Penrose betegelingen

chris cambré, Jan 4, 2017

Je kunt vlakvullingen maken met vierkanten, gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken, maar met regelmatige vijfhoekigen, no way! In 1974 zette Roger Penrose het denken over vlakvullingen op zijn kop. Hij introduceerde een vlakvulling met tegels, gebaseerd op ... een regelmatige vijfhoek. Dit boek leidt je binnen in een wereld van fascinerende vormen en tegelpatronen. Penrose betegelingen leken slechts een leuk tijdverdrijf voor wiskundigen, tot scheikundigen gelijkaardige 'onmogelijke' kristalroosters ontdekten en wiskundigen gelijkenissen ontdekten in Islamitische decoratieve patronen. Een artikel in Science zette de wiskundewereld op zijn kop. Islamitische geometrische patronen werden een hot item en heel wat artikels en boeken volgden. Binnen dit boek gaan we enkel in op het artikel dat alles in gang zette. Meer achtergrond en tegensprekelijke commentaren vind je in mijn GeoGebraboek Islamitische geometrische patronen [url]https://ggbm.at/cyjb6gsb[/url].

Table of Contents

  1. organische en geometrische vormen
    1. organische en geometrische vormen
    2. wiskunde in natuur
    3. kristalstructuren en symmetrieën
  2. het probleem vijf
    1. vijf in symmetrie
    2. vlakvullende regelmatige veelhoeken
    3. het probleem vijf
    4. Johannes Kepler en Penrose
  3. vliegers en pijlen
    1. basisvormen uit vijfhoek
    2. plakregels
    3. plakmogelijkheden
    4. groeperingsmogelijkheden
    5. basisgroeperingen
    6. de kleine en de grote strik
    7. Batman
  4. vijfvoudige symmetrie
    1. het zonnepatroon
    2. het sterrenpatroon
    3. alternatieve betegelingen
    4. karrewielen rond de zon
    5. karrewielen rond de ster
    6. symmetrie eigenschappen
    7. experimenteer zelf
  5. inflatie en deflatie
    1. deflatie van vlieger en ster
    2. deflatie van zon en ster
    3. herhalen van deflatie
    4. deflatie van aas
    5. deflatie van batman
    6. karrewielen en wormen rond batman
    7. inflatie van vlieger en ster
    8. inflatie in Penrose betegelingen
    9. P3
    10. P3-betegelingen
  6. vervormingen
    1. vervormen van een vierkant
    2. Pennrose vervormingen
  7. tegelwerken
    1. Carleton College
    2. bathmath
    3. Een betegeling en zijn bedenker
  8. Penrose - kristallen - Islamitische tegels
    1. verboden symmetrie in kristallen
    2. decoratieve patronen
    3. Maragha - Iran
    4. patroon en tegels
    5. girih tegels
    6. girih patroon reconstrueren (1)
    7. girih patroon reconstrueren (2)
    8. Topkapi rol
    9. girih tegels en Penrose
    10. Kopie vanopdeling
    11. Penrose groot en klein
    12. Topkapi rol
    13. twee lezingen van Peter Lu
    14. an 'einstein' tile - een 'einstein' tegel...

1.

organische en geometrische vormen

Wat zijn organische en geometrische vormen en zijn natuur en wiskunde echt zo tegengesteld?

  • 1. organische en geometrische vormen
  • 2. wiskunde in natuur
  • 3. kristalstructuren en symmetrieën

1.1.

organische en geometrische vormen

In de vormgeving onderscheidt men organische en geometrische vormen.[br][b]Organische[/b] vormen verwijzen naar natuur en natuurlijke groei. Ze zijn vloeiend, onregelmatig en grillig.[br][b]Geometrische[/b] vormen verwijzen naar vormen uit de meetkunde zoals vierkanten, driehoeken en cirkels. Ze zijn meestal strak en duidelijk afgebakend.
toegepaste kunst
art nouveaustoel Rietveldstoel
interieurvormgeving
boven: Casa Batllo (Barcelona - Gaudi) [br]onder: Haus Guiette (Antwerpen - le Corbusier)
gevelontwerp
boven: Casa Batllo (Barcelona - Gaudi) [br]onder: Schröderhuis (Utrecht - Rietveld)
links: tuin van het paleis van Versailles als toonbeeld voor de geometrische Franse tuinen[br]rechts: de Engelse tuinen zijn landschapstuinen zonder symmetrie en evenwicht
– chris cambré

1.2.

–

1.3.

–

2.

het probleem vijf

Je vindt vijfvoudige symmetrie in bloemblaadjes en architectuur. Maar je kunt geen vlakvulling maken met enkel regelmatige vijfhoeken. Roger Penrose wist dit, net zoals lang voor hem Johannes Keppler en Albrecht Dürer.

  • 1. vijf in symmetrie
  • 2. vlakvullende regelmatige veelhoeken
  • 3. het probleem vijf
  • 4. Johannes Kepler en Penrose

2.1.

vijf in symmetrie

Vijfvoudige symmetrie komt heel veel voor bij bloemen. [br]In architectuur is de vijfhoek veel minder populair, maar je vindt wel voorbeelden.[br]Zo werden militaire forten meestal gebouwd in een vijfhoekige vorm. Hieronder zie je een foto van het fort Napoleon in Oostende. Napoleon liet het bouwen in 1811 als bescherming tegen de Engelse dreiging. Het gebouw van het Amerikaanse ministerie van defensie, nabij Washington, verwijst naar deze forten. Men noemde het niet voor niets het Pentagon.
fort Napoleon in Oostende
Pentagon in Arlington, nabij Washington D.C.
Toch is er een 'probleem vijf'. In de symmetrieën van kristalstructuren en in de tegels van het Alhambra vind je geen vijfvoudige symmetrie. In een volgend werkblad leer je waarom.
– chris cambré

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

vliegers en pijlen

Hoe vormt Roger Penrose zijn twee basisvormen en hoe passen ze aan elkaar?

  • 1. basisvormen uit vijfhoek
  • 2. plakregels
  • 3. plakmogelijkheden
  • 4. groeperingsmogelijkheden
  • 5. basisgroeperingen
  • 6. de kleine en de grote strik
  • 7. Batman

3.1.

basisvormen uit vijfhoek

Penrose P2
Een jaar na zijn eerste verzameling van zes basisvormen komt Roger Penrose met een tweede verzameling, eveneens gebaseerd op regelmatige vijfhoeken, maar dit keer slechts met twee basisvormen.
Vlieger en pijl ontstaan uit het combineren van een regelmatige vijfhoek met een regelmatige tienhoek.[br]Je kunt een regelmatige vijfhoek verdelen in vijf gelijkvormige driehoeken. Toon je op de vijfhoek een regelmatige tienhoek, dan verschijnen langs de buitenranden van de vijfhoek vijf kleinere driehoekjes. Deze grote en kleine driehoeken zijn de basis voor vlieger en pijl. [br][list][*]Breid je een grote driehoek uit met een kleine driehoek, dan krijg je een [b]vlieger[/b].[br][/*][*]Spiegel je een kleine driehoek t.o.v. de buitenrand van de vijfhoek en trek je hem daarna af van een grote driehoek, dan krijg je een [b]pijl[/b].[/*][/list]
– chris cambré

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

4.

vijfvoudige symmetrie

Uniek aan vlieger en pijl is dat Penrose er in slaagt met deze vormen vijfvoudige symmetriepatronen te creëren, wat men tot dan toe voor onmogelijk hield.

  • 1. het zonnepatroon
  • 2. het sterrenpatroon
  • 3. alternatieve betegelingen
  • 4. karrewielen rond de zon
  • 5. karrewielen rond de ster
  • 6. symmetrie eigenschappen
  • 7. experimenteer zelf

4.1.

het zonnepatroon

bouwen rond de zon
Hoe kan je de figuur van de zon omringen met vliegers en of pijlen? Probeer het uit in volgend applet.
Oplossing
Tegen de buitenranden van de zon kan je zowel zonnen als pijlen plakken. Een kring van elkaar rakende pijlen is de meest voor de hand liggende oplossing. [br]Je kunt deze kring steeds verder uitbreiden. Zo kom je tot het patroon van de zon. Het patroon heeft een vijfvoudige rotatiesymmetrie rond het middelpunt van de zon.
– chris cambré

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

5.

inflatie en deflatie

Als je dacht dat inflatie en deflatie enkel met kapitaal te maken heeft, dan vergis je je. Ontdek wat deze begrippen met vliegers en pijlen te maken hebben.

  • 1. deflatie van vlieger en ster
  • 2. deflatie van zon en ster
  • 3. herhalen van deflatie
  • 4. deflatie van aas
  • 5. deflatie van batman
  • 6. karrewielen en wormen rond batman
  • 7. inflatie van vlieger en ster
  • 8. inflatie in Penrose betegelingen
  • 9. P3
  • 10. P3-betegelingen

5.1.

deflatie van vlieger en ster

Deflatie van een vlieger:[br][list][*]Trek evenwijdigen aan de lange zijden van de vlieger vanuit het punt [br]waar het groene en het rode boogje elkaar raken,[/*][*]bepaal de twee nieuwe, kleinere vliegers, [/*][*]vervolledig de twee groene driehoekjes tot pijlen.[/*][/list]Deflatie van een pijl:[br][list][*]Trek de korte zijden van de vlieger door tot aan de overliggende zijden,[/*][*]bepaal de nieuwe, kleinere vlieger,[/*][*]vervolledig de twee groene driehoekjes tot pijlen[/*][/list][br]Resultaat: met deflatie verklein je de figuren.
– chris cambré

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

6.

vervormingen

bij vlakvullingen kan je de basivorm zo aanpassen dat de vorm nog steeds vlakvullend blijft

  • 1. vervormen van een vierkant
  • 2. Pennrose vervormingen

6.1.

vervormen van een vierkant

De zijden van een vierkante, driehoekige of zeshoekige basisvorm kan je zo veranderen dat de tegelvorm vlakvullend blijft. In volgend applet worden de veranderingen van de boven- en de onderzijde van een vierkant door draaiing overgebracht op de overige twee zijden. Op die manier worden eventuele uitbreidingen of uitsparingen gecompenseerd. De netto oppervlakte van de tegel blijft gelijk en de aangebrachte wijziging past in de overbrenging. In volgend applet kan je verkennen hoe dit gebeurt.
– chris cambré

6.2.

–

7.

tegelwerken

Soms nemen Penrose fans 'betegelingen' heel letterlijk.

  • 1. Carleton College
  • 2. bathmath
  • 3. Een betegeling en zijn bedenker

7.1.

Carleton College

Hal van Carleton College, Northfield USA
Herken je basisvormen en begrippen?
In de hal van Carleton College, Northfield USA kan je deze betegeling bewonderen.[br]Met wat je intussen al weet over Penrose betegelingen herken je zeker meerder elementen: [br][list][*]Rond het centrale karrewiel ligt een krans van 10 groene sterren met een rand van blauwe vliegers.[/*][*]Verspreid over het patroon liggen rode zonnen en azen van twee blauwe vliegers en een groene pijl.[/*][*]Vanuit het midden van het patroon vertrekken straalsgewijs 10 wormen. [br]Elke worm wordt gevormd door twee grote strikken van groene en blauwe tegels en een kleine strik met oranje en rode tegels.[/*][*]Rond het middenste karrewiel liggen twee kringen van karrewielen die elkaar overlappen[/*][/list]In volgend applet worden de elementen een na een uitgelicht.
centrale karrewiel
Kijk ook even naar het basismotief. Het is geen zon of ster, aas of Batman, maar een boer ([i]Jack[/i]).[br]De boer is een van de zeven vormen waarmee we vlieger en pijl aaneensluitend kunnen schikken rond een gemeenschappelijk punt. Hieronder zie je drie afbeeldingen:[br][list][*]Links zie je de vorm van de boer: drie vliegers en twee pijlen.[br][/*][*]De middelste figuur toont de enige manier waarop je de boer met vliegers en pijlen kunt omringen.[/*][*]De rechtse figuur illustreert hoe boer en omlijsting gerealiseerd wordt in de vloer.[/*][/list]
– chris cambré

7.2.

–

7.3.

–

8.

Penrose - kristallen - Islamitische tegels

Wie dacht dat de Penrose betegelingen enkel een leuk wiskundig zijsprongetje zijn zonder enig verband met de tastbare werkelijkheid heeft het mis. Zowel in de kristallografie als in het onderzoek van Islamitische decoraties werden ophefmakende ontdekkingen gedaan.

  • 1. verboden symmetrie in kristallen
  • 2. decoratieve patronen
  • 3. Maragha - Iran
  • 4. patroon en tegels
  • 5. girih tegels
  • 6. girih patroon reconstrueren (1)
  • 7. girih patroon reconstrueren (2)
  • 8. Topkapi rol
  • 9. girih tegels en Penrose
  • 10. Kopie vanopdeling
  • 11. Penrose groot en klein
  • 12. Topkapi rol
  • 13. twee lezingen van Peter Lu
  • 14. an 'einstein' tile - een 'einstein' tegel...

8.1.

verboden symmetrie in kristallen

Iedereen weet dat het onmogelijk is om met regelmatige vijf- of tienhoeken een regelmatig kristalpatroon op te bouwen en regelmatige patronen zijn nu een maal de regel. Maar een patroon met 10-voudige symmetrie was nu net precies wat Dan Shechtman op 8 april 1982 door zijn microscoop zag toen hij een snel afgekoelde legering van aluminium en mangaan bekeek.
Toen hij bleef bij wat hij zag, verloor hij zijn job. Hij bleef echter aandringen en kreeg uiteindelijk zijn bevindingen gepubliceerd. De nieuwe ordening noemde men ‘quasikristallen’.[br]En Dan Shechtman… die kreeg in 2011 de Nobelprijs voor scheikunde.
model van een quasikristal
Quasikristallen werden een hype en in vele laboratoria werden honderden nieuwe quasikristallen samengesteld. In 2009 werd eindelijk ook in de natuur het eerste quasikristal teruggevonden in een rivier in Rusland, waarschijnlijk afkomstig van een meteoriet. [br]De opbouw van een materiaal bepaalt mee de eigenschappen van het materiaal. Het bestuderen van de eigenschappen van een nieuwe soort materialen leidde daarom ook al tot nieuwe toepassingen. Omdat ze niet-periodisch zijn, zijn het ook slechte geleiders voor warmte en elektriciteit. Dat maakt ze dan weer heel geschikt als isolatoren.[br]De niet-regelmatige vlakvullingen op basis van vijfvoudige symmetrie die Roger Penrose creëerde leken enkel leuk wiskundig speelgoed, tot men ze dus ook in de kristallografie terugvond. In volgende afbeelding van een zilver-aluminium quasikristal merk je duidelijk de gelijkenis met de niet-regelmatige Penrose betegelingen.
links
[url=https://www.tijdschriftkarakter.be/verboden-symmetrie-in-kristallen]https://www.tijdschriftkarakter.be/verboden-symmetrie-in-kristallen[/url][br][url=https://scheikundejongens.nl/2011/10/nobelprijs-van-de-scheikunde-naar-quasi-kristallen]https://scheikundejongens.nl/2011/10/nobelprijs-van-de-scheikunde-naar-quasi-kristallen[/url][br][url=https://www.scientias.nl/vreemd-quasikristal-komt-uit-de-ruimte]https://www.scientias.nl/vreemd-quasikristal-komt-uit-de-ruimte[/url][br][url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Quasikristal]https://nl.wikipedia.org/wiki/Quasikristal[/url][br][br][br]
– chris cambré

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

8.7.

–

8.8.

–

8.9.

–

8.10.

–

8.11.

–

8.12.

–

8.13.

–

8.14.

–

Information