Einführung Funktionen

Sarah Hauer, Dec 30, 2021

Allgemeine Einführung in die Welt der Funktionen, Schwerpunkt lineare Funktionen. Kombination von Theorie und Übungen [i]Zielgruppe[/i]: 8.Schulstufe (4. Klasse Mittelschule/Gymnasium) [i]Lernziele:[/i] [*] Ich kann erklären, was man unter dem Begriff Funktion in der Mathematik versteht. [*] Ich kann zu einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle erstellen. [*] Ich kann eine Funktion graphisch darstellen. [*] Ich kann zu graphischen Darstellungen eine Funktionsgleichung aufstellen.

Table of Contents

  1. Einführung
    1. Was ist eine Funktion?
    2. Mathematische Definition
  2. Darstellung von Funktionen
    1. Funktionsgleichungen
    2. Wertetabellen
    3. grafische Darstellung/Funktionsgraphen
    4. Übertrage in dein Heft
  3. Lineare Funktionen
    1. Was ist eine lineare Funktion?
    2. homogene lineare Funktionen
    3. inhomogene lineare Funktionen
  4. Lernzielkontrolle
    1. Überprüfe deine eigenen Kenntnisse

1.

Einführung

  • 1. Was ist eine Funktion?
  • 2. Mathematische Definition

1.1.

Was ist eine Funktion?

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen!
Eine [b]Funktion[/b] [math]f[/math] ordnet jedem [i]Argument[/i] [math]x[/math] aus der [i]Definitionsmenge[/i] [math]X[/math] genau einen [i]Funktionswert[/i] [math]y[/math] aus der [i]Wertemenge[/i] [math]Y[/math] zu.[br][br]Stellt man Funktionen [b]grafisch[/b] dar, so sind [math]x[/math] und [math]y[/math] die Werte auf der X-Achse und der Y-Achse.[br]Das kann zum Beispiel so aussehen:
Beispiel
Während eines Tages wird jeder [b]Uhrzeit[/b] eine bestimmte [b]Temperatur[/b] zugeordnet.[br][br]Es kann nicht vorkommen, dass es zu einem bestimmten Uhrzeit zwei verschiedene Temperaturen gibt. [br]Es gibt also [b]zu jedem Zeitpunkt nur einen Funktionswert[/b]!
– Sarah Hauer

1.2.

–

2.

Darstellung von Funktionen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Funktion darzustellen: [*] Funktionsgleichung [*] Wertetabelle [*] grafische Darstellung/Funktionsgraph

  • 1. Funktionsgleichungen
  • 2. Wertetabellen
  • 3. grafische Darstellung/Funktionsgraphen
  • 4. Übertrage in dein Heft

2.1.

Funktionsgleichungen

Funktionsgleichungen
Funktionsgleichungen können so aussehen:[br][math]f\left(x\right)=2\cdot x+4[/math][br][math]g\left(x\right)=x^2-3x[/math][br][math]h\left(x\right)=e^x\cdot\frac{x}{6}[/math][br][br]Durch eine Funktionsgleichung lässt sich für jeden Wert [math]x[/math] ein Funktionswert [math]y[/math] ermitteln und auch ein Funktionsgraph finden.[br][br]Möchte man den Funktionswert [math]y[/math] an der Stelle [math]x=2[/math] wissen, so kann man für [math]x[/math] einfach die Zahl [math]2[/math] einsetzen.[br]Für die Funktionsgleichung [math]f\left(x\right)=3\cdot x+1[/math] sehe das dann so aus: [math]f\left(2\right)=3\cdot2+1[/math][br]Also [math]f\left(2\right)=7[/math]
Jetzt bist du dran!
Gegeben ist die Funktionsgleichung[br] [math]f\left(x\right)=4\cdot x+2[/math][br]Berechne [math]f\left(3\right)[/math]!
Gegeben ist die Funktionsgleichung[br] [math]f\left(x\right)=x+3[/math][br]Berechne den Funktionswert [math]y[/math] an der Stelle [math]x=4[/math]!
Gegeben ist die Funktionsgleichung[br] [math]f\left(x\right)=2\cdot x+5[/math][br]Berechne [math]f\left(x\right)[/math] an der Stelle [math]x=2[/math]!
– Sarah Hauer

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Lineare Funktionen

  • 1. Was ist eine lineare Funktion?
  • 2. homogene lineare Funktionen
  • 3. inhomogene lineare Funktionen

3.1.

Was ist eine lineare Funktion?

Lineare Funktionen haben gewisse Eigenschaften.
Der Begriff [i]linear [/i]leitet sich von lateinisch linea = "Leine, Schnur, Faden" ab. Der [b]Graph[/b] einer linearen Funktion ist sozusagen eine "gespannte Leine", also eine [b]Gerade[/b].[br][br]Die [b]Funktionsgleichung[/b] erfüllt die Form [math]f\left(x\right)=k\cdot x+d[/math]. [br]Dabei ist [math]x[/math] eine [i]unabhängige Variable[/i], kann also frei gewählt werden. [br][math]y=f(x)[/math] ist eine [i]abhängige Variable[/i] und wird durch die Wahl von [math]x[/math] beinflusst.[br]Der Parameter [math]k[/math] gibt die [b]Steigung [/b]der Geraden an.[br]Der Parameter [math]d[/math] gibt den [b]Abstand vom Nullpunkt[/b] zur Geraden auf der [math]y[/math]-Achse an.[br][br]Sieh dir zum besseren Verständnis die folgende Konstruktion an.[br]Wie sieht die Gerade aus, wenn die Steigung [math]k=0[/math] ist?
Ziehe die Schieberegler hin und her und beobachte, wie sich die Gerade verändert!
Du glaubst alles verstanden zu haben?
Dann versuch es mit diesen Übungen!
Übung 1 (mit Steigungsdreieck)
Übung 2 (ohne Steigungsdreieck)
Übung 3: Versuche es jetzt umgekehrt.
Zeichne die Funktionsgraphen der folgenden Gleichungen in dein Heft![br][list][*][math]f\left(x\right)=3\cdot x-1[/math][br][/*][*][math]f\left(x\right)=-2\cdot x+2[/math][br][/*][*][math]f\left(x\right)=x-2[/math][br][/*][/list]
Zeichne die Funktionsgraphen nun auch mit GeoGebra! Vergiss nicht auch das Steigungsdreieck und die Strecke d einzuzeichnen!
Du kannnst deine Lösungen hier kontrollieren:[br][url=https://www.geogebra.org/calculator/entqzscx]Übung 3[/url]
– Sarah Hauer

3.2.

–

3.3.

–

4.

Lernzielkontrolle

  • 1. Überprüfe deine eigenen Kenntnisse

4.1.

Überprüfe deine eigenen Kenntnisse

Funktion oder nicht? Entscheide!
Ordne den Funktionsgleichungen ihre Graphen zu!
Gib zu 5 verschiedenen Graphen die richtige Funktionsgleichung ein!
Vervollständige die Tabelle!
[math]f\left(x\right)=-2\cdot x+5[/math]
Jetzt machen wir gemeinsam noch ein Kahoot!
[url=https://create.kahoot.it/share/lineare-funktionen/482cb734-05d2-4d39-a602-60f4c8c00c9c]Kahoot[br][/url]
– Sarah Hauer

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