Sok évvel ezelőtt a speciális matematika tantervű osztályokban a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Komplex_sz%C3%A1mok]komplex számok[/url] tanítása közben ezeket a számokat eszközként (is) használtuk elemi geometriai problémák megoldásához.[br]Ez azért került most (megint) fókuszba, mert megjelent [url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Dr. Szilassi Lajos[/url] Tanár úr [url=https://www.geogebra.org/m/wwafu5h7]A propeller tétel - és története[/url] című Geogebra anyaga. Ennek végén, P.S. jelzéssel, a szerző felhívja a figyelmet egy [url=https://honlap.eotvos.elte.hu/wp-content/uploads/2016/07/huszar_kristof.pdf]dolgozat[/url]ra, aminek (egyik) lényeges megállapítása az, hogy a fent említett Geogebra anyag problémái megoldhatók komplex számos módszerrel.[br]A komplex számok jól kezelhetők a [url=https://www.geogebra.org/m/baj8tfgj]Geogebra CAS[/url] eszközeivel.[br]Ezekre alapozva gondoltuk azt, hogy a komplex számos megoldási mód "megér egy misét". Ez következik itt most.[br]Az anyag végigkövetése után az olvasó véleményt alkothat arról, hogy az elemi vagy a komplex számos megoldási módot gondolja érdekesebbnek, hasznosabbnak, tanulságosabbnak ... [br]A szerző erőt vesz magán, és nem nyilvánít erről véleményt.

1) A sík pontjai komplex számok.[br]2) A sík vektorai komplex számok.[br]3) A [u][i]PQ [/i][/u]= [i]Q[/i] - [i]P [/i](vektor)[br]

Legyen egy kör középpontja [i]O[/i], az[i] A[/i], [i]C[/i] és [i]E[/i] a kör pontjai!  Legyenek [i]OAB[sub]Δ[/sub][/i] , [i]OCD[/i][sub]Δ[/sub] és [i]OEF[/i][sub]Δ[/sub] azonos körüljárású, egybevágó szabályos háromszögek! Milyen kapcsolat van a [i]BC[/i], [i]DE[/i], [i]FA[/i] szakaszok [i]P[/i], [i]Q[/i], [i]R[/i] felezőpontjai között? [br]([url=https://www.geogebra.org/m/zb5butty]Elemi geometriai megoldás[/url])

A nem pöttyel jelölt pontok mozgathatók, érdemes is mozgatni azokat.

4) Egységnyi abszolút értékű komplex szám trigonometrikus alakja: cos[math]\delta[/math] + [i]i[/i]sin[math]\delta[/math].[br]5) [i]P [/i]0 körüli [math]\alpha[/math] szögű elforgatottja [i]P[math]\cdot[/math][/i]([i]cos[math]\alpha[/math] + i[/i]sin[math]\alpha[/math]).[br]6) [i][u]v[/u] [/i][math]\alpha[/math] szögű elforgatottja [i][u]v[/u][/i][math]\cdot[/math]([i]cos[math]\alpha[/math] + i[/i]sin[math]\alpha[/math]).[br]7) [i]PQ[/i] szakasz felezőpontja: [math]\frac{P+Q}{2}[/math].

Legyen  a sík négy általános helyzetű pontja [i]O[/i], [i]A[/i], [i]C[/i] és [i]E[/i]!  Legyenek [i]OAB[sub]Δ[/sub][/i] , [i]OCD[/i][sub]Δ[/sub] és [i]OEF[/i][sub]Δ[/sub] azonos körüljárású, szabályos háromszögek. Milyen kapcsolat van a [i]BC[/i], [i]DE[/i], [i]FA[/i] szakaszok [i]P[/i], [i]Q[/i], [i]R[/i] felezőpontjai között? [br](e[url=https://www.geogebra.org/m/zb5butty]lemi geometriai megoldás[/url])

8) Egy komplex szám szám kanonikus alapja: [i]a[/i][sub]1[/sub][i] + ia[/i][sub]2[/sub].

Az O pontot 0-nak választottuk.

Legyen adott[i] TUV[sub]Δ[/sub] ,TAB[sub]Δ[/sub], UCD[sub]Δ[/sub] [/i]és[i] VEF[sub]Δ[/sub] [/i]a sík négy azonos körüljárású szabályos háromszöge. Milyen kapcsolat van a[i] BC[/i], [i]DE[/i], [i]FA[/i] szakaszok [i]P[/i], Q, [i]R[/i] felezőpontjai között? [br]([url=https://www.geogebra.org/m/umphuzqz]elemi geometriai megoldás[/url])

9) [i]Q[/i] = [i]P[/i] + [i][u]PQ[/u][/i] .

[list][*]Feltételeztük, hogy a [i]TUV[math]\Delta[/math] [/i]középpontja 0.[/*][/list][list][*]Egy pont 0-körüli 120°-os elforgatottja megkapható két 60°-os elforgatás egymásutánjaként.[/*][/list]

Bizonyítandó, hogy ha az [i]ABC[math]\Delta[/math], AHJ[math]\Delta[/math], DBE[math]\Delta[/math][/i] és[i] FGC[/i][math]\Delta[/math] azonos körüljárású hasonló háromszögek, akkor a [i]DF, GH [/i]és [i]JE[/i] szakaszok [i]X, Y, Z [/i]felezőpontjai a másik négyhez hasonló háromszög csúcsai. [br]([url=https://www.geogebra.org/m/wwafu5h7]elemi geometriai megoldás[/url])

10) Ha [i]P' = P[math]\cdot[/math]z, [/i]akkor [i]P'[/i] a [i]P[/i] 0 körüli olyan [url=https://www.geogebra.org/m/JhDr1zb2]forgatva nyújtás[/url]sal kapott képe, melynek aránya |[i]z[/i]|, szöge a [i]z [/i]irányszöge (argumentuma).[br][br]11) Ha [i][u]v[/u]' = [u]v[/u][math]\cdot[/math]z, [/i]akkor [i][u]v[/u]'[/i] a [i][u]v[/u][/i] olyan [url=https://www.geogebra.org/m/JhDr1zb2]forgatva nyújtás[/url]sal kapott képe, melynek aránya |[i]z[/i]|, szöge a [i]z [/i]irányszöge (argumentuma).[br][br]

[url=https://www.math.u-szeged.hu/~nbogya/teaching/dimat1213I/Komplex.pdf]Komplex számok[/url][br][url=https://math.bme.hu/~nagyi/a1/komplex-megoldas.pdf]Feladatok[/url][br][url=https://math.bme.hu/~geom/Oktatas_2007-08-1/MatA1H0/01_komplex.pdf]Komplex számok[/url][br][url=https://en.uni-miskolc.hu/evml/database/downloads/matalap/segedletek/komplex_szamok_a_geometriaban.pdf]Komplex számok a geometriában[br][/url][url=https://matek.fazekas.hu/images/cikkek/20121017_cikkek_kissgeza_komplex.pdf]Geometria feladatok megoldása a komplex számsíkon[br][/url][url=https://www.math.ubbcluj.ro/~andrasz/CD/TANK10/4fej.pdf]Komplex számok és alkalmazásaik[/url][br]...