Quadratische Gleichungen
Table of Contents
- Quadratische Gleichungen entdecken
- Einstiegsproblem: Quadrate auf Terrasse
- Die Mitternachtsformel
- Motivation für die Mitternachtsformel
- Herleitung Mitternachtsformel
- Lösen von quadratischen Gleichungen
- Lösen mit der Mitternachtsformel
- Lösung mit dem Taschenrechner TI 30X Pro MV
- Syteme quadratischer Gleichungen
- Lagebeziehungen zwischen Parabel und Gerade
- Drei konkrete Beispiele: 1. schneiden
- Drei konkrete Beispiele: 2. berühren
- Drei konkrete Beispiele: 3. passieren
- Übungsaufgabe 1: Schnittpunkte
- Übungsaufgabe 2: Prüfe, ob Tangente
- Übungsaufgabe 3: Term T(x) und Termwert
- Übungsaufgabe 4: Parabel schneidet Parabel
- Übungen (einfache)
- Übungen (komplexe)
Einstiegsproblem: Quadrate auf Terrasse
Die drei quadratischen Platten sollen passend auf die Terrasse gelegt werden.[br]Ziehe die Quadrate in die richtige Position.
Gesucht ist die Seitenlänge eines Quadrats
[b][br]Problem: [br]Drei Quadrate haben zusammen den Flächeninahlt 48 m². Gesucht ist die Seitenlänge [i]a = x m[/i] eines Quadrats.[/b][br][br][i]Mach dir zunächst deine eigenen Gedanken und berechne die Seitenlänge![size=150][size=200][icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/size][/size][br][br][/i]
Term für die Seitenlänge
[b]Gesucht ist eine Gleichung, die das Terrassenproblem korrekt beschreibt. [br]Für die Seitenlänge a des Quadrats gilt: [i]a = x m[/i].[/b]
Hier kannst du dir die 3 Schritte der Lösung anzeigen lassen:
[b][size=150][br][br][br]Neues Problem:[br]Quadratische Fliesen auf rechteckige Terrasse[/size][/b][br][br][b]312 quadratische Fliesen mit der Seitenlänge [i]a = x m[/i] sind gerade so groß, dass sie auf einer 7,02 m² großen rechteckigen Terrasse "ohne Rest" verlegt werden können.[/b][br][br][b]Berechne den Wert für x.[/b][br][br][br][i]Mach dir zunächst deine eigenen Gedanken und berechne die Seitenlänge mit dem Taschenrechner![icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][br][br][/i]
[br]
Lösung 312 Quadrate auf 7,02m²-Terrasse:
Hier kannst du das Problem zeichnerisch untersuchen. Bewege den blauen Punkt.
[b][br][br][br]Übernimm den folgenden Hefteintrag: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/b]
Hefteintrag Quadratische Gleichung mit Übung
Motivation für die Mitternachtsformel
Aus einer früheren Abschlussprüfung:
Für den Flächeninhalt von Dreiecken A[sub]n[/sub]B[sub]n[/sub]C gilt in Abhängigkeit von x:[br][color=#274E13][color=#38761D][b]A(x) = (0,75x² - 3x) FE[/b][/color][br][/color][br]Der Flächeninhalt des Dreiecks A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub]C beträgt [color=#ff0000][b]12 FE[/b][/color].[br]Berechne den zugehörigen x-Wert.[br][br][br][i]Mach dir zunächst deine eigenen Gedanken und stelle eine Gleichung auf.[/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][br][br]....... = ....... [br][br][br][br]Durch "Wurzel ziehen" kommen wir hier nicht weiter aufgrund des gemischten Terms [i]-3x[/i])![br][br]Untersuche das Problem grafisch. Bewege den Punkt und ermittle die x-Werte, an denen die [br][color=#38761D][b]Parabel p: y=0,75x² - 3x[/b][/color] den [color=#ff0000][b]y-Wert 12[/b][/color] annimmt.
Bei der zeichnerischen Ermittlung ist nicht sicher, ob du den exakten Wert erhältst![br][br]Für die [color=#0000ff][b]rechnerische Lösung[/b][/color] musst du [br][list][*]zuerst die Gleichung 0,75x² - 3x = 12 [color=#0000ff]nach Null auflösen[/color],[/*][*]und dann die [color=#0000ff]quadratische Ergänzung[/color] anwenden:[/*][/list][br][br]Bediene den Schieberegler und versuche die Rechenschritte zu verstehen:
[br][br][br]Übernimm den folgenden Hefteintrag: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon]
Hefteintrag 2 Motivation Mitternachtsformel
Lösen mit der Mitternachtsformel
Musteraufgabe:
Für den Flächeninhalt von Dreiecken A[sub]n[/sub]B[sub]n[/sub]C gilt in Abhängigkeit von x:[br][b][size=150]A(x) = (3x² - 9x) FE[/size][/b][left][br][/left]Der Flächeninhalt des Dreiecks A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub]C beträgt[size=150] [b]30 FE[/b].[/size][br]Berechne den zugehörigen x-Wert. (G=IR)[br][br][br][b][i]Dieses Lernvideo zeigt dir die Musterlösung:[/i][/b]
[br][br][br]Löse mit der Mitternachtsformel die quadratische Gleichung: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][br][br][b]-2x² + 16x - 30 = 0[/b]
[br][br][br]Löse mit der Mitternachtsformel die quadratische Gleichung: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][br][br][b]x² - 4x = -3[/b]
Aufgaben zum Üben (mit Lösung) findest du auf dieser Seite unter "Beispielaufgaben": (Quelle: serlo.org, Lizenz: cc-by-sa-4.0)
Lagebeziehungen zwischen Parabel und Gerade
[br][br]Eine Gerade kann eine Parabel [b]schneiden [/b](Sekante), [b]berühren [/b](Tangente) oder [b]passieren [/b](Passante):[br][br][list][*]schneiden: [b]2 Schnittpunkte heißt 2 Lösungen (D>0)[/b] des Gleichungssystems.[/*][/list][list][*]berühren: [b]1 Berührpunkt heißt eine Lösung (D=0)[/b] des Gleichungssytems.[/*][/list][list][*]passieren: [b]kein Schnittpunkt heißt keine Lösung (D<0)[/b] des Gleichungssytems.[br][/*][/list]