10. Klasse: Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit
Table of Contents
- 1 Ereignisse und Vierfeldertafel
- 1. Ereignisse und Vierfeldertafel
- Kontrollaufgaben: Vierfeldertafel
- 2 Vierfeldertafel und Baumdiagramm
- 2. Vierfeldertafel und Baumdiagramm
- 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit
- 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit
- Lösungen zu den Aufgaben
- Tests
- Thema: HIV-Tests
- HIV-Tests: Lösung
- Thema: Corona-Tests
1. Ereignisse und Vierfeldertafel
Wir müssen zunächst ein paar Mathevokabeln aus der achten Klasse wiederholen.[br][br][color=#38761d][b]Jeder muss Millionär werden![/b][/color][br][br]Das heißt vor allem, dass du das Quiz so lange wiederholst bis du zur Million gelangst. :-)
[b][color=#38761d]Erinnerung:[br][/color][/b][br]Großbuchstaben, wie z. B. A bezeichnen[color=#1155cc][b] Ereignisse[/b][/color]. Ereignisse sind Mengen von möglichen [color=#1155cc][b]Ergebnissen[/b][/color].[br][br]Die Menge aller Ergebnisse heißt [color=#1155cc][b]Ergebnismenge [/b][/color] [math]\Omega[/math] (Omega). Ereignisse sind [b][color=#1155cc]Teilmengen[/color][/b] aus [math]\Omega[/math].
Weiter geht's mit einem Rätsel. Wichtig ist es, System in die Lösung zu bekommen.[br]
[size=150][b][color=#38761d]Rätsel[br][/color][/b][/size][justify][/justify]
Opa braucht also die nicht veganen Kekse ohne Schoko. Wie viele Kekse kann Opa essen?
Für die Aufgabentypen legt man in der Mathematik eine [color=#1155cc][b]Vierfeldertafel[/b][/color] an. Übertrage dazu den [color=#38761d][b]Hefteintrag[/b][/color] und vervollständige ihn mit dem zugehörigen [b][color=#38761d]Erklärvideo[/color][/b]. [br][br]I[i]n der zweiten PDF findest du die im Hefteintrag verwendeten Bilder. Wenn du keinen Drucker zur Verfügung hast, kannst du diese auch nur skizzenhaft übernehmen.[/i]
HE Vierfeldertafel
Bilder für Hefteintrag
Das üben wir jetzt gleich mal. Wir beginnen mit Vierfeldertafeln mit [color=#1155cc][b]absoluten Häufigkeiten[/b][/color]. [br][br]Fülle jeweils eine vollständige Vierfeldertafel aus und überprüfe dann das Ergebnis.
Aufgabe 1
In einer Schulklasse mit 29 Schüler*innen haben 10 Schüler*innen braune Haare und 7 Schüler*innen grüne Augen. 5 Schüler*innen haben grüne Augen und braune Haare. [br][br]Bezeichne die Ereignisse mit...[br]G: "grüne Augen"[br]B: "braune Haare"
Aufgabe 2
Bei einer Versuchsreihe nehmen 47 Personen teil. 20 von diesen Personen wurden auf eine bestimmte Krankheit positiv getestet. 32 Testpersonen sind gegen diese Krankheit geimpft, wobei 15 Personen positiv getestet wurden und nicht dagegen geimpft sind.
Wir steigern das Niveau minimal und bauen noch Prozentrechnung mit ein bei den folgenden Aufgaben zu Vierfeldertafeln mit [color=#1155cc][b]relativen Häufigkeiten[/b][/color].
Aufgabe 3
Ein Konditormeister hat 200 Pralinen hergestellt.[br]80% von ihnen sind aus dunkler Schokolade, der Rest aus weißer Schokolade.[br]30% der 200 Pralinen enthalten Nüsse; unter den Pralinen aus weißer Schokolade haben jedoch nur 12,5% einen Nussanteil.[br][br]Stelle die beschriebene Situation mit einer [color=#1155cc][b]Vierfeldertafel für absolute und einer für relative Häufigkeiten[/b][/color] dar.
Natürlich wäre es ja langweilig, wenn wir nur bei Vierfeldertafeln bleiben würden. Deswegen findest du bei vielen Aufgaben noch zusätzliche [b][color=#38761d]Verständnisfragen.[/color][/b]
Aufgabe 4
Ein Betreiber eines Eisenbahnnunternehmens hat eine Umfrage unter seinen Fahrgästen durchgeführt, die ergab, dass 10% der Fahrgäste in der ersten Klasse reisen. Außerdem wurde in der Umfrage abgefragt, wie zufrieden die Fahrgäste mir dem Service des Unternehmens sind. Hoch erfreut stellt das Unternehmen fest, dass [math]\frac{5}{6}[/math] der Fahrgäste zweiter Klasse zufrieden sind. Alarmierend dagegen sind die Zufriedenheitszahlen der ersten Klasse: 70% der Fahrgäste erster Klasse sind unzufrieden. Betrachen werden folgende Ereignisse:[br][br]E: "Teilnehmer der Umfrage fährt erster Klasse"[br][br]Z: "Teilnehmer der Umfrage ist zufrieden"[br][br]a) Erstelle eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.[br][br]b) Als dem Geschäftsführer die Zufriedenheitszahlen der ersten Klasse mitgeteilt werden, ist dieser schockiert. Resigniert erklärt er, dass das Unternehmen es nicht geschafft habe, der Zufriedenheitswert von 77% der Fahrgäste aus dem Vorjahr zu verbessern. Hat er Recht?
Damit hast du es für heute fast geschafft. Arbeite dich jetzt noch die [b][color=#38761d]Kontrollaufgaben[/color][/b].
2. Vierfeldertafel und Baumdiagramm
Wir führen eine [color=#38761d][b]Klassenumfrage[/b][/color] durch.
Hier findest du bereits den unvollständigen Hefteintrag. Du kannst ihn hier herunterladen, dann musst du ihn nur noch ausfüllen (freiwillig).
Hefteintrag (unvollständig)
Die folgende Aufgabe rechnen wir noch zusammen in der [color=#38761d][b]Videokonferenz[/b][/color].[br][br][br][color=#38761d]Buch S. 97[/color]
Übe jetzt selbstständig weiter mit den folgenden Aufgaben. Er genügt dabei, wenn du die Ergebnisse in deinem Heft festhältst und sie mit den Lösungen hier vergleichst.[br][br][i]Alle Aufgaben findest du auf...[br][/i][br][color=#38761d]Buch S. 97[/color]
Lösung
Lösung
[color=#38761d][b][br]Tipp[/b][/color]: Pfadregeln[br][br]Lösung
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Einstieg
[b][color=#38761d]"Wahrscheinlichkeit hat kein Gedächtnis!"[/color][/b] Ein sehr guter Satz, denn tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Münz- oder Würfelwurf gleich. Es sind ja auch Laplace-Elemente. Auch wenn wir bei "Kopf oder Zahl" denken möchten "Ach, da kann doch jetzt nicht schon wieder Zahl rauskommen!". Aber tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Wurf gleich.[br][br]Anders ist es bei mehrstufigen Zufallsexperimenten. Tatsächlich hat das Ergebnis der ersten Stufe bei zweistufigen Zufallsexperimenten aber doch eine Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit der zweiten Stufe.[br][br]Und um genau das geht es heute...[br][br][br][br]Zunächst sollten wir dazu die Pfadregeln wiederholen. Tue das in der folgenden App.
Nicht so gut gelaufen? Hier findest du den Stoff zusammengefasst.
Ansonsten geht es jetzt weiter mit dem [color=#38761d][b]Hefteintrag[/b][/color]. Übertrage diesen und sieh dir das [b][color=#38761d]Erklärvideo[/color][/b] dazu an.
Hefteintrag: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bei Aufgabe 7 und 10 siehst du sehr genau, wie sich die einzelnen Formulierungen von einander abgrenzen.
[i]Die folgenden Aufgaben findest du auf...[/i][br][br][color=#38761d]Buch S. 102[/color]
Aufgabe 9 erscheint auf den ersten Blick sehr kompliziert, ist sie aber nicht.[br][br][b][color=#38761d]Tipp[/color][/b]: Erstelle ein Baumdiagramm mit jeweils Treffer und nicht Treffer. Stelle dir folgende Fragen:[br]Bei welchem Schuss MUSS getroffen werden um die Rose zu erhalten?[br]Wie viele mögliche Pfade gibt es jeweils?[br]Wie viele davon treffen richtig für die Rose?
Thema: HIV-Tests
Einstieg
[justify]In der Medizin werden diagnostische Verfahren angewendet, um Krankheiten festzustellen. Dazu wird beispielsweise das Blut einer Person im Labor daraufhin untersucht, ob gewisse Blutwerte Anhaltspunkte für eine bestimmte Krankheit liefern.[br][br]Bei einem diagnostischen Verfahren (kurz Test) können aber auch folgende Fehler auftreten:[br][br][/justify][list][*]Der Test kann die Krankheit anzeigen, obwohl sie nicht vorhanden ist.[/*][*]Der Test kann die Krankheit nicht anzeigen, obwohl sie vorhanden ist.[/*][/list][br]Das Ergebnis eines Tests wird als positiv bezeichnet, wenn es die Krankheit anzeigt, unabhängig davon ob die Krankheit vorhanden ist oder nicht.[br][br]Die [b][color=#38761d]Sensitivität[/color][/b] eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass er Test die Krankheit anzeigt, wenn sie tatsächlich vorhanden ist.[br]Die [color=#38761d][b]Spezifität[/b][/color] eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Test die Krankheit nicht anzeigt, wenn sie nicht vorhanden ist. [br][br]Sensititivät und Spezifität eines Tests sollten daher möglichst groß sein, da dann die Fehlerwahrscheinlichkeiten gering sind.[br][br]Um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, betrachtet man Zufallsexperimente.[br][br][br][color=#38761d][br]Buch S. 104[/color]
[b][color=#38761d]ELISA[/color][/b] steht Enzyme-linker Immunosorbent Essay. Dieser Test wird zunächst präferiert, da er günstiger ist als der[b][color=#38761d] Western-Blot-Test[/color][/b]. Der Western-Blot-Test "überprüft" dann nur zusätzlich die schon im ELISA-Test positiven Ergebnisse.
Die folgenden Aufgaben findest du im Buch auf [color=#38761d]S. 105[/color]. Die bauen aufeinander auf, deshalb musst du sie nacheinander bearbeiten.
Lösung
Lösung
Lösung
Löse bei der folgenden Aufgabe nur Aufgabe a)
Lösung[br][br][b][color=#38761d]Tipp[/color][/b]: Du musst erst einmal herausfinden, wo Botswana liegt und die Infektionsrate an der Seite ablesen.
Löse jetzt die folgende Aufgabe und lade deine Lösung unter den Aufgaben hoch.
Not-so-fun-fact
Übrigens entstammt mit hoher Wahrscheinlichkeit auch HIV, wie SARS oder COVID19, aus dem Tierreich. Diese Viren sind sogenannte Zoonosen. Das heißt natürlich nicht, dass Tiere Schuld an der derzeitigen Lage sind. Der Mensch dringt vielmehr immer weiter in den tierischen Lebensraum ein. Deswegen werden auch immer leichter Krankheiten auf den Menschen übertragen.