Oft ist man bei der Untersuchung einer [b]Bestandsentwicklung[/b] nicht an einer mittleren Änderungsrate in einem Intervall interessiert. Wenn der Bestand z.B. eine [b]Populationsgröße[/b] beschreibt, dann will man eventuell nicht wissen, wie stark sich die Population in einem vorgegebenen Zeitraum verändert. Man möchte eventuell eine Aussage über die [b]aktuelle Wachstumsgeschwindigkeit[/b] der Population treffen. Für solche punktuellen Aussagen nutzt man die [color=#1e84cc][b]lokale Änderungsgeschwindigkeit[/b] [/color]– die auch[color=#1e84cc] [b]lokalen Änderungsrate[/b][/color] genannt wird.

Im Applet (GeoGebra Datei) unter der Aufgabe ist eine Bestandsentwicklung vom [b]Punkt P[/b] auf den [b]Punkt Q [/b]dargestellt. Bestimme die [b]mittlere Änderungsrate[/b] im betrachteten Intervall [math]x\in\text{[ 2; 3 ]}[/math] und begründe, warum dies noch [b]keine gute Abschätzung[/b] der [b][color=#1e84cc]momentanen Änderungsrate[/color][/b] an der Stelle [math]x_0=2[/math] liefert. [b](Siehe 1.Frage und 2.Frage)[/b]

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Verschiebe nun den [b]Punkt Q[/b] im untenstehenden Applet, so dass die[b] lokale Änderungsrate[/b] an der Stelle [math]x_0=2[/math] besser abgeschätzt werden kann und vergleiche diesen Wert mit der [b]mittleren Änderungsrate[/b] oben.

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Hat der Punkt [math]P[/math] die Koordinaten [math]P\left(x_0\text{|}f\left(x_0\right)\right)[/math] und der Punkt [math]Q[/math] die Koordinaten [math]Q\left(x_0+h\text{|}f\left(x_0\right)+h\right)[/math] , so gilt für die [color=#00ff00][b]mittlere Änderungsrate [math]m_{_{_s}}[/math]:[/b][/color][br][br][color=#ffffff]__________ _[/color][math]m_s=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+h-x_0}=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math] [b][color=#00ff00]Differenzenquotient (Sekantensteigung)[br][br][/color][/b]Für die [color=#1e84cc][b]momentane bzw. lokale Änderungsrate [/b][/color]ergibt sich mit der Annäherung von [math]x_0+h\longrightarrow x_0[/math] also der Annäherung von [math]h\longrightarrow0[/math] [b][color=#1e84cc]folgende Formel ([/color][math]h[/math][color=#1e84cc]-Methode):[br][br][/color][color=#ffffff]__________________________[/color][color=#ffffff]_[/color][math]m_t=^{lim_{h\rightarrow0}}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math][color=#1e84cc] Differentialquotient (Tangentensteigung)[br][br][/color][/b][b][br]Beziehungsweise:[/b][br]Für die [color=#1e84cc][b]momentane bzw. lokale Änderungsrate [/b][/color]ergibt sich mit der Annäherung von [math]x\rightarrow x_0[/math] [color=#1e84cc][b]folgende Formel ([math]x_0[/math]-Methode):[/b][/color][br][b][b][color=#ffffff]_________________________[/color][math]m_t=^{lim_{x\rightarrow x_0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math][color=#1e84cc][b] Differentialquotient (Tangentensteigung)[br][br][br][/b][/color][/b][/b][b]E[/b][color=#1e84cc][b][color=#000000]xistiert [/color][/b][color=#000000]der [b]Grenzwert [math]m_t[/math] [/b]von f an der Stelle [math]x_0[/math], so bezeichnet man ihn als [/color][b]Ableitung von f an der Stelle [math]x_0[/math]. [/b][/color]Die [b]Gerade[/b] durch den Punkt [math]P[/math] mit der [b]Steigung[/b] [math]m_t=f'\left(x_0\right)[/math] heißt [color=#1e84cc][b]Tangente an den Graphen[/b][/color] in [math]P[/math]. [color=#1e84cc][math][/math][/color]