Libro de Cónicas
cónicas para los alumnos de 111C1
Table of Contents
- Intersección Cono
- Cónicas como intersección de cono y plano
- 01ConicasVisual
- Cónicas como resultado de cortes con un plano
- Por Distancia
- Hipérbola: Definición por distancias
- Parábola: Definición por distancia
- Elipse: Definición por distancias
- Cónicas: Resumen
- Producto Distancias a rectas
- Elipse e Hipérbola por suma-diferencia de distancias
- Por Pendientes
- Cónicas por pendiente
- Razón de distancias
- Parábola: mediante razón de distancias
- Elipse: mediante razón de distancia
- Hipérbola: mediante razón de distancia
- Parábola 2: mediante razón de distancias
- Resumen Cónicas en forma polar
- Propiedades
- Elipse: Propiedad 1
- Parábola: Propiedad 1
- Propiedad del foco en la parábola
- Paramétrico
- Cónicas mediante parámetro
- Construcciones
- Una construcción de la elipse
- Problemas derivados
- Ángulos que forman tres varillas iguales
- Regladas
- Hipérbola y Elipse mediante rectas
- Otras definiciones
- Elipses a partir de circunferencias y segmentos
- Circunferencia no centrada en el origen
Cónicas como intersección de cono y plano
arriba a la izquierda se ve en verdadera magnitud el corte del cono por el plano
Puedes mover el cono.[br] El deslizador negro sitúa el cono más arriba o abajo, mientras que el otro, lo inclina.[br] El cono tiene una apertura de 30 grados: por lo que si lo inclinas 30º, el plano queda paralelo a una generatriz del cono.
Hipérbola: Definición por distancias
Nuevamente las distancias son [math]\rho_1\equiv\vec{F'P}[/math] (si estamos en la rama de la derecha) y [math]\rho_2[/math], pero no son iguales. Sin embargo la circunferencia marrón nos dice que algo se mantiene igual...[br][br]1 - Para mas sencillez, adopta un par de ejes con origen en E[br]2 - Descubre la relación de distancias igual a una constante[br]3 - Descubre cuál es la constante, poniendo P en el lugar de V[br]4 - Deduce la ecuación de la hipérbola para ese par de ejes.
Cónicas por pendiente
Puedes mover P, un punto de la gráfica de la cual se ve la ecuación a la derecha y casi al final.[br]Se ven las pendientes y su producto (más abajo)[br][br]Puedes mover el deslizador (k) para crear otra figura, y mover A, para cambiarle algunas características.[br]Experimenta[br]Vuelve a intentar hacer el ejercicio del libro que te trajo aquí
Verifica que también puede definirse las cónicas mediante el producto de pendientes a los vértices.
Crea tu propia versión de la siguiente forma:
1 - define los focos[br]2 - define un punto (puede ser un vértice)[br]3 - con la herramienta de cónica, traza la cónica. [br] con el comando Vértice, halla los vértices que están en el eje focal.[br]4 - define un punto P del lugar geométrico[br]5 - Define los segmentos desde ese punto [br] define las pendientes (con la herramienta Pendiente)[br]6 - haz el producto de pendientes, y mueve el punto P[br]7 - Modifica (1), (2) y (3) para lograr otras cónicas y repide desde (4) a (6)
Parábola: mediante razón de distancias
La recta directriz corta el eje X en el punto opuesto a F. Puedes ubicar solamente F, y luego mover P
Es evidente que la excentricidad e=1 en este caso.
¿Cuál sería la razón que usas para deducir la ecuación de la parábola?
Deduce la ecuación de la parábola
Pregunta
¿Cuál es la ecución de esa parábola? (toma por ahora f con su signo, con lo cual f no está siendo la distancia focal sino la abscisa del foco)
Deduce
Halla la ecuación para la parábola de eje focal horizontal, teniendo en cuenta que f es la distancia focal, los parámetros de la ecuación tienen que ser las coordenadas del vértice y la distancia focal. Si el foco está a la izquierda de la directriz, se debe considerar en la ecuación
Elipse: Propiedad 1
Muy probablemente lo haya copiado solamente del aporte de otro.[br]Únicamente he cambiado cuestiones estéticas. Lamentablemente no registré el autor[br][br]La propiedad es que si se lanza un haz desde un foco en la parte derecha, todos los rayos van a incidir en el foco de la izquierda. [br][br]Si tienes media elipse, el foco de la derecha es el foco de emisión y el foco de la izquierda podría estar apuntando a un cálculo nefrítico o biliar. Y el haz es un láser. Por tanto puede destruir la piedra... o eliminar el material de donde crecen los vellos...
Cónicas mediante parámetro
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Vemos que se puede describir las cónicas en forma paramétrica: Con el deslizador marrón eliges qué cónica usar y con el deslizador verde, el [color=#0a971e]parámetro[/color]. Puedes experimentar moviendo el centro/Vértice [color=#c51414]E[/color] , y/o los semiejes/foco ([color=#1551b5]A[/color],[color=#1551b5]B[/color]) que correspondan. En la ventana gráfica 2, se muestra cómo luce la ecuación paramétrica. La ventana algebraica muestra las definiciones. Puedes cambiar las propiedades para que muestre los valores. |
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Escribe las distintas ecuaciones de las cónicas mediante parámetro, interpreta qué es cada parámetro. ¿Porqué las elipses las tratamos una sola vez mientras que para el caso de las hipérbolas tuvo que hacerse dos escenarios? ¿Puedes deducir ahora (sin acordarte de la ecuación paramétrica correspondiente) las ecuaciones de la circunferencia, elipse e hipérbola a partir de la relación de pitágoras de un triángulo rectángulo con un extremo en el centro y otro en la circunferencia unitaria? Haz un informe de la experiencia, y de las tres preguntas. Informa detalladamente la tercera. |
Una construcción de la elipse
Construcción de la elipse (1de 2)[br][br]Debería poder poner el protocolo de la construcción... pero [br][br]Se ubican A y B, los semiejes de la elipse, y sus reflejos A' y B'[br]Se calcula el radio F de la circunferencia celeste O(0,0)==C, sqrt(abs(a^2-b^2))[br]P es de exploración entre A y -A[br]las circunferencias f y e tienen radios AP y A'P [br]éstas se cortan en D formando un punto de la elipse[br][br]Delta-g y Delta-f son las pendientes de los segmentos g y d respectivamente
La pregunta es ¿qué onda con el producto de pendientes?
Ángulos que forman tres varillas iguales
Se trata de diseñar 3 varillas de la misma longitud, cuando se conoce que:[br][list][*]las tres varillas tienen la misma longitud[/*][*]el centro de la segunda varilla está en el centro de la figura[/*][*]La longitud de extremo a extremo es 3L[br][/*][/list]
La longitud de cada varilla es L.[br]¿Cómo calculas los ángulos posibles?
Hipérbola y Elipse mediante rectas
Se dibuja una hipérbola o elipse por aproximación (deslizador negro).[br]El deslizador verde mueve un punto sobre la circunferencia.[br]A partir de él se traza una recta normal al segmento definido por el foco y ese punto.[br]
Elipses a partir de circunferencias y segmentos
El deslizador verde indica un ángulo: el del centro de la circunferencia móvil.[br]El deslizador gris modifica el radio de ambas.[br]El deslizador celeste estira o encoge el segmento del radio.[br]El deslizador vertical te permite ver los pasos, puedes subirlo despacio para ver todas las opciones
Necesitamos que implementes lo siguiente[br]Una construcción igual, pero que [br][list][*]el radio se maneje desde un punto de la circunferencia sobre la que se mueve la segunda circunferencia, desde radio R =1 hasta 5[/*][*]que la circunferencia movil "rote en el sentido contrario" al actual (si se puede)[/*][*]que para mover el punto que produce la primera elipse, se paren las rotaciones y se proceda a "estirar" o a "acortar" visualmente el punto, entre 0.5 R y 3 R[/*][*]no exista la posibilidad de girar las elipses[/*][/list][br]También, que contestes qué pasaría si[br][list][*]la velocidad de rotación de la circunferencia sea el doble que la velocidad a la que rota su centro alrededor del origen[/*][*]la velocidad de rotación de la circunferencia sea la mitad de la velocidad a la que rota su centro alrededor del origen[br][/*][/list]Necesitamos una descripción previa de como funciona, y como obtienes analíticamente las ecuaciones paramétricas.