Puisque les fonctions tangente et sécante sont des fonctions trigonométriques [ne serait-il pas plus juste de les appeler des fonctions circulaires?], elles retournent la longueur d'un segment associé à un arc  donné sur un cercle de rayon 1. Elles transforment du courbé (des arcs) en du droit (des segments). Comme vous le sav(i)ez, en prolongeant le rayon passant par le point , ce dernier, en projetant le point sur la tangente au cercle au point , produit deux segments particuliers :

1. le rayon prolongé (qui sectionne le cercle), dont la longueur est retournée par la fonction sécante; et
2. le segment sur la tangente, dont la longueur  est en fait la distance entre et la projection de sur la tangente.

La loi des cosinus sphérique, tout comme son pendant dans le plan, met en relation, dans un triangle (sphérique), les deux côtés adjacents à un angle connu avec le côté opposé à cet angle. Dans l'appliquette GeoGebra ci-dessous, l'on considère le triangle sphérique , dont les trois côtés sont évidemment nommés , et . De plus, supposons que l'on connaît l'angle sphérique . Nous dessinons le plan tangent au sommet , puis nous projetons sur ce dernier le point (son image sur le plan est nommé ) et le point (son image est ). Les points , et se trouvent sur le plan tangent. En reliant ces points entre eux et avec l'origine , on forme alors plusieurs triangles plans dont on connaît à peu près tout, comme le montre la fenêtre du haut de l'appliquette. En fait, seul le segment plan est inconnu.

NOTE

En projetant le triangle sphérique sur le plan tangent à la sphère en l'un de ses points (ici, l'un des sommets du triangle sphérique), nous faisons ce que l'on appelle une projection gnomonique. Une particularité intéressante de ce type de projection est que les arcs de grands cercles sont projetés sur des droites du plan tangent. C'est cette propriété que l'on exploite ici.

Rappelons que les mesures des côtés d'un triangle sphérique, qui sont des arcs de grands cercles sur la sphère unitaire, sont des mesures d'angle. C'est pourquoi l'on peut calculer, par exemple, pour le côté du triangle et pour l'angle sphérique au sommet . Remarquez que l'on connaît tout de ces deux triangles plans et que les mesures de leurs côtés se calculent à partir des côtés et du triangle sphérique sur lequel porte notre étude. Dans la fenêtre en haut de l'appliquette, nous avons ouvert les deux triangles  et afin qu'ils tiennent côte à côte sur une page.

Le segment plan , qui est la seule longueur inconnue, est commun aux deux triangles plans et . Pour bien comprendre d'où viennent les mesures des côtés de ces deux triangles, analysez attentivement l'appliquette ci-dessous.

On applique maintenant la loi des cosinus de la trigonométrie plane [eh oui!] aux deux triangles plans et :

Les étapes suivantes sont mécaniques, laborieuses [et ennuyeuses]. On soustrait ensemble les deux équations précédentes pour se débarrasser du :

En regardant l'appliquette au début de cette feuille, on retrouve facilement l'identité . L'équation précédente se simplifie pour devenir :

On divise maintenant les deux côtés de l'équation par :

et on transforme et en fonction de et :

C'est alors que l'on constate que les deux fractions à droite ont le même dénominateur. Ceci nous permet d'écrire :

d'où l'on trouve la loi des cosinus version sphérique :

La loi des cosinus s'applique évidemment peu importe l'angle sphérique choisi. On a alors trois identités :

Donc, si l'on connaît trois informations (par exemple, deux angles et un côté), on se retrouve avec trois équations et trois inconnues, que l'on pourrait résoudre péniblement (avec un logiciel) afin de calculer les trois autres informations. Nous ne passerons pas par ces quatre (et plus) chemins, mais il est encourageant de constater que l'on pourra résoudre des triangles sphériques sans recourir à de la magie noire (ou si peu)...