El cuerno de Gabriel es una superficie de revolución que se genera al rotar la gráfica de la función [math]\text{f(x)=\frac{1}{x}}[/math] con [math]\text{x\ge1}[/math] alrededor del eje [math]\text{OX}[/math]. La superficie generada es una superficie que encierra un volumen finito pero tiene área infinita. O dicho de otra manera, (si pusiéramos un círculo en la base) se podría rellenar con una cantidad finita de agua, pero nunca habría pintura suficiente para colorear la superficie).[br][br]La parametrización de la superficie es[br][br][math]\text{\cal{C}(x,\theta)=\left(x,\frac{\cos\theta}{x},\frac{\sin\theta}{x}\right)}[/math] con [math]\text{x\in[1,\infty)}[/math] y [math]\text{\theta\in[0,2\pi]}[/math].[br][br]El volumen de la superficie se puede hallar mediante una integral impropia aplicando el principio de Cavalieri y usando que en cada punto el radio de la circunferencia es [math]\text{\frac{1}{x}}[/math]:[br][br][math]\text{V=\pi\displaystyle\int_1^\infty\dfrac{1}{x^2}dx=\pi\lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_1^t\dfrac{1}{x^2}dx=\pi\lim_{t\to\infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)=\pi<\infty}[/math].[br][br]El área también se puede calcular aplicando el principio de Cavalieri obteniéndose de nuevo una integral impropia:[br][br][math]\text{A=2\pi\displaystyle\int_1^\infty\frac{1}{x}\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}dx=2\pi\lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_1^t\dfrac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\,dx>[br]2\pi\lim_{t\to\infty}\displaystyle\int_1^t\dfrac{1}{x}dx=2\pi\lim_{t\to\infty}\ln t=\infty}[/math][br]

Mover el deslizador para generar el Cuerno de Gabriel.