Las circunferencias de centros [color=#ff0000][b]A'[/b][/color], [color=#ff0000][b]B'[/b][/color] y [color=#ff0000][b]C'[/b][/color], son tangentes a los lados del [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] y tienen el mismo radio[b][color=#ff0000] r'.[/color][/b] La circunferencia de centro [color=#ff0000][b]O' [/b][/color]es tangente a las otras tres y también tiene radio [color=#ff0000][b]r'.[/b][/color] ¿Cuál es su valor de [color=#ff0000][b]r'[/b][/color]?

Los lados del [color=#38761d][b]△A'B'C[/b][/color]' son paralelos a los del [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b], pues se hallan a una distancia [color=#ff0000][b]r'[/b][/color] de ellos. Por tanto son semejantes. Pero además, [color=#ff0000][b]A'[/b][/color] está en la bisecrtriz del ángulo [color=#0000ff][b]A[/b][/color], por lo que [color=#0000ff][b]A[/b][/color], [color=#ff0000][b]A'[/b][/color] e [color=#0000ff][b]I[/b][/color] (incentro) están alineados. otro tanto ocurre con [color=#ff0000][b]B'[/b][/color] y [color=#ff0000][b]C'[/b][/color], por lo que los triángulos son no solo semejantes, sino homotéticos con centro de homotecia [color=#0000ff][b]I[/b][/color]. La razón de homotecia es el cociente de los radios de las circunferencias circunscritas a ambos triángulos , [b]2r'/R[/b], así como el cociente de sus inradios, [b](r-r')/r[/b]. De esta igualdad se despeja fácilmente [color=#ff0000]r' [/color]en función de [color=#0000ff][b]R[/b][/color] y [b][color=#0000ff]r[/color][/b], radios de la circunferencia circunscrita e inscrita al [b][color=#0000ff]△ABC [/color][/b]respectivamente.[br][br]Nótese que los círculos de centros [b][color=#ff0000]A'[/color][/b], [color=#ff0000][b]B'[/b][/color] y [b][color=#ff0000]C'[/color][/b] pueden ser secantes entre si y/o el de centro [color=#ff0000][b]O'[/b][/color] secante a uno de los lados, dependiendo de la forma del [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color] (Ver [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/4CircIguales.html]Cuatro círculos iguales[/url]). Pueden desplazarse libremente los tres vértices [color=#0000ff][b]A[/b][/color], [b][color=#0000ff]B[/color][/b] y [color=#0000ff][b]C[/b][/color].