Een kubus verdubbelen

chris cambré, Dec 28, 2016

"Kan je enkel met passer en lineaal een kubus tekenen waarvan het volume dubbel zo groot is als een gegeven kubus?" Het is een van de klasieke meetkundeproblemen uit de Griekse Oudheid. In dit boek onderzoeken we het probleem en de mogelijke oplossingen.

Table of Contents

  1. het probleem
    1. verdubbelen van een kubus
    2. de Cissoïde van Diocles
    3. de conchoïde van Nicomedes
    4. de concoïde van Nicomedes in 3d
  2. parabolen
    1. snijpunt van parabool en cirkel
    2. snijpunt van parabool met parabool
    3. snijpunt van een parabool met een hyperbool
  3. origami
    1. kubusverdubbeling met origami
    2. kubustest

1.

het probleem

Wanneer is het volume van een kubus dubbel zo groot als dat van een gegeven kubus en waarom zou het tekenen van deze kubus een probleem zijn?

  • 1. verdubbelen van een kubus
  • 2. de Cissoïde van Diocles
  • 3. de conchoïde van Nicomedes
  • 4. de concoïde van Nicomedes in 3d

1.1.

verdubbelen van een kubus

Hoe verdubbel je het volume van een kubus?
We vertrekken van een kubus met een ribbe gelijk aan 1.[br]Hoe groot is dan de ribbe van een kubus waarvan het volume dubbel zo groot is?
het probleem
Om het volume van een kubus te verdubbelen, moet je zijn ribbe vermenigvuldigen met [math]\sqrt[3]{2}[/math].[br]En dat is een probleem als je vasthoudt aan de voorwaarde [i]enkel met passer en lineaal[/i]. Je kunt lijnstukken tekenen waarvan de lengte gelijk is aan een vierkantswortel van een geheel of een rationaal getal. Maar derdemachtswortels kan niet realiseren met enkel passer en lineaal als hulpmiddel.
omwegen
Laat je de voorwaarde [i]enkel met passer en lineaal[/i] vallen, kan het wel. Reeds in de Griekse Oudheid bedachten wiskundigen krommen waarmee ze [math]\sqrt[3]{2}[/math] konden realiseren. Verder is ook het bepalen van de snijpunten van een parabool met een cirkel, een hyperbool of een tweede parabolen een heel elegant middel.
– chris cambré

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

parabolen

De krommen die de Griekse wiskundigen gebruikten, hebben ingewikkelde vergelijkingen. Maar de Griekse wiskundigen benaderden wiskunde zuiver meetkundig en niet analytisch. De basisparabool y=x² heeft een eenvoudige vergelijking. Rekenkundig de snijpunten bepalen van een parabool met een andere parabool, een hyperbool of een cirkel is een heel handig alternatief voor de Griekse meetkunde.

  • 1. snijpunt van parabool en cirkel
  • 2. snijpunt van parabool met parabool
  • 3. snijpunt van een parabool met een hyperbool

2.1.

snijpunt van parabool en cirkel

Berekening voor a = 1
Wat zijn de snijpunten van de parabool y = x² en de cirkel met middelpunt M(1, [math]\frac{1}{2}[/math]) door O(0,0)?[br]De straal van de cirkel = d(M, O) = [math]\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}[/math].[br]De vergelijking van de cirkel wordt dan:[br][table][tr][td](x - 1)² + (y - 1/2)² = 5/4[/td][/tr][tr][td]x²- 2x + 1 + y² - y + 1/4 = 5/4[/td][/tr][tr][td] [color=#0000ff]de cirkel snijdt de parabool voor y = x² zodat ook y² = x[sup]4[/sup][/color][/td][/tr][tr][td]x² - 2x + x[sup]4[/sup] - x² + 5/4 = 5/4[/td][/tr][tr][td]x[sup]4[/sup] - 2x = 0[/td][/tr][tr][td]x . (x³ - 2) = 0 met als oplossingen x = 0 en x = [math]\sqrt[3]{2}[/math][/td][/tr][/table]
– chris cambré

2.2.

–

2.3.

–

3.

origami

Een totaal andere benadering is het construeren van de derdemachtswortel door het vouwen van een vierkant blad papier. Ook deze methode omzeilt de Griekse voorwaarde 'enkel met passer en lineaal' omdat ze gebruik maakt van merktekens (en dus van een meetlat i.p.v. een lineaal).

  • 1. kubusverdubbeling met origami
  • 2. kubustest

3.1.

kubusverdubbeling met origami

– chris cambré

3.2.

–

Information