
-
Penrose betegelingen
-
1. organische en geometrische vormen
- organische en geometrische vormen
- wiskunde in natuur
- kristalstructuren en symmetrieën
-
2. het probleem vijf
- vijf in symmetrie
- vlakvullende regelmatige veelhoeken
- het probleem vijf
- Johannes Kepler en Penrose
-
3. vliegers en pijlen
- basisvormen uit vijfhoek
- plakregels
- plakmogelijkheden
- groeperingsmogelijkheden
- basisgroeperingen
- de kleine en de grote strik
- Batman
-
4. vijfvoudige symmetrie
- het zonnepatroon
- het sterrenpatroon
- alternatieve betegelingen
- karrewielen rond de zon
- karrewielen rond de ster
- symmetrie eigenschappen
- experimenteer zelf
-
5. inflatie en deflatie
- deflatie van vlieger en ster
- deflatie van zon en ster
- herhalen van deflatie
- deflatie van aas
- deflatie van batman
- karrewielen en wormen rond batman
- inflatie van vlieger en ster
- inflatie in Penrose betegelingen
- P3
- P3-betegelingen
-
6. vervormingen
- vervormen van een vierkant
- Pennrose vervormingen
-
7. tegelwerken
- Carleton College
- bathmath
- Een betegeling en zijn bedenker
-
8. Penrose - kristallen - Islamitische tegels
- verboden symmetrie in kristallen
- een media hype in 2007
- Maragha - Iran
- patroon en tegels
- girih tegels
- girih patroon reconstrueren (1)
- girih patroon reconstrueren (2)
- Topkapi rol
- girih tegels en Penrose
- Kopie vanopdeling
- Penrose groot en klein
- Topkapi rol
- twee lezingen van Peter Lu
- an 'einstein' tile - een 'einstein' tegel...
Penrose betegelingen
chris cambré, Jan 4, 2017

Je kunt vlakvullingen maken met vierkanten, gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken, maar met regelmatige vijfhoekigen, no way! In 1974 zette Roger Penrose het denken over vlakvullingen op zijn kop. Hij introduceerde een vlakvulling met tegels, gebaseerd op ... een regelmatige vijfhoek. Dit boek leidt je binnen in een wereld van fascinerende vormen en tegelpatronen. Penrose betegelingen leken slechts een leuk tijdverdrijf voor wiskundigen, tot scheikundigen gelijkaardige 'onmogelijke' kristalroosters ontdekten en wiskundigen gelijkenissen ontdekten in Islamitische decoratieve patronen. Een artikel in Science zette de wiskundewereld op zijn kop. Islamitische geometrische patronen werden een hot item en heel wat artikels en boeken volgden. Binnen dit boek gaan we enkel in op het artikel dat alles in gang zette. Meer achtergrond en tegensprekelijke commentaren vind je in mijn GeoGebraboek Islamitische geometrische patronen https://ggbm.at/cyjb6gsb.
Table of Contents
- organische en geometrische vormen
- organische en geometrische vormen
- wiskunde in natuur
- kristalstructuren en symmetrieën
- het probleem vijf
- vijf in symmetrie
- vlakvullende regelmatige veelhoeken
- het probleem vijf
- Johannes Kepler en Penrose
- vliegers en pijlen
- basisvormen uit vijfhoek
- plakregels
- plakmogelijkheden
- groeperingsmogelijkheden
- basisgroeperingen
- de kleine en de grote strik
- Batman
- vijfvoudige symmetrie
- het zonnepatroon
- het sterrenpatroon
- alternatieve betegelingen
- karrewielen rond de zon
- karrewielen rond de ster
- symmetrie eigenschappen
- experimenteer zelf
- inflatie en deflatie
- deflatie van vlieger en ster
- deflatie van zon en ster
- herhalen van deflatie
- deflatie van aas
- deflatie van batman
- karrewielen en wormen rond batman
- inflatie van vlieger en ster
- inflatie in Penrose betegelingen
- P3
- P3-betegelingen
- vervormingen
- vervormen van een vierkant
- Pennrose vervormingen
- tegelwerken
- Carleton College
- bathmath
- Een betegeling en zijn bedenker
- Penrose - kristallen - Islamitische tegels
- verboden symmetrie in kristallen
- een media hype in 2007
- Maragha - Iran
- patroon en tegels
- girih tegels
- girih patroon reconstrueren (1)
- girih patroon reconstrueren (2)
- Topkapi rol
- girih tegels en Penrose
- Kopie vanopdeling
- Penrose groot en klein
- Topkapi rol
- twee lezingen van Peter Lu
- an 'einstein' tile - een 'einstein' tegel...
organische en geometrische vormen
toegepaste kunst

interieurvormgeving

gevelontwerp


het probleem vijf
Je vindt vijfvoudige symmetrie in bloemblaadjes en architectuur. Maar je kunt geen vlakvulling maken met enkel regelmatige vijfhoeken. Roger Penrose wist dit, net zoals lang voor hem Johannes Keppler en Albrecht Dürer.
-
1. vijf in symmetrie
-
2. vlakvullende regelmatige veelhoeken
-
3. het probleem vijf
-
4. Johannes Kepler en Penrose
vijf in symmetrie



basisvormen uit vijfhoek
Penrose P2


- Breid je een grote driehoek uit met een kleine driehoek, dan krijg je een vlieger.
- Spiegel je een kleine driehoek t.o.v. de buitenrand van de vijfhoek en trek je hem daarna af van een grote driehoek, dan krijg je een pijl.
vijfvoudige symmetrie
Uniek aan vlieger en pijl is dat Penrose er in slaagt met deze vormen vijfvoudige symmetriepatronen te creëren, wat men tot dan toe voor onmogelijk hield.
-
1. het zonnepatroon
-
2. het sterrenpatroon
-
3. alternatieve betegelingen
-
4. karrewielen rond de zon
-
5. karrewielen rond de ster
-
6. symmetrie eigenschappen
-
7. experimenteer zelf
het zonnepatroon
bouwen rond de zon
Oplossing



inflatie en deflatie
Als je dacht dat inflatie en deflatie enkel met kapitaal te maken heeft, dan vergis je je. Ontdek wat deze begrippen met vliegers en pijlen te maken hebben.
-
1. deflatie van vlieger en ster
-
2. deflatie van zon en ster
-
3. herhalen van deflatie
-
4. deflatie van aas
-
5. deflatie van batman
-
6. karrewielen en wormen rond batman
-
7. inflatie van vlieger en ster
-
8. inflatie in Penrose betegelingen
-
9. P3
-
10. P3-betegelingen
deflatie van vlieger en ster


- Trek evenwijdigen aan de lange zijden van de vlieger vanuit het punt waar het groene en het rode boogje elkaar raken,
- bepaal de twee nieuwe, kleinere vliegers,
- vervolledig de twee groene driehoekjes tot pijlen.
- Trek de korte zijden van de vlieger door tot aan de overliggende zijden,
- bepaal de nieuwe, kleinere vlieger,
- vervolledig de twee groene driehoekjes tot pijlen
vervormen van een vierkant


Carleton College
Hal van Carleton College, Northfield USA

Herken je basisvormen en begrippen?
- Rond het centrale karrewiel ligt een krans van 10 groene sterren met een rand van blauwe vliegers.
- Verspreid over het patroon liggen rode zonnen en azen van twee blauwe vliegers en een groene pijl.
- Vanuit het midden van het patroon vertrekken straalsgewijs 10 wormen. Elke worm wordt gevormd door twee grote strikken van groene en blauwe tegels en een kleine strik met oranje en rode tegels.
- Rond het middenste karrewiel liggen twee kringen van karrewielen die elkaar overlappen


centrale karrewiel
- Links zie je de vorm van de boer: drie vliegers en twee pijlen.
- De middelste figuur toont de enige manier waarop je de boer met vliegers en pijlen kunt omringen.
- De rechtse figuur illustreert hoe boer en omlijsting gerealiseerd wordt in de vloer.

Penrose - kristallen - Islamitische tegels
Wie dacht dat de Penrose betegelingen enkel een leuk wiskundig zijsprongetje zijn zonder enig verband met de tastbare werkelijkheid heeft het mis. Zowel in de kristallografie als in het onderzoek van Islamitische decoraties werden ophefmakende ontdekkingen gedaan.
-
1. verboden symmetrie in kristallen
-
2. een media hype in 2007
-
3. Maragha - Iran
-
4. patroon en tegels
-
5. girih tegels
-
6. girih patroon reconstrueren (1)
-
7. girih patroon reconstrueren (2)
-
8. Topkapi rol
-
9. girih tegels en Penrose
-
10. Kopie vanopdeling
-
11. Penrose groot en klein
-
12. Topkapi rol
-
13. twee lezingen van Peter Lu
-
14. an 'einstein' tile - een 'einstein' tegel...
verboden symmetrie in kristallen


