Une construction géométrique qui montre que la somme géométrique [math]\sum_{k=1}^\infty a^k[/math] converge et est égale à [math]\frac a{1-a}[/math]. On représente un carré unité et ses successions par des homothéties de rapport [math]a[/math]. En joignant leurs coins, on obtient des triangles rectangles tous homothétiques, le premier est de côtés [math]a[/math] et [math]1-a[/math]. Par conséquent, pour [math]a<1[/math], la droite de pente [math]\frac{1-a}a[/math] coupe l'axe des abscisses en [math]\Omega(\frac a{1-a};0)[/math]. Et l'abscisse de ce point est, par construction la somme de la suite géométrique.[br]On peut aussi voir le triangle de côtés 1 et 1-a homothétique à [math]\sum _{k=0}^{\infty }a^k[/math] et 1.

Vous pouvez bouger le point [math]a[/math].[br][br]On peut également s'intéresser à la somme finie [math]\sum_{k=1}^na^k[/math] car on peut la compléter par "la queue" [math]\sum_{k=n+1}^\infty a^k[/math] pour obtenir [math]\sum_{k=1}^\infty a^k=\frac a{1-a}[/math]. Mais cette queue est clairement image de la somme entière par une homothétie de rapport [math]a^n[/math], donc [math]\sum_{k=1}^na^k=\sum_{k=1}^{\infty}a^k-a^n\sum_{k=1}^{\infty}a^k=\frac{a-a^{n+1}}{1-a}[/math].