0

triangle centers

chris cambré, Jan 14, 2018

In this book you can learn about some well and less known triangle centers and their coordinates The position of remarkable points in a triangle can be defined relative to the vertices of the triangle by its barycentric coordinates. In a triangle one can identify more remarkable points, called triangle centers. On list of triangle centers you can find the best known. The American mathematician Clark Kimberling indexed more than 10 000 points, identified by their Kimberling number. You can find this index online in the encyclopedia of triangle centers. For every point you can find its barycentric coordinates. If you know the Kimberling number of one of this points, you can draw it directly in GeoGebra with the command TriangleCenter( Point , Point, Point, Number ) in which you can type the coordinates or the names of the vertices of a triangle and the Kimberling number of the point up to number 2999. The point with Kimberling number n is written as X(n). In this book you can find applets of all the triangle centers from X(1) up to X(100). This give you an impression of how it's possible to define so many triangle centers, starting just from three points, defining a triangle. Many centers are the result of mathematical operations on earlier defined centers or combinations of some of them. An easy way is calculating e.g. the midpoint of earlier centers. Another way is to costruct triangle centers not of the referention triangle but e.g. to the orthic triangle of it. The interesting thing here is examine if this leads to interesting coordinates. Having passed X(100) we'll make just a selection of the numerous triangle centers in the list, because of their interesting construction or their name. In dit boek kom je meer te weten over een aantal driehoekscentra en hun coördinaten. De positie van een merkwaardig punt in een driehoek kan je beschrijven t.o.v. de hoekpunten van deze driehoek. We spreken dan van barycentrische coördinaten. Meer over barycentrische coördinaten vind je in het boek barycentrische coördinaten. In een driehoek kan je natuurlijk heel wat merkwaardige punten aanduiden. Deze punten noemt met driehoekscentra. Op lijst van driehoekscentra vind je een lijst van de meest bekende. De Amerikaanse wiskundige Clark Kimberling gaf meer dan 10 000 punten elk een eigen inventarisnummer: het Kimberling getal. Je vindt deze inventaris online als de encyclopedie van driehoekscentra. Voor elk van deze merkwaardige punten vind je ook zijn barycentrische coördinaten. Ken je het Kimberling getal van een van deze punten, dan kan je het rechtstreeks in GeoGebra bepalen met het commando Driehoekscentrum( Punt , Punt, Punt, Getal ) waarin je het de coördinaten of de namen van de hoekpunten van de driehoek invult en het Kimberling getal van het punt, tot het nummer 2999. Het punt met Kimberling getal n noteer je ook als X(n). In dit boek vind je applets van alle driehoekscentra van X(1) tot X(100). Zo krijg je een indruk van hoe het mogelijk is om zoveel centra te definiëren, startend vanuit enkel drie hoekpunten. Vele driehoekscentra zijn het resultaat van mathematische operaties op vroeger gedefinieerde centra of maken combinaties van enkele. Een gemakkelijke manier om nieuwe centra te vinden is het midden berekenen van bestaande centra. Een andere manier is gekende centra niet toe te passen op de referentiedriehoek, maar b.v. op de hoogtedriehoek (de driehoek gevormd door de voetpunten van de hoogtelijnen). Het boeiende hier is te onderzoeken of dit ook interessante coördinaten oplevert. Eens X(100) gepasseerd, maken we een selectie uit de lijst, op basis van een interessante constructie of naam.

Information

1.

X(1) - X(25)

The first triangle centers are commonly known: incenter, centroid, circumcenter and orthocenter. And up to X(20) well-known constructions as tangents, medians and bisectors are used to define new centers.

1. X(1) Incenter
2. X(2) Centroid
3. X(3) Circumcenter
4. X(4) Orthocenter
5. X(5) Nine-point center
6. X(6) Lemoine point
7. X(7) Gergonne point
8. X(8) Nagel point
9. X(9) Mittenpunkt
10. X(10) Spieker center
11. X(11) Feuerbach center
12. X(12) Harmonic conjugate of X(11)
13. X(13) Fermat point
14. X(14) Second isogonic center
15. X(15) and X(16) Isodynamic points
16. X(17) 1st Napoleon point
17. X(18) 2nd Napoleon point
18. X(19) Clawson point
19. X(20) De Longchamps point
20. X21 Schiffler point
21. X(22) Exeter point
22. X(23) Far-out point
23. X(24) perspector of ABC and ortic-of-orthic triangle
24. X(25) homothetic center of orthic and tangential triangle

1.1.

X(1) Incenter

Incenter of a triangle

The incenter of a triangle is the point where the internal angle bisectors of the triangle cross. It's also the midpoint of the incircle. The barycentric coordinates of the incenter depend on the lengths of the sides of the triangle.

middelpunt van de ingeschreven cirkel

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is het punt waar de bissectrices van de drie hoeken van de driehoek elkaar snijden. De barycentrische coördinaten van dit punt worden bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

1.17.

1.18.

1.19.

1.20.

1.21.

1.22.

1.23.

1.24.

2.

X(26) - X(54)

Further in the list less-known constructions and mathematical concepts are used in definitions and/or coordinates like Ceva point, Brocard angle and infinity point of a line. Verder in de lijst worden minder bekende constructies en wiskundige begrippen gebruikt in definities en coördinaten, zoals Ceva punt, Brocard hoek en oneigenlijke punt van een rechte.

1. X(26) Circumcenter of the tangential triangle
2. X(27) Cevapoint of orthocenter and Clawson center
3. X(28) Cevapoint of X(19) and X(25)
4. X(29) Cevapoint of incenter X(1) and orthocenter X(4)
5. X(30) Euler infinity point
6. X(31) 2nd power point
7. X(32) 3rd power point
8. X(33) Perspector of the orthic and intangents triangles
9. X(34) X(4) beth-conjugate of X(4)
10. X(35) {X(1),X(3)}-harmonic conjugate of X(36)
11. X(36) Inverse-in-circumcircle of incenter
12. X(37) Bisectors and centroids
13. X(38) {X(1),X(63)}-harmonic conjugate of X(31)
14. Brocard points
15. 2nd Brocard point
16. X(39) Brocard midpoint
17. X(40) Bevan point
18. X(41) X(6)-Ceva conjugate of X(31)
19. X(42) Crosspoint of incenter and symmedian point
20. X(43) X(6)- conjugate of X(1)
21. X(44) X(6)-line conjugate of X(1)
22. X(45) X(9)-beth conjugate of X(1)
23. X(46) X(4)-Ceva conjugate of X(1)
24. X(47) X(110)-beth conjugate of X(34)
25. X(48) Crosspoint of X(1) and X(63)
26. X(49) Center of sine-triple-angle circle
27. X(50) Barycentric product of X(15) and X(16)
28. X(51) centroid of orthic triangle
29. X(52) orthocenter of orthic triangle
30. X(53) Symmedian point of orthic triangle
31. X(54) Kosnita point

2.1.

X(26) Circumcenter of the tangential triangle

circumcenter of the tangential triangle

The triangle center X(26) is constructed as follows:

Construct the circumcircle of the triangle ABC.
Construct the tangents of the circumcircle in the verticles A, B, and C.
Define the intersections A', B' and C' of these tangents and draw the tangential triangle A'B'C'.
Draw the circumcircle of the tangential triangle.
Define the center of the circumcircle of the tangential triangle.

The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle as well as on the angles of the triangle.

middelpunt van de omgeschreven cirkel van de rakende driehoek

Het driehoekscentrum X(26) construeer je als vogt:

Construeer de omgeschreven cirkel van de driehoek ABC
Construeer de raaklijnen aan de omgeschreven cirkel in de hoekpunten A, B en C.
Bepaal de snijpunten A', B' en C' van deze raaklijnen en teken de rakende driehoek A'B'C'.
Teken de omgeschreven cirkel van de rakende driehoek.
Bepaal het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de rakende driehoek.

De barycentrische coördinaten van dit punt worden zowel bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek als door de hoeken van de driehoek.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

2.31.

3.

X(55) - X(97) isogonal conjugates

The triangle centers X(55) - X(97) are isogonal conjugates of other already defined triangle centers. They can be constructed by reflections about the bisectors. De driehoekscentra X(55) - X(97) zijn isogonale toegevoegden van voordien reeds gedefinieerde driehoekscentra. Je kunt ze construeren door spiegelingen t.o.v. de bissectrices.

1. Isogonal conjugate of a point
2. X(55) Insimilicenter(circumcircle, incircle)
3. X(56) Exsimilicenter(circumcircle, incircle)
4. X(57) Isogonal conjugate of X(9)
5. X(58) Isogonal conjugate of X(10)
6. X(59) Isogonal conjugate of X(11)
7. X(60) Isogonal conjugate of X(12)
8. X(61) Isogonal conjugate of X(17)
9. X(62) Isogonal conjugate of X(18)
10. X(63) Isogonal conjugate of X(19)
11. X(64) Isogonal conjugate of X(20)
12. X(65) Isogonal conjugate of X(21)
13. X(66) Isogonal conjugate of X(22)
14. X(67) Isogonal conjugate of X(23)
15. X(68) Prasolov point
16. X(69) Isogonal conjugate of X(25)
17. X(70) Isogonal conjugate of X(26)
18. X(71) Isogonal conjugate of X(27)
19. X(72) Isogonal conjugate of X(28)
20. X(73) Isogonal conjugate of X(29)
21. X(74) Isogonal conjugate of X(30)
22. X(75) Isogonal conjugate of X(31)
23. X(76) Isogonal conjugate of X(32)
24. X(77) Isogonal conjugate of X(33)
25. X(78) Isogonal conjugate of X(34)
26. X(79) Isogonal conjugate of X(35)
27. X(80) Isogonal conjugate of X(36)
28. X(81) Isogonal conjugate of X(36)
29. X(82) isogonal conjugate of X(38)
30. X(83) Isogonal conjugate of X(39)
31. X(84) Isogonal conjugate of X(40)
32. X(85) Isogonal conjugate of X(41)
33. X(86) Isogonal conjugate of X(42)
34. X(87) Isogonal conjugate of X(43)
35. X(88) Isogonal conjugate of X(44)
36. X(89) Isogonal conjugate of X(45)
37. X(90) Isogonal conjugate of X(46)
38. X(91) Isogonal conjugate of X(47)
39. X(92) Isogonal conjugate of X(48)
40. X(93) Isogonal conjugate of X(49)
41. X(94) Isogonal conjugate of X(50)
42. X(95) Isogonal conjugate of X(51)
43. X(96) Isogonal conjugate of X(52)
44. X(97) Isogonal conjugate of X(53)

3.1.

Isogonal conjugate of a point

isogonal conjugate of a point

P is a free point whithin the triangle ABC. The isogonal conjugate of P is constructed as follows:

Construct the bisectors of the triangle.
Construct the lines AP, BP, and CP.
Construct the reflections of these lines about the bisectors in the same vertex.
These lines cross at P', the isogonal conjugate of P.

isogonale toegevoegde van een punt

P is een vrij punt binnen de driehoek ABC. De isogonale toegevoegde van P construeer je als volgt:

Construeer de bissectrices van de driehoek.
Construeer de lijnen AP, BP en CP.
Construeer de spiegelbeelden van deze lijnen t.o.v. de bissectrices vanuit hetzelfde hoekpunt.
Deze lijnen snijden elkaar in P', het isogonale toegevoegde van P.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.

3.31.

3.32.

3.33.

3.34.

3.35.

3.36.

3.37.

3.38.

3.39.

3.40.

3.41.

3.42.

3.43.

3.44.

4.

selection up to X(999)

From X(98) to X(999) we'll pick up just a tiny selection of points that are geometrically more interesting than the many triangle centers that are the result of aritmical operations but raise little wonder or admiration when shown in an applet.

1. X(98) Tarry point
2. X(99) Steiner point
3. X(100) anticomplement of Feuerbach point
4. X(110) Focus of the Kiepert parabola
5. Kiepert parabola
6. X(111) Parry point
7. X(115) Center of Kiepert hyperbola
8. Center of Kiepert hyperbola
9. X(125) Center of Jerabek hyperbola
10. X(175) Isoperimetric point
11. X(176) Equal Detour point
12. X(177) 1st mid-arc point
13. X(178) 2nd mid-arc point
14. Malfatti circles
15. X(179) 1st Ajima-Malfatti point
16. X(180) 2nd Ajima-Malfatti point
17. X(181) Apollonius point
18. X(182) Midpoint of Brocard diameter
19. X(351) Center of Parry circle
20. X(354) Weill point
21. X(355) Fuhrmann center
22. X(356) Morley center
23. X(357) 1st Morley-Taylor-Marr center
24. X(358) 2nd Morley-Taylor-Marr center
25. X(364) Wabash center
26. X(365) square root point
27. X(366) isogonal conjugate of X(365)
28. X(371) Kenmotu point
29. X(372) 2nd congruent squares point
30. X(373) Centroid of the pedal triangle of the centroid
31. X(389) Center of the Taylor circle
32. X(399) Parry reflection point
33. X(476) Tixier point
34. X(481) 1st Eppstein point
35. X(482) 2nd Eppstein point
36. X(483) Radical center of the Ajima-Malfatti circles
37. X(485) Vecten point
38. X(486) Inner Vecten point
39. X(493) 1st Van Lamoen homothetic center
40. X(495) Johnson midpoint
41. X(560) 4th power point
42. X(962) Longuet-Higgins point
43. X(970) Center of the Apollonius circle

4.1.

X(98) Tarry point

Tarry point

The construction of the Tarry point P, triangle center X(98) starts from the first Brocard triangle DEF of the triangle ABC. This triangle is constructed as follows:

Draw the lines from all verteces to the two Brocard points of ABC (Br₁ and Br₂).
The Brocard triangle DEF is formed by intersections of combinations of two of these lines. (every time a pink and a violet one)

Now out of the verteces A, B, and C draw perpendicular lines to the extended sides of the Brocard triangle. These (red) perpendicular lines intersect in P, the Brocard point. The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle.

punt van Tarry

De constructie van P, driehoekscentrum X(98), het punt van - Tarry, start vanuit de eerste Brocard driehoek DEF van driehoek ABC. Deze driehoek construeer je als volgt:

Verbind A, B en C met de twee Brocard punten (Br₁ en Br₂).
De Brocard driehoek DEF wordt gevormd door de snijpunten van combinaties van twee van deze rechten (telkens een roze en een paarse).

Teken nu vanuit de hoekpunten A, B en C loodrechten op de verlengde zijden van de Brocard triangle. Deze (rode) loodrechten snijden elkaar in P, het punt van Brocard. De barycentrische coördinaten van dit punt worden bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29.

4.30.

4.31.

4.32.

4.33.

4.34.

4.35.

4.36.

4.37.

4.38.

4.39.

4.40.

4.41.

4.42.

4.43.

5.

beyond X(1000)

The down to earth world of creative geometricians, experimenting with constructions in triangles has made room for the cosmic computerworld. The triangle centers are merely aritmetic creations. Between them a nice sparkling star attracks our attention. De vertrouwde wereld van creatieve meetkundigen, experimenterend met constructies in driehoeken heeft nu plaats gemaakt voor een Kosmische computerwereld. De meeste driehoekscentra zijn rekenkundige vindsels. Maar hier en daar trekt een fonkelende ster onze aandacht.

5.1.

X(1066) Hastings point

Hastings point

Of course I couldn't miss this triangle center, not because it's geometrically interesting, nor it is algebraicly, but the wink in name and number proves the cleverness of some mathematicians. For those who are not familiar with the history of western Europe, just search on '1066 Hastings'...

punt van Hastings

dit driehoekscentrum kon ik natuurlijk niet missen, ,iet omdat het meetkundig interessant is, noch omdat het algebraïsch interessant zou zijn, maar de knipoog in naam en nummer illustreert de spitsvondigheid van sommige wiskundigen. Ben je niet vertrouwd met de West-Europese geschiedenis, zoek dan eens op '1066 Hastings'...

0