I Poligoni inscritti e circoscritti
Poligoni inscritti e circoscritti Lavoro di gruppo svolto da 5 ragazzi della 2TA Liceo Salvatore Pizzi - Capua
Table of Contents
- I Poligoni inscritti
- I poligoni inscritti
- I Poligoni circoscritti
- I poligoni circoscritti
- I triangoli e i punti notevoli
- Il circocentro
- L'Incentro
- L'excentro
- L'Ortocentro
- Il Baricentro
- I quadrilateri inscritti e circoscritti
- I quadrilateri inscritti
- I quadrilateri circoscritti
- I poligoni regolari
- Poligoni regolari
- Prova C
- Traccia
- Risposta domande
I poligoni inscritti
DEFINIZIONE
Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.[br]A sua volta la circonferenza è circoscritta al poligono.
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia inscrivibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si incontrino tutti in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza circoscritta.
I poligoni circoscritti
DEFINIZIONE
Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.[br][br]A sua volta la circonferenza è inscritta nel poligono.
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia circoscrivibile a una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si incontrino tutte in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza inscritta.[br]
Il circocentro
TEOREMA
Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, centro della circonferenza circoscritta.
DEFINIZIONE
Il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo si chiama circocentro ed è il centro della circonferenza circoscritta.
DIMOSTRAZIONE
Sappiamo che per tre punti non allineati passa una circonferenza, quindi esiste la circonferenza circoscritta al triangolo ABC.[br]Inoltre, AO [math]\cong[/math] BO [math]\cong[/math] CO perché raggi, quindi O è equidistante dai punti A, B e C, perciò appartiene a r, s, t, assi dei segmenti AB, BC e AC.[br][br]I triangoli sono dunque poligoni particolari, perché sono sempre inscrivibili in una circonferenza.
I quadrilateri inscritti
TEOREMA
Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono supplementari.
DIMOSTRAZIONE
Congiungiamo A e C con O, centro della circonferenza[br]Si formano due angoli al centro b1e d1 [br]b e d sono angoli alla circonferenza che insistono sugli stessi archi su cui insistono rispettivamente b1 e d1, quindi:[br]2b[math]\cong[/math]B1, 2d [math]\cong[/math] d1 [br]Sommiamo membro a membro: 2b + 2d [math]\cong[/math] b1+d1[br]Essendo b1 + d[math]\cong\left(Pi-greco\right)[/math] e raccogliendo il fattore 2 al primo membro:[br][math]2\left(b+d\right)\cong2\left(Pi-Greco\right)\longrightarrow B+d\cong\left(Pi-Greco\right)[/math][br]Congiungiamo B e D con O e ripetiamo le stesse considerazioni[br][math]2\left(a+y\right)\cong2\left(Pi-Greco\right)\longrightarrow a+y\cong\left(Pi-Greco\right)[/math][br][br]Il teorema precedente è una condizione necessaria per l’inscrivibilità di un quadrilatero in una circonferenza.[br]Si può dimostrare anche il teorema inverso, ossia la condizione sufficiente.
TEOREMA 2
Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrivibile in una circonferenza.
DIMOSTRAZIONE
Dobbiamo dimostrare che la circonferenza passante per B, C e D passa anche per A.[br]Ragioniamo per assurdo. Se, per assurdo, la circonferenza per B, C e D non passa per A, si hanno due casi possibili. [br]Osservando le figure notiamo che:[br][math]BED+BCD\cong\left(Pi-Greco\right)[/math] perchè angoli opposti in un quadrilatero inscritto in una circonferenza[br][math]BAD+BCD\cong\left(Pi-Greco\right)[/math]per ipotesi[br]Quindi BED e BAD sono congruenti, perché supplementari dello stesso angolo. D’altra parte, essi sono angoli corrispondenti fra le rette DA e DE, tagliate dalla trasversale AE. Le rette DA e DE, avendo angoli corrispondenti congruenti, risultano parallele, e ciò è in contraddizione con il fatto che hanno in comune il punto D. Quindi la circonferenza deve passare anche per il punto A.
TEOREMA 3
Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari.
Poligoni regolari
DEFINIZIONE
Un poligono è regolare quando ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti, cioè è sia equilatero sia equiangolo.
TEOREMA
Dato un poligono regolare, esistono la sua circonferenza inscritta e la sua circonferenza circoscritta, e hanno lo stesso centro.
Traccia