Egyenletek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai
Bevezető feladat
Figyeld meg, mi történik az [math]x+2=-\frac{1}{2}x-1[/math] egyenlettel, ha különböző műveleteket hajtunk végre! Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenletek gyökeinek a száma és értéke az eredeti gyökhöz képest?[br]A megoldáshalmazt a valós számok halmazában keressük.
Útmutatás
Az eredeti [math]x+2=-\frac{1}{2}+-1[/math] egyenlet két oldalának grafikonja (tehát az [math]y=x+2[/math] egyenletű egyenes és az [math]y=-\frac{1}{2}x-1[/math] egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. Szintén látható a gyöke: [math]x=-2[/math].[br]Ha változtatjuk az egyenletet, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi, hogy mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék.
1. feladat
Add hozzá az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot! [br]A „Hozzáad” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
2. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal! [br]A „Szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié? Mi történik, ha 0 a szorzótényező?
3. feladat
Emeld négyzetre mindkét oldalt! [br]A „Négyzetre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
4. feladat
Mi történik, ha veszed az egyenlet mindkét oldalának reciprokát? A „Reciprok”[br]lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a[br]megoldáshalmaza, mint az eredetié?
5. feladat
Emeld köbre mindkét oldalt! [br]A „Köbre emel”-t kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
6. feladat
Végezz gyökvonást mindkét oldalon![br]A „Gyököt von” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
7. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt [math]x[/math]-szel! [br]A „Szoroz [math]x[/math]-szel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
8. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt [math](x+2)[/math]-vel! [br]Az „[math](x+2)[/math]-vel szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új[br]egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
9. feladat
Szorozd meg mindkét oldalt [math](x+4)[/math]-gyel! [br]Az „[math](x+4)[/math]-gyel szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új[br]egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
10. feladat
Oszd el mindkét oldalt [math]x[/math]-szel![br]A „[math]x[/math]-szel oszt” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenletnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?