M1 AB III.1 Ableitung mit Geradenstücken
In diesem AB ermitteln Sie die Ableitung einer Funktion anhand des Graphen. [br][br][size=150][b][color=#1155cc]Tipps: [/color][/b][/size][br][list][*]Wenn man die kleinen Geradenstückchen an den grünen Endpunkten bewegt, bewegen sich auch die kleinen roten Quadrate.[/*][*]Die x-Werte der roten Quadrate bleiben gleich, sie stimmen mit den x-Werten der orangenen Punkte auf dem Graph überein.[/*][*]Ist ein Geradenstückchen waagerecht, liegt das rote Quadrat auf der x-Achse.[/*][/list]
[size=150][b][color=#1155cc]Aufgabe 1: Zusammenhänge erkunden[/color][/b][/size][br][b][color=#1155cc]a)[/color][/b] Erkunden Sie die Konstruktion in Beispiel 1 und beschreiben Sie, wie die Bewegung [br] der roten Quadrate mit der Ausrichtung der Geradenstückchen zusammenhängt.
Beispiel 1
[b][color=#1155cc]b)[/color][/b] Verändern Sie die Lage der Geradenstückchen so, dass sie sich möglichst gut an den [br] Funktionsgraph anschmiegen. [br] Nutzen Sie dann den Stift [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACgAAAAoCAYAAACM/rhtAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAAhZJREFUWEft2buKwkAUBuCTEPGGqGgr6guKhTZqYWNlL/heChZ2Wlp4QbxiNv/AhGzI7oxxZpKFPeCyMTL58s8kcc9a1+vVJa/u9zsdj0fytrGZWOVyOSqXy5TJZJjBwY/9fs9g9XqdstksOQ5723g9n0+63W602+2oWCxSqVQiB8kB12g0yLZt46jgAREMXvl8njabDSFN+3A4sOSSxgWhsMCEmbURKcRpKyw12Nicpik9HhS/DpJddBLT9g/kIc3nc7Isi4bDoURugY+s12tXd00mEzwM/Fe325U6JGykGzgej7/hOLTT6QiRRoCLxcKt1WqRyF6v9ytSK3A6nbrb7ZYBlstlJLJarSYDHAwGLLFWq+Ujo5Ls9/vmgZi24AXRbDZ95Gq1cr1HGNuPkxCV8ikejUaRa63dbrvew9+f7tlsJrKx/UqB4eSCKeL3YJJSOpVAvubCqPC2bHL8BJQkKEqOI3FVv1sfA3XiPl6DunEfAU3gYgNN4WIBTeLeBprGvQVMAicN/On7XPgmHOc+J7ovSt0Hw5CobR046QSjQMH3dOGUAHXiODD2n50ejryLxwtTb8UCmsLh1IV9Ni9qvREJRo+VoGBMpbv/BvD1eik9axWDoduKstGHu1wuKsZUOgZ6g4VCgWw0rNETTlOKsMCEHrWFLv/pdKLz+ZzKJjoDYm4ejwfrCSPaJAtLrlKp+P+G+AIJu2JKVukkvgAAAABJRU5ErkJggg==[/img] um einen Funktionsgraph zu skizzieren, der möglichst [br] gut zu den roten Quadraten passt. Welche Zusammenhänge beobachten Sie?
[size=150][b][color=#1155cc]Aufgabe 2[/color][/b][/size][br]Gehen Sie wie in [b][color=#1155cc]Aufgabe 1[/color][/b] auch bei den [b]Beispielen 2[/b] und [b]3[/b] vor.[br]Stellen Sie Vermutungen zu allen drei Steigungsgraphen und deren Funktionstermen an.
Beispiel 2
Beispiel 3
[size=150][b][color=#1155cc]Aufgabe 3[/color][/b][/size][br]Überprüfen Sie Ihre Graphen der Ableitung in den drei Beispielen, indem Sie die Ableitung an weiteren Stellen mit Geradenstückchen überprüfen. [br]Gehen Sie dazu wie folgt vor:[br][b][color=#1155cc]1.[/color][/b] Erstellen Sie mithilfe des individuellen Werkzeugs [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] ein weiteres drehbares Geradenstückchen. [br] Das passende rote Quadrat wird automatisch erzeugt.[br][br][color=#1155cc] Gehen Sie dabei wie folgt vor:[/color][br][b][color=#1155cc] a)[/color][/b] Wählen Sie das individuelle Werkzeug [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] aus.[br][b][color=#1155cc] b)[/color][/b] Klicken Sie auf den blauen Funktionsgraph, so dass dieser ausgewählt ist.[br][b][color=#1155cc] c)[/color][/b] Klicken Sie erneut an der Stelle auf den blauen Funktionsgraph, an dem das Geradenstückchen[br] entstehen soll. Dadurch wird dort ein [color=#1155cc]blauer Punkt[/color] auf den Funktionsgraph gesetzt.[br][b][color=#1155cc] d)[/color][/b] Klicken Sie auf den Funktionsgraph, so dass dieser ausgewählt ist.[br][b][color=#1155cc] e)[/color][/b] Klicken Sie auf den unter [b][color=#1155cc]c)[/color][/b] erzeugten [color=#1155cc]blauen Punkt[/color]. [br] Nun erscheinen das gewünschte Geradenstückchen und das passende rote Quadrat.[br] [br][b][color=#1155cc]2.[/color][/b] Richten Sie das Geradenstückchen so aus, dass es "möglichst gut" an den Graphen von f passt.[br][b][color=#1155cc]3.[/color][/b] Überprüfen Sie, ob das rote Quadrat auf dem von Ihnen gezeichneten Graphen liegt.[br][color=#1155cc][b]4.[/b][/color] Bewegen Sie den im ersten Schritt erzeugten [color=#1155cc]blauen Punkt[/color] auf dem Graphen entlang und [br] überprüfen Sie die Lage des roten Quadrats, ob es auf Ihrem gezeichneten Graphen liegt.[br][br]
[size=150][b][color=#1155cc]Aufgabe 4[/color][/b][/size][br]Geben Sie in dem weiteren Beispiel unten eine andere Funktionsgleichung in der Eingabezeile ein [br](z.B. [math]f(x)=2x^4-4x^2[/math]). [br]Passen Sie die Geradenstücke an und Skizzieren Sie anschließend einen Graph durch die roten Quadrate, wie in den [b][color=#1155cc]Aufgaben 1[/color][/b] und [b][color=#1155cc]2[/color][/b].
weiteres Beispiel
[i][i][u]Quellen: [/u][br]Diese und weitere Aktivitäten finden sich im GeoGebra-Buch [i]Tangentenstückchen ::: Unterricht mit MMS [/i]([url=https://www.geogebra.org/m/tmsfvvpv][i]https://www.geogebra.org/m/tmsfvvpv[/i][/url]).[br]Quellenautoren: [/i]Reinhard Schmidt[br][/i]