek online in [url=https://archive.org/details/divinaproportion00paci]facsimile[/url] inkijken.
'over de goddelijke verhouding'
In het eerste deel, [i]Compendio divina proportione[/i] (Compendium over de goddelijke verhouding) verwerkt Paciolo het werk van Euclides: [br]"[i]over welke verdeling gaat het, waar kom je ze tegen en wat zijn haar rekenkundige eigenschappen?"[/i][br]Het gaat om wiskunde. Net als bij Euclides vind je hier geen spoor van een toepassing van de gulden snede in de architectuur of als maat voor het menselijk lichaam.
Links toont Pacioli bv. dat de diagonalen van een regelmatige vijfhoek elkaar snijden volgens de goddelijke proportie.
kosmologie met goddelijke proportie
natuur
In 1608 schrijft [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler]Kepler[/url] (1571 - 1630) dat 'de goddelijke proportie bijzondere aandacht verdient.'[br][i]"Dat in de continuïteit van deze proportie de som van twee opeenvolgende termen telkens als volgende term kan dienen, moet de Schepper wel geïnspireerd hebben toen hij besloot het gelijke telkens weer opnieuw te laten ontstaan uit het gelijke. Overal in de natuur zie je immers de vijfheid van de bloemen die de voorbode zijn van het ontstaan van nieuwe vruchten, en die er dus niet zijn om zichzelf, maar omwille van de voortplanting. En omdat het pentagon door middel van de goddelijke proportie geconstrueerd wordt, moet deze verhouding wel archetypisch zijn."[/i]
kosmologie
Kepler vraagt zich ook af waarom er nu juist 6 planeten zijn en waarom ze t.o.v. de zon elk de afstand hebben die ze hebben.[br]Het antwoord in zijn [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Mysterium_cosmographicum]Mysterium Cosmographicum[/url] en [url=https://archive.org/details/1596-kepler-prodromus-dissertationum-cosmographicarum-continens-mysterium-cosmographicum]volledig online[/url] (1596) is een systeem waarin je de banen van de planeten kan plaatsen rond en binnen veelvlakken, namelijk de vijf Platonische lichamen (veelvlakken waarvan alle zijvlakken identieke regelmatige veelhoeken zijn):[br]het viervlak (piramide), zesvlak (kubus), achtvlak (octaëder), twaalfvlak (dodecaëder) en twintigvlak (icosaëder).[br][br]Kepler combineert in één goddelijk bouwplan netjes het principe van planeten die alle rond de zon draaien met een beeld waarin de aarde centraal staat, de zes planeten, de vijf Platonische lichamen én de gulden snede.[br]Gelukkig heeft hij de ontdekking van Uranus (1781) en Neptunus (1846) niet meer meegemaakt...
ingeschreven en omgeschreven cirkel
Bij elk van deze veelvlakken kan je twee bollen tekenen:[br][list][*]de [b]ingeschreven bol[/b] raakt alle zijvlakken van het veelvlak.[/*][*]de [b]omgeschreven bol[/b] gaat door alle hoekpunten van het veelvlak.[/*][/list]
Vertrekkend van de aarde laat Kepler telkens de baan van elke planeet omschrijven door één van de veelvlakken. [br][i]"Er zijn 6 planeten omdat er 5 Platonische lichamen zijn."[/i][br]De omschreven bol van dat veelvlak komt nu telkens overeen met de baan van de volgende planeet.[br][list][*]de aardbaan wordt omschreven door een twaalfvlak. De omgeschreven bol hiervan is de baan van [b]Mars[/b].[/*][/list]
Zo kan je een na een voortgaan met de andere planeten:[list][*]De Marsbaan wordt omschreven door een viervlak. De omgeschreven bol hiervan is de baan van [b]Jupiter[/b].[br][/*][*]De Jupiterbaan wordt beschreven door een kubus. De omgeschreven bol hiervan is de baan van [b]Saturnus[/b].[/*][*]In de aardbaan is een twintigvlak ingeschreven. De hierin ingeschreven bol is die van [b]Venus[/b].[br][/*][*]In de Venusbaan is een achtvlak ingeschreven. De hierin ingeschreven bol is die van [b]Mercurius[/b].[/*][/list]
[i]Klopt dit? Eigenlijk behoorlijk goed, maar wel met belangrijke afwijkingen er hier start Kepler zijn aanvullend rekenwerk met [url=https://www.geogebra.org/m/CTErh8qZ#material/sTEkWTTq]ellipsen en eccentriciteiten[/url] (de planetenbanen zijn bijna cirkels met de zon bijna in het centrum).[/i][br][i]PS: de eccentriciteit duidt aan in welke mate de ellips verschilt van een cirkel en verschilt voor elke planeet.[br]Zo heeft Venus met e = 0,0068 de meest cirkelvormige baan en Mercurius met e = 0,2056 de meest excentrische baan. De aarde zit daar tussenin met e = 0,0167.[/i]
Maar hiermee is Kepler nog niet aan het einde van zijn metafysisch denken.
de aarde tussen Venus en Mars
Kepler kent aan Venus de [i]facultas seminalis[/i] toe (het vermogen tot voortplanting) en deze planeet maakt in acht jaar dertien omwentelingen, wat 'goed' overeenkomt met de goddelijke proportie:[math]\frac{8}{13}=0.615[/math].[br]De aarde bevindt zich midden tussen Venus en Mars op een plaats die je met de goddelijke proportie kan berekenen uit twaalfvlak en twintigvlak (in zijn eigen model).[br]"[i]Dat betekent dat voortplanting precies midden die twee platonische lichamen plaatsvindt, die afstammelingen zijn van de goddelijke proportie.[/i]" [br]Van een metafoor gesproken...
En zo combineert Kepler in één goddelijk bouwplan het principe van planeten die alle rond de zon draaien met een beeld waarin de aarde centraal staat, de zes planeten, de vijf Platonische lichamen én de gulden snede.[br]Gelukkig heeft hij de ontdekking van Uranus (1781) en Neptunus (1846) niet meer meegemaakt...
een nieuwe leer van de proportie van het menselijk lichaam
1717 - Johann Wenceslaus Kaschube
De oudste gekende bron die de benaming 'gulden snede' vermeldt, is het boek [url=https://www.e-rara.ch/zuz/doi/10.3931/e-rara-51190]CURSUS MATHEMATICUS Oder Deutlicher Begrief Der Mathematischen Wissenschaften[/url] (1717) door Johann Wenceslaus Kaschube). [br]In zijn beschrijvingen van middelevenredigheden en constructies schrijft Kaschube bovenaan [url=https://www.e-rara.ch/zuz/content/zoom/14071922]pag. 566[/url]: [br]".[i]..[/i]Wanneer een lijn AB zoals vermeld gesneden wordt, heet ze media & extrema ratione fecta. [b]De Ouden noemden deze snede de gulden[/b].)[br]Kaschube gaat echter verder niet in op deze benaming en evenmin op het voorkomen van deze verhouding in mens, natuur of kunst.
Martin Ohm - Adolf Zeising
[b]1835[/b]: Enter Martin Ohm, de jongere broer van de fysicus Georg Ohm[br]In zijn boek '[i]Die reine Elementar Mathematik[/i]' noemt hij Euclides' verdeling in uiterste en middelste reden "goldener Schnitt" (gulden snede) en pikt hiermee de benaming op die Kaschube zo'n 120 jaar eerder reeds gebruikte. Via via belandt de benaming bij ene Adolf Zeising, die letterkunde en filosofie gestudeerd had en publiceerde over de meest uiteenlopende onderwerpen.
[b]1854[/b]: Enter Adolf Zeising [br]Hij publiceert een boek met een ronkende titel: "[i]Neue lehre von den proportionen des menschlichen körpers, aus einem bisher unerkannt gebliebenen, die ganze natur und kunst durchdringenden morphologischen grundgesetze entwickelt und mit einer volständigen historischen uebersicht der bisherigen systeme begleitet[/i]". [br](Nieuwe leer over de verhoudingen van het menselijk lichaam, ontwikkeld uit een morfologische basiswet die men tot nu toe niet onderkend had, en die de hele natuur en kunst doordringt.)[br][br]Die morfologische basiswet die men nog niet onderkend had is de gulden snede. Zeising wil zo graag als 'ontdekker' doorgaan, dat hij in alle tonen zwijgt over Euclides, Pacioli én Kepler.[br]Zijn bombastische claim probeert hij ook waar te maken in al zijn details.[br]Dit boek is de start van het grote gulden snede verhaal met al zijn claims over mens, natuur en kunst. [br]We kijken door een gulden snede bril en zien niet langer verhoudingen van [math]\frac{3}{5}[/math] of [math]\frac{5}{8}[/math], maar verhoudingen van 'ongeveer' [math]\frac{\sqrt{5}-1}{2}[/math]. [br]Je vindt het boek van Zeising [url=https://archive.org/details/neuelehrevondenp00zeis]hier[/url] online.
Tijdgerelateerd denken
De ontstelling van Pythagoras
In ‘De ontstelling van Pythagoras’ gaat Albert van der Schoot uitvoerig in op hoe doorheen de tijd gedacht werd over wiskunde, over schoonheid en wat die wel of niet met elkaar te maken hadden.[br]Een eerste vaststelling is meteen raak: “[i]De gulden snede als esthetisch ideaal hoort niet thuis in de periode waarmee ze vaak geassocieerd wordt en zou daar ookhelemaal niet op haar plaats zijn. Pythagoras zou zeer ontsteld geweest zijn dat de gulden snede werd uitgeroepen tot esthetisch ideaal[/i]." [br]Verwijzend naar de titel van zijn boek schrijft hij: “[i]Irrationaliteit komt in het woordenboek van de pythagoreeërs net zo min voor als onstelling in Van Dale.” De ontologie van de Pythagoreeërs is immaterieel en gebaseerd op wiskunde.[/i]”[br]Deze vaststelling is symptomatisch voor het denken over de gulden snede: één manier van denken over wiskunde en schoonheid wordt probleemloos geprojecteerd op het verleden alsof dit denken steeds monolithisch was. [br]
Hét Griekse denken?
Het is ook fout om de pythagoreïsche instelling te generaliseren tot ‘de Griekse oudheid’. Waar voor de Pythagoreeërs (6e E v.Chr.) getallen inzicht geven in de orde in de kosmos, is wiskunde voor Plato (4e E v.Chr.) slechts een hulpmiddel voor diepere kennis en inzicht. Ook het accepteren van de irrationaliteit bleek een moeizaam maar onvermijdbaar proces. Proportionaliteit werd niet allen meer gezien als een relatie van gehele getallen, maar ook als een relatie tussen groottes die niet altijd rationaal meetbaar zijn. [br]Euclides, die in zijn ‘Elementen’ een overzicht geeft van de wiskundige inzichten rond 300 v.Chr. in Griekenland is niet uit op ethisch of metafysisch inzicht.[br]Waar Plato nog schrijft: "[i]Al het goede is schoon en het schone is niet zonder maat: dus moet een levend wezen, als het goed wil zijn, ook symmetrisch zijn[/i]”, verdedigt Aristoteles juist dat het goede en het schone niet identiek zijn. [br]En zo zijn er nog wel een aantal tegenstemmen die illustreren dat hét Griekse denken niet statisch of uniform is, wat we gemakshalve vergeten bij het spreken over de gulden snede.
Renaissance en 17e eeuw
Griekse geschriften bereikten het christelijke westen vaak via Arabische transcripties. De herontdekking van de tien boeken van Vitruvius vormde een theoretische basis voor theoretici, architecten en schilders in het humanisme. [br]Symmetrie (in de betekenis van proportie) is geen criterium voor artistieke kwaliteit, maar van de ontologie van het object. Net zoals het menselijk lichaam wordt een tempel (kerk) geacht symmetrisch te zijn. Vitruvius beschrijft het menselijk lichaam heel precies, en daardoor is het ook maatgevend voor de tempelbouw.[br][br]Ook in de 17e eeuw gelden meetkundige stellingen nog als onbetwiste zekerheden. [br]Spinoza schrijft: “[i]Ik zal de daden der mensen en hun begeerten op dezelfde wijze beschouwen alsof er sprake was van lijnen, vlakken of lichamen.[/i]”
18e eeuw
In de 18e[sup] [/sup]eeuw lijkt de tijd van de geometrie als zelfstandige wetenschap voorbij te zijn. De focus verschuift van haar mathematische onwrikbare fundering naar haar dynamische mogelijkheden. Van de Schoot citeert o.a Diderot: "[i]Cette science s'arrêtera tot court[/i]" en Voltaire: "[i]Comment croire que ce qui est manifestement impossible à la nature, soit vrai[/i]? [br]Hij concludeert: “[i]Deze uiteenlopende visies maken nog eens duidelijk dat er van een waardenvrije positie van de wiskunde evenmin sprake kan zijn als van een waardenvrije positie van enig ander kennisgebied. Er bestaat altijd een correlatie tussen mensbeeld en wiskundebeeld. De uitkomst van berekeningen mag dezelfde blijven, het belang dat er door vertegenwoordigd wordt, verandert. De les die er voor de esthetica uit te trekken valt is dat er niet zoiets bestaat als een innocent eye. Het mag ons dan ook niet verbazen dat de status van de proportionaliteit als schoonheidsideaal eveneens aan kentheoretische klimaatveranderingen onderhevig is[/i].”
Edmund Burke (1729 – 1797)
Volgens van der Schoot is er geen auteur die zo grondig afrekent met de proportie als rationeel schoonheidscriterium als Edmund Burke, die als empirist kijkt naar planten, dieren en mensen.[br]Als we naar bloemen kijken onder verschillende gezichtshoeken, veranderen hun verhouding, maar de schoonheid ervan wordt geenszins aangetast. Wat te denken van de verhoudingen van pauw en zwaan, beide prachtige vogels? Burke vraagt zich ook af of de proportie aanspraken nu in gelijke mate gelden voor mannen en vrouwen. De schoonheid van vrouwen treedt veel meer op de voorgrond dan die van mannen, maar dat vrouwen aantrekkelijker zijn, kan toch niet het gevolg zijn van een veel grotere exactheid van proporties? Die worden juist gewoonlijk geprojecteerd op het mannelijk lichaam, zonder dat duidelijk is wat dat betekent voor het lichaam van de vrouw. Moet je dan aan een vrouw die niet aan de ideale maten voldoet, zeggen dat ze niet mooi is ofwel een andere reden vinden voor haar schoonheid? [br]Hetzelfde geldt voor de vergelijking tussen mensen en dieren. Veel dieren zijn met dezelfde soorten lichaamsdelen toegerust als wijzelf, zonder dat de maatverhoudingen ook maar bij benadering overeenstemmen.[br]Burke verwerpt nu definitief het idee dat schoonheid van nature afhankelijk zou zijn van proportie. [br]Van der Schoot duidt deze houding als indicatief voor de paradigmaverschuiving: "[i]wie het classicisme verwerpt en de weg bereidt voor de Romantiek vindt in de canon van proporties een obstakel. Opnieuw ziet hij zijn uitgangspunt bevestigd. De manier waarop we naar de dingen kijken, wordt niet alleen door die vormen zelf bepaald. Ruskins innocent eye is een mythe.[/i]"
Zeising en het Duits idealisme
De geboorte van de gulden snede als schoonheidsideaal kan je situeren binnen het [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Duits_idealisme]Duits idealisme[/url]. [br]1854 is een mijlpaal in de geboorte van de het denken over de gulden snede als esthetisch ideaal.[br]De Duitse filosoof Adolf Zeising is sinds Pacioli de eerste die aan de verhouding een heel boek wijdt. Zeising is als filosoof opgeleid in de traditie van Hegel en past daarmee in het Duits idealisme.[br]De term ‘idealisme’ moet je hier verstaan als ‘vertrekkend vanuit de ideeën’. Het is het menselijk verstand dat vorm geeft aan de werkelijkheid. De mens kent dus de wereld niet zoals ze werkelijk, los van de mens bestaat, maar enkel de wereld zoals die aan het menselijk verstand verschijnt. [br][br]Een centraal begrip binnen het werk van Hegel is dat van 'vervreemding': de mens moet inzien dat de externe werkelijkheid niet iets vreemds is dat radicaal gescheiden is van het denken. Voor Hegel bestaat de gehele werkelijkheid immers uit een redelijke Wereldgeest ([i]Weltgeist[/i]) die verder evolueert tot ze uiteindelijk inziet dat ze zelf het bezielend principe achter alles is.[br]Binnen deze redenering zijn de ideeën van Zeising niet vreemd: De mens is de maat van de dingen – de gulden snede verhoudingen in het menselijk lichaam illustreren en bewijzen de mens als ideaal en norm. [br]De gulden snede vinden we daarom niet terug in de natuur en in de kunst vanuit een absoluut primaat van de wiskunde boven alles en iedereen, maar net vanuit de mens.