Will man die Glieder der Folge (x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], x[sub]4[/sub], x[sub]5[/sub], ...) addieren, so ist das nur schrittweise möglich.[br][br]Die Werte[br]s[sub]1[/sub] = x[sub]1[/sub],[br]s[sub]2[/sub] = x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub],[br]s[sub]3[/sub] = x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub],[br]...[br]nennt man Partialsummen (Teilsummen).[br][br]Die Folge (s[sub]1[/sub], s[sub]2[/sub], s[sub]3[/sub], ... ) der Partialsummen nennt man eine unendliche Reihe.[br]Man verwendet dafür die Schreibweise x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub] + ...[br][br]

Die Reihe [b][color=#0000ff][size=150]4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...[/size][/color][/b] ist die Folge der Partialsummen[br][br]s[sub]1[/sub] = [color=#0000ff][b]4[/b][/color][br]s[sub]2[/sub] = 4 + 2 = [b][color=#0000ff]6[/color][/b][br]s[sub]3[/sub] = 4 + 2 + 1 = [b][color=#0000ff]7[/color][/b][br]s[sub]4[/sub] = 4 + 2 + 1 + 1/2 = [b][color=#0000ff]7 1/2[/color][/b][br]s[sub]5[/sub] = 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 = [b][color=#0000ff]7 3/4[/color][/b][br]...[br] [br]

Die Reihe [b][size=150]1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...[/size][/b] ist die Folge der Partialsummen[br][br]s[sub]1[/sub] = [color=#0000ff][b]1[/b][/color][br]s[sub]2[/sub] = 1 - 1 = [color=#0000ff][b]0[/b][/color][br]s[sub]3[/sub] = 1 - 1 + 1 = [color=#0000ff][b]1[/b][/color][br]s[sub]4[/sub] = 1 - 1 + 1 - 1 = [color=#0000ff][b]0[/b][/color][br]s[sub]5[/sub] = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = [color=#0000ff][b]1[/b][/color][br]...[br]

Die Folge der Partialsummen in Beispiel 1[br](4, 6, 7, 7 1/2, 7 3/4, ...) ist [b]konvergent[/b], ihr Grenzwert ist 8.[br]Man bezeichnet ihn als [b]Summe der Reihe[/b] und schreibt[br][br][b][color=#0000ff][size=150]4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 8[/size][/color][/b][br][br]Die Folge der Partialsummen in Beispiel 2[br](1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) ist [b]divergent[/b], sie hat keinen Grenzwert.[br]Die Reihe hat daher [b]keine Summe[/b].[br][br]Rechengesetze für algebraische Summen, wie zum Beispiel a - b + c = a - (b - c), können nicht ohne Einschränkung auf "unendliche Summen" verallgemeinert werden. [br]Die drei Lösungsvorschläge im Arbeitsblatt [color=#ff7700][i]Unendlich viele Summanden 2[/i][/color] sind falsch. Die Reihe hat gar keine Summe, man kann sie daher durch noch so geschickte Umformungen nicht berechnen.