[justify]Até aqui estudamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente limitadas a ângulos entre 0° e 90°, nesta atividade vamos mostrar como é possível tornar os conceitos de seno, cosseno e tangente ainda mais gerais, associando-os também a ângulos fora deste intervalo, mas ainda limitados ao intervalo entre 0° e 360°.[br][br]Dizemos que α é um ângulo do [b]1º quadrante[/b] quando [b]0° < [/b][b]α < 90°[/b].[br]Dizemos que α é um ângulo do [b]2º quadrante[/b] quando [b]90° < [/b][b]α < 180°[/b].[br]Dizemos que α é um ângulo do [b]3º quadrante[/b] quando [b]180° < [/b][b]α < 270°[/b].[br]Dizemos que α é um ângulo do [b]4º quadrante[/b] quando [b]270° < [/b][b]α < 360°[/b].[br][br]Nosso objetivo aqui é mostrar como é possível encontrar os valores das razões trigonométricas relacionadas a um ângulo α localizado no 2º, 3º ou 4º quadrante a partir de um ângulo X do 1º quadrante associado a α.[br]Observe que, na Construção 1, ao deslocarmos o ponto C, o ângulo vermelho X, embora apareça em diferentes quadrantes, é considerado um ângulo do 1º quadrante, já que é sempre agudo, isto é, menor que 90°.[/justify]
[justify]Ao posicionamos o ponto C fora do primeiro quadrante, obtemos um ângulo vermelho X. Os ângulos verde e vermelho são sempre congruentes? Justifique sua resposta.[/justify]
[br]Sim! Pois os triângulos rosa e verde são congruentes, já que são sempre simétricos.[br]No 2º quadrante essa simetria é obtida por meio de reflexão em relação ao eixo y.[br]No 3º quadrante essa simetria é obtida por meio de reflexão em relação a origem.[br]No 4º quadrante essa simetria é obtida por meio de reflexão em relação ao eixo x.
(a) Quando α é um ângulo do 2º quadrante, qual o valor da [b]soma[/b] dos ângulos α e X?[br](b) A partir do resultado obtido no item (a), encontre o valor do ângulo X, considerando o valor assumido pelo ângulo α na posição do 2º quadrante escolhida por você para o ponto C.
[br](a) A soma do ângulo α com o ângulo X é igual a 180°.[br](b) O valor que você obteve para X deve ter sido obtido por meio da fórmula X = 180° - α.
(a) Quando α é um ângulo do 3º quadrante, qual o valor da [b]diferença[/b] entre os ângulos α e X?[br](b) A partir do resultado obtido no item (a), encontre o valor do ângulo X, considerando o valor assumido pelo ângulo α na posição do 3º quadrante escolhida por você para o ponto C.
[br](a) A diferença entre o ângulo α e o ângulo X é igual a 180°.[br](b) O valor que você obteve para X deve ter sido obtido por meio da fórmula X = α - 180°.
(a) Quando α é um ângulo do 4º quadrante, qual o valor da soma dos ângulos α e X?[br](b) A partir do resultado obtido no item (a), encontre o valor do ângulo X, considerando o valor assumido pelo ângulo α na posição do 4º quadrante escolhida por você para o ponto C.
[br](a) A soma do ângulo α com o ângulo X é igual a 360°.[br](b) O valor que você obteve para X deve ter sido obtido por meio da fórmula X = 360° - α.
Na construção acima os segmentos [color=#0000ff][b]azul[/b][/color], [color=#9900ff][b]lilás[/b][/color], [color=#ff0000][b]vermelho[/b][/color] e [color=#ff7700][b]laranja[/b][/color] têm sempre uma extremidade na origem do sistema de coordenadas. Nesta construção os segmentos [color=#ff7700][b]laranja[/b][/color] e [color=#9900ff][b]lilás[/b][/color] terão sempre comprimento orientado positivo. Já o segmento [color=#ff0000][b]vermelho[/b][/color] terá comprimento orientado positivo quando estiver à direita da origem e negativo quando estiver à esquerda. Já o segmento [color=#0000ff][b]azul[/b][/color], terá comprimento orientado positivo quando estiver acima da origem e negativo quando estiver abaixo.[br]Considerando esta definição e o que aprendemos em atividade anterior sobre o [url=https://www.geogebra.org/m/ghnmhvcy][b]ciclo trigonométrico[/b][/url], podemos afirmar que o [color=#0000ff][b]seno de [/b][b]α[/b][/color] é o comprimento orientado do segmento [color=#0000ff][b]azul[/b][/color] e o [color=#ff0000][b]cosseno de [/b][b]α[/b][/color] o comprimento orientado do segmento [color=#ff0000][b]vermelho[/b][/color].
[justify]Considerando a definição de comprimento orientado dada acima e observando as relações entre os comprimentos orientados dos segmentos azul e lilás, estabeleça as relações entre o seno de α e o seno de X para cada um dos quadrantes. A seguir faça o mesmo para o cosseno, considerando os segmentos vermelho e laranja.[/justify]
[br]2º quadrante: sen(α) = sen(X) e cos(α) = -cos(X).[br]3º quadrante: sen(α) = -sen(X) e cos(α) = -cos(X).[br]4º quadrante: sen(α) = -sen(X) e cos(α) = cos(X).
[justify]Na construção abaixo, os segmentos verticais [b][color=#3d85c6]azul[/color][/b] e [b][color=#00ff00]verde[/color][/b] possuem uma extremidade comum no ponto A, localizado sobre o eixo x. Desse modo, assim como feito na Construção 2, podemos também aqui dizer que os segmentos [b][color=#3d85c6]azul[/color][/b] e [b][color=#00ff00]verde[/color][/b] possuem comprimento orientado positivo, quando estão acima do eixo x e negativo quando estão abaixo. Considerando o que aprendemos na atividade sobre [b][url=https://www.geogebra.org/m/ghnmhvcy]ciclo trigonométrico[/url][/b] podemos afirmar que a [b][color=#00ff00]tangente de α[/color][/b] é o comprimento orientado do segmento [b][color=#00ff00]verde[/color][/b] e a tangente de X, quando não coincide com a tangente de α, é dada pelo comprimento orientado do segmento [b][color=#3d85c6]azul[/color][/b].[/justify]
A partir dos comprimentos dos segmentos verde e azul, estabeleça as relações entre a tangente do ângulo α e a tangente do ângulo X para cada um dos quadrantes.
[br]2º quadrante: tan(α) = -tan(X).[br]3º quadrante: tan(α) = tan(X).[br]4º quadrante: tan(α) = -tan(X).
O que ocorre com o valor da tangente de α:[br](a) quando α = 0° ou α = 180°?[br](b) quando α = 90° ou α = 270°?[br](c) a medida que o valor de α se aproxima de 90°, mas sem assumir esse valor?[br](d) a medida que o valor de α se aproxima de 270°, mas sem assumir esse valor?
[br](a) tg(α) = 0.[br](b) A tangente de α não está definida para estes valores.[br](c) Quando α < 90°, o valor da tangente de α torna-se cada vez maior a medida em que α se aproxima de 90°, ou seja tende a +∞. Entretanto, quando α > 90°, o valor da tangente de α torna-se cada vez menor a medida em que α se aproxima de 90°, ou seja tende a -∞.[br](d) Quando α < 270°, o valor da tangente de α torna-se cada vez maior a medida em que α se aproxima de 270°, ou seja tende a +∞. Entretanto, quando α > 270°, o valor da tangente de α torna-se cada vez menor a medida em que α se aproxima de 270°, ou seja tende a -∞.