Para cargas más complicadas o estructuras como armaduras y marcos se recomienda usar métodos de energía para realizar diversos cálculos. La mayoría de los métodos de energía se basan en el principio de la conservación de la energía ([url=https://drive.google.com/file/d/1Yh16HZjvAYSxQeW7wXu-7I_4AgyQco4h/view?usp=sharing]Hibbeler, 1997).[/url][br][br]

En el caso de una estructura, se puede decir que el trabajo [color=#0000ff][b]Ue[/b][/color] hecho por todas las fuerzas externas que actúan sobre la misma, se transforma en trabajo interno de energía de deformación [color=#ff0000][b]Ui[/b][/color], que se desarrolla cuando la estructura se deforma.[br][br]Si no se excede el límite elástico del material, [color=#00ff00][b]la energía de deformación elástica[/b][/color] llevará a la estructura a su estado no deformado cuando las cargas se retiren.[br][br][center][b][color=#0000ff]Ue[/color][/b] = [b][color=#ff0000]Ui[/color][/b][br][b][color=#0000ff]El trabajo hecho por todas las fuerzas externas[/color][/b] = [b][color=#ff0000]El trabajo interno de energía de deformación[/color][/b][/center]

Cuando una fuerza [b]F sufre un desplazamiento dx[/b] en la misma dirección que la fuerza, el trabajo hecho es [b][color=#0000ff]dUe = Fdx[/color][/b]. Si el desplazamiento total es x, se tendrá que el trabajo es:[br][br][math]U_e=\int_0^xFdx[/math] (Ec. 1)[br][br]Si una fuerza F es incrementada [b]gradualmente[/b] desde cero hasta un valor límite F = P, la deflexión final de la barra resulta ser [math]\Delta[/math], considerando que el material tiene una respuesta elástica lineal, el trabajo es:[br][br][math]U_e=\frac{1}{2}P\Delta[/math] (Ec. 2)[br][br]Si P ya está aplicada y ahora se aplica otra fuerza F', deflexionándose una distancia adicional [math]\Delta[/math]', el trabajo es:[br][br][math]U_e=P\Delta'[/math] (Ec. 3)

El trabajo de un momento se define como [b]el producto de la magnitud del momento M y el ángulo [/b][math]d\theta[/math], a través del cual gira, [b][color=#0000ff]dUe = M[/color][/b][math]d\theta[/math]. Si el ángulo total de rotación es [math]\theta[/math] radianes, el trabajo es:[br][br][math]U_e=\int^{\theta}_0Md\theta[/math] (Ec. 4)[br][br]Si el momento se aplica [b]gradualmente[/b] a una estructura, desde cero hasta M, el trabajo es:[br][br][math]U_e=\frac{1}{2}M\theta[/math] (Ec. 5)[br][br]Si el momento está ya aplicado a la estructura y otra carga la deforma adicionalmente en un ángulo [math]\theta[/math]', entonces M gira [math]\theta[/math]', el trabajo es:[br][br][math]U_e'=M\theta'[/math] (Ec. 6)[br]

Si una fuerza axial [b]P[/b] se aplica gradualmente a una barra , el material se deformará en forma tal que el trabajo externo se convertirá en [b][color=#ff0000]energía de deformación[/color][/b] que se almacena en la barra. Si el material es elástico lineal, será aplicable la Ley de Hooke:[br][br][math]\sigma=E\epsilon[/math] (Ec. 7)[br][br]Si la barra tiene una sección transversal constante de área [b]A[/b] y longitud [b]L[/b], el esfuerzo final será:[br][br][math]\sigma=\frac{P}{A}[/math] (Ec. 8)[br][br]Y la deformación final será:[br][br] [math]\epsilon=\frac{\Delta}{L}[/math] (Ec. 9)[br][br]Entonces:[br][br][math]E\epsilon=\sigma=\frac{P}{A}[/math][br][br][math]E\left(\frac{\Delta}{L}\right)=\frac{P}{A}\Longrightarrow\Delta=\frac{PL}{AE}[/math] (Ec. 10)[br][br]Introduciendo la ecuación anterior (Ec. 10) en la ecuación de trabajo por una fuerza axial (Ec. 2) se tendrá que la [b][color=#ff0000]energía de deformación[/color][/b] es:[br][br][math]U=\frac{1}{2}P\Delta=\frac{1}{2}P\left(\frac{PL}{AE}\right)=\frac{P^2L}{2AE}[/math][br][br]Concluyendo con:[br][br][math]U_i=\frac{P^2L}{2AE}[/math] (Ec. 11)

Considerando una viga inicialmente recta, deformada elásticamente por cargas que se aplican perpendicularmente al eje de la viga y que se encuentran en el plano longitudinal de simetría de la sección transversal de la viga. [br][br]Durante la deflexión de la viga, las secciones transversales de la viga permanecerán planas ([url=https://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nica]geometría de la deformación, hipótesis de Euler-Bernoulli[/url]). Si se considera un elemento diferencial dx localizado a una distancia x de uno de los soportes de la viga. Aislando este elemento se identifica que el momento interno M de la viga deforma al elemento en forma tal que las tangentes a cada lado del elemento se intersectan según un ángulo [math]d\theta[/math]. Pudiendo relacionar el momento M con [math]d\theta[/math], notando que M ocasiona que la fibra inferior de la viga se alargue [math]\Delta[/math], siendo la deformación unitaria:[br][br][math]\epsilon=\frac{\Delta}{dx}[/math] (Ec. 12)[br][br]Si se trata de una deformación elástica lineal, la ley de Hooke es aplicable (Ec. 7), y tratándose de un esfuerzo por flexión:[br][br][math]\sigma=\frac{Mc}{I}[/math] (Ec. 13)[br][br]Combinándose las ecuaciones 12 y 13, se concluye:[br][br][math]\frac{\Delta}{dx}=\epsilon=\frac{\sigma}{E}\Longrightarrow\frac{\Delta}{dx}=\frac{Mc}{IE}[/math] (Ec. 14)[br]

Como la distorsión del arco en la viga por la deflexión es pequeña, se puede llegar a concluir:[br][br][math]d\theta=\frac{M}{EI}dx[/math] (Ec. 15) [br][i]Donde EI es la rigidez por flexión[/i][br][br]Con base en el principio de la conservación de la energía (Ec. 5, trabajo externo por momento), la energía de deformación o trabajo almacenado en el elemento puede ser:[br][br][math]\frac{dU_i}{d\theta}=\frac{1}{2}\cdot\frac{M^2}{EI}\cdot dx[/math][br][br]La energía de deformación para la viga se determinará integrando el resultado sobre toda la longitud de la viga.[br][br][math]U_i=\int_0^L\frac{M^2dx}{2EI}[/math] (Ec. 16)[br]

Este principio puede aplicarse para determinar el desplazamiento en un punto sobre una estructura. Se debe considerar:[br][list][*][color=#0000ff][b]Ue[/b][/color] = [b][color=#ff0000]Ui[/color][/b]. [/*][*]El trabajo externo es [math]U_e=\frac{1}{2}P\Delta[/math] (Ec. 2). [br][/*][*]Determinar el momento interno como función de la posición x en la viga.[/*][*]Aplicar [math]U_i=\int_0^L\frac{M^2dx}{2EI}[/math] (Ec. 16)[br][/*][/list]La aplicación de este método se limita a sólo unos unos cuantos problemas selectos. Sólo una carga puede aplicarse a la estructura, de lo contrario se tendrá un desplazamiento desconocido bajo cada carga y sólo es posible escribir una ecuación de trabajo para la viga.[br][br]El trabajo externo depende de la fuerza y de su correspondiente desplazamiento.[br][br]Ver: [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Castigliano]Teorema de Castigliano[/url]

El principio proporciona un medio general para obtener el desplazamiento y la pendiente.[br][br]Si se considera una estructura deformable de cualquie forma o tamaño y se le aplica una serie de cargas externas P, se generarán cargas internas u en puntos de la estructura. Es necesario que las cargas externas e internas queden relacionadas por las ecuaciones de equilibrio. Como consecuencia de esas cargas, ocurrirán desplazamientos externos [math]\Delta[/math] bajo las cargas P y desplazamientos internos [math]\delta[/math] en cada punto de carga interna u. [br][br]Los desplazamientos no tienen que ser elásticos y ellos pueden no estar relacionados con las cargas, sin embargo, los desplazamientos externos e internos deben estar relacionados entre sí por la compatibilidad de los desplazamientos.[br][br]Si se conocen los desplazamientos externos, los correspondientes desplazamientos internos quedan definidos unívocamente.[br][center][br][math]\sum P\Delta=\sum u\delta[/math][br]Trabajo de las cargas externas = Trabajo de las cargas internas.[br](Ec. 17)[/center]Suponiéndose cualquier cuerpo, al que se le están aplicando varias cargas, que pueden deformar al material más allá del límite elástico. Se identifica un punto donde ninguna carga externa se esté aplicando, A, y en una dirección [math]\Delta[/math], el cual puede determinarse colocando primero sobre el cuerpo una carga virtual P' que actúe en la misma dirección que [math]\Delta[/math].[br][br]La carga virtual tendrá una magnitud unitaria, P'=1. La misma genera una carga interna virtual u en un elemento representativo, P' y u están relacionados por las ecuaciones de equilibrio. Como resultado, el cuerpo y el elemento experimentarán un desplazamiento virtual debido a la carga P', sin interesar su magnitud.[br][br]

El trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno ejercido sobre todos los elementos del cuerpo.[br][center][br][math]1\cdot\Delta=\sum u\cdot dL[/math][/center]Donde:[br]P'= 1, carga unitaria virtual externa.[br]u = Carga virtual interna que actúa sobre el elemento en la dirección de dL.[br][math]\Delta[/math]=Desplazamiento externo causado por las cargas reales.[br]dL = Deformación interna del elemento causada por las cargas reales.[br][center][br][math]\Delta=\sum u\cdot dL[/math] (Ec. 18)[br][br][/center]Si se tiene un desplazamiento rotacional o pendiente de la tangente en un punto sobre una estructura debe determinarse, se aplicará un momento concentrado virtual M' de magnitud unitaria, generando una carga virtual [math]u_{\theta}[/math] en uno de los elementos del cuerpo. La rotación [math]\theta[/math] puede encontrarse a partir de la ecuación del trabajo virtual:[br][center][br][math]1\cdot\theta=\sum u_{\theta}\cdot dL[/math][br][math]\theta=\sum u_{\theta}\cdot dL[/math] (Ec. 19)[br][br][/center]Donde[br]M'=1, momento concentrado virtual externo que actúa en la dirección de [math]\theta[/math].[br][math]u_{\theta}[/math]=Carga virtual interna que actúa sobre un elemento en la dirección dL.[br][math]\theta[/math]=Desplazamiento rotacional externo o pendiente en radianes causado por las cargas reales.[br]dL = Deformación interna del elemento causada por las cargas reales.

Considere la siguiente viga y determine el desplazamiento del punto B de la viga de acero. E = 200 GPa, I = [math]500\cdot10^6mm^4[/math]

El desplazamiento vertical del punto B se obtiene colocando una "carga virtual unitaria de una unidad", en este caso 1kN en "B". Debido a que no hay discontinuidades de carga (reales o virtuales) sobre la viga. Se puede usar una sola coordenada "x" para determinar la energía virtual de deformación. La coordenada se seleccionará en B, ya que las reacciones en A no tienen que ser determinadas para encontrar los momentos internos m y M.[br][br]Usando el [url=https://estaticarmm.weebly.com/capitulo-6.html]método de las secciones[/url], el momento interno M se formula:

Usando la misma coordenada x, el momento interno M se formula como:

El desplazamiento vertical de B es:[br][br][math]1\cdot\Delta_B=\int\frac{mM}{EI}dx=\int_0^{10}\frac{\left(-1x\right)\cdot\left(-6x^2\right)dx}{EI}[/math]

Su reporte de laboratorio consistirá en las siguientes partes:[br][list=1][*]Resumen del CAPÍTULO 6 DEL LIBRO ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE R.C. HIBBELER, Líneas de Influencia para estructuras estáticamente determinadas, [url=https://drive.google.com/file/d/1Yh16HZjvAYSxQeW7wXu-7I_4AgyQco4h/view?usp=sharing]https://drive.google.com/file/d/1Yh16HZjvAYSxQeW7wXu-7I_4AgyQco4h/view?usp=sharing[/url]. El resumen debe ser a mano (considere caligrafía, ortografía y redacción), consistir en un máximo de 10 hojas y un mínimo de 5, incluyendo 3 problemas resueltos (ejemplos). [br][/*][/list]Deberá escanear y subir su reporte a su Google Drive (cuenta oficial de la Facultad de Ingeniería, USAC) y compartir un enlace de la misma [b]en un espacio programado[/b]