Si [b]R(t)[/b] es cualquier antiderivada de [b]r(t)[/b], la [b]integral indefinida[/b] de [b]r(t)[/b] se define como[br][br] [math]\int r\left(t\right)dt=R\left(t\right)+c.[/math][br][br]donde[b] c[/b] es un vector constante arbitrario.

Para la función vectorial r(t) [math]=\left\langle f\left(t\right),g\left(t\right),h\left(t\right)\right\rangle[/math], definimos la integral definida de r(t) en el intervalo [a, b] por:[br][br] [math]\int^b_ar\left(t\right)dt=\int^b_a\left\langle f\left(t\right),g\left(t\right),h\left(t\right)\right\rangle dt=\left\langle\int^b_af\left(t\right)dt,\int^b_ag\left(t\right)dt,\int^b_ah\left(t\right)dt\right\rangle.[/math]

31.-[math]\int\left\langle3t-1,\sqrt{t}\right\rangle dt.[/math][br][br]La integral es:[br][br] [math]\int3t-1=\frac{3t^2}{2}-t+c_1[/math] y [math]\int\sqrt{t}=\frac{2t^{\frac{3}{2}}}{3}+c_2[/math][br][br]Por lo tanto, tenemos que:[br][br] [math]\int\left\langle3t-1,\sqrt{t}\right\rangle dt=\left\langle\frac{3t^2}{2}-t,\frac{2t^{\frac{3}{2}}}{3}\right\rangle+c[/math]

33.-[math]\int\left\langle tcos\left(3t\right),tsin\left(t^2\right),e^{2t}\right\rangle dt[/math][br]La integral la parte f(t):[br][br] [math]\int tccos\left(3t\right)dt[/math][br]Integramos por partes:[br][br] [math]\frac{tsin\left(3t\right)}{3}-\int\frac{sin\left(3t\right)}{3}[/math]dt[br][br]entonces, sustituimos los valores:[br][br] [math]\int\frac{sin\left(3t\right)}{3}=\frac{1}{9}\int sen\left(u\right)du[/math][br][br] Resolvemos la integral:[br][br] [math]\int sin\left(u\right)du=-cos\left(u\right)[/math][br][br]Remplazamos las integrales resueltas:[br][br] [math]\frac{1}{9}\int sin\left(u\right)du=-\frac{cos\left(3t\right)}{9}[/math][br][br]entonces:[br][br] [math]\frac{tsin\left(3t\right)}{3}-\int\frac{sin\left(3t\right)}{3}=\frac{tsin\left(3t\right)}{3}+\frac{cos\left(3t\right)}{9}+c_1[/math][br][br][br]Ahora, hacemos la integral de g(t):[br][br] [math]\int tsin\left(t^2\right)dt[/math][br][br]integramos y sustituimos valores:[br][br] [math]=\frac{1}{2}\int sin\left(u\right)du=\frac{1}{2}-cos\left(u\right)[/math][br][br]deshacemos la sustitución de valores y la solución es la sig:[br][br] [math]-\frac{cos\left(t^2\right)}{2}+c_2[/math][br][br]Por último, hacemos la integral de h(t):[br][br] [math]\int e^{2t}dt[/math][br][br]Integramos por sustitución:[br][br] [math]\int e^{2t}dt=\frac{1}{2}\int e^udu=\frac{1}{2}e^u+c_3[/math][br][br]deshacemos la sustitución y la integral es la sig.:[br][br] [math]\frac{e^{2t}}{2}+c_3[/math][br][br]Por lo tanto, tenemos que:[br][br] [math]=\left\langle\frac{tsin\left(3t\right)}{3}+\frac{cos\left(3t\right)}{9},-\frac{cos\left(t^2\right)}{2},\frac{e^{2t}}{2}\right\rangle+c.[/math][br][br]

35.-[math]\int\left\langle\frac{4}{t^2-t},\frac{2t}{t^2+1},\frac{4}{t^2+1}\right\rangle dt[/math][br][br]Integramos por:[br][br] [math]\int\frac{4}{t^2-t}=4\int\frac{1}{t^2-t}[/math][br][br]Simplificamos la integral:[br][br] [math]\int\frac{1}{\left(1-\frac{1}{t}\right)t^2}dt[/math][br][br]Sustituimos los valores y resolvemos:[br][br] [math]\int\frac{1}{u}du=ln\left(u\right)+c_1[/math][br][br]deshacemos la sustitución:[br][br] [math]ln\left(1-\frac{1}{t}\right)+c_1[/math][br][br]y remplazamos:[br][br] [math]4ln\left(1-\frac{1}{t}\right)+c_1[/math][br][br]Integramos a g(t):[br][br] [math]\int\frac{2t}{t^2+1}dt[/math][br][br]integramos por sustitución:[br][br] [math]\int\frac{1}{u}du=ln\left(u\right)+c_2[/math][br][br]deshacemos la sustitución y la solución es:[br][br] [math]=ln\left(t^2+1\right)+c_2[/math][br]Por último, hacemos la integral de h(t):[br][br] [math]\int\frac{4}{t^2+1}dt=4\int\frac{1}{t^2+1}dt[/math][br][br]Resolviendo la integral(por fórmula) tenemos que:[br][br] [math]\int\frac{1}{t^2+1}dt=arctan\left(t\right)+c_3[/math][br][br]entonces, remplazando las integrales resueltas:[br][br] [math]4\int\frac{1}{t^2+1}dt=4\left(arctan\left(t\right)\right)+c_3[/math][br]Por lo tanto, tenemos que:[br][br] =[math]\left\langle4ln\left(1-\frac{1}{t}\right).ln\left(t^2+1\right),4arctan\left(t\right)\right\rangle+c.[/math][br][br]

37.-[math]\int^1_0\left\langle t^2-1,3t\right\rangle dt[/math][br][br]Integramos a f(t):[br][br] [math]\int^1_0t^2-1dt=\left[\frac{t^3}{3}-t\right]^1_0=\left(\frac{\left(1\right)^3}{3}-1\right)-\left(0\right)=-\frac{2}{3}[/math][br][br]Ahora, integramos a g(t):[br][br] [math]\int^1_03tdt=\left[\frac{3t^2}{2}\right]^1_0=\left(\frac{3\left(1\right)^2}{2}\right)-\left(0\right)=\frac{3}{2}[/math][br][br]Por lo tanto, tenemos que:[br] [math]=\left\langle-\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right\rangle[/math]

39.-[math]\int^2_0\left\langle\frac{4}{t+1},e^{t-2},te^t\right\rangle dt.[/math][br][br]Integramos a f(t)(como se puede observar es parecida a un ejercicio anterior), por lo tanto: [br][br] [math]\int^2_0\frac{4}{t+1}dt=4\int^2_0\frac{1}{t+1}dt=\left[4ln\left(t+1\right)\right]^2_0=\left(4ln\left(2+1\right)\right)-\left(4ln\left(0+1\right)\right)=4ln\left(3\right)-0=4ln\left(3\right)\approx4.3944[/math][br][br]Ahora, integramos a g(t)(como se puede observar es parecida a un ejercicio anterior), en consecuencia:[br][br] [math]\int^2_0e^{t-2}dt=\left[e^{t-2}\right]^2_0=\left(e^{\left(2\right)-2}\right)-\left(e^{\left(0\right)-2}\right)=1-e^{-2}\approx0.8646[/math][br][br]Por último, la integral h(t):[br][br] [math]\int^2_0te^tdt[/math][br][br]Integramos por partes y resolvemos la integral:[br][br] [math]\int^2_0te^tdt=te^t-\int e^tdt=\left[te^t-e^t\right]^2_0=\left(2e^2-e^2\right)-\left(0e^0-e^0\right)=e^2+1\approx8.3890[/math][br][br]Por lo tanto, tenemos que:[br][br] [math]=\left\langle4ln\left(3\right),1-e^{-2},e^2+1\right\rangle.[/math]