[b]Aufgabe![/b][br]1) Stelle die [math]\epsilon[/math] Umgebung auf 0,02 ein. Ab welchem Folgenglied liegt die Folge in der [math]\epsilon[/math] Umgebung? [br][br]2) Stelle nun die [math]\epsilon[/math] Umgebung auf 0,009 ein. Ab welchem Folgenglied liegt nun die Folge in der [math]\epsilon[/math] Umgebung?[br][br]3) Untersuche die vorgegebenen Folgen und stelle die [math]\epsilon[/math] Umgebung auf 0,01 ein. Ab welchem Folgeglied liegt die jeweilige Folge in der [math]\epsilon[/math] Umgebung? [br] a) a(n)=(n+1)/n b) a(n)= (3n+1)/(n+1)

[size=200][u][color=#ff0000]Grenzwert von Folgen:[/color][/u][/size][br][br]Der Grenzwert oder Limes einer Folge ist eine Zahl, der die[br]Folge beliebig nah kommt. Dies bedeutet, dass in jeder Umgebung des Grenzwerts[br]fast alle Folgenglieder der Folge liegen. Besitzt eine Folge solch einen[br]Grenzwert, so wird sie konvergent, andernfalls divergent genannt. Ein Beispiel[br]für eine konvergente Folge ist a(n)=1/n, mit wachsendem n nähert sie sich der[br]Zahl 0, dies ist also ihr Grenzwert. Eine solche Folge nennt man auch[br]Nullfolge. Die konstante Folge a(n)= c konvergiert ebenfalls, ihr Grenzwert ist[br]gerade die Zahl c. Hingegen divergiert die Folge a(n)=(-1)n, da sie sich keiner[br]Zahl annähert, sondern nur zwischen den Werten −1 und 1 alterniert („hin und[br]her springt“).[br][br]