[size=200][b]II. Mathematische Grundlagen[/b][br][math]\quad\quad[/math] Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus[/size]

Für die mathematische Beschreibung von Kettenlinien wird die Funktion Cosinus hyperbolicus benötigt.[br]Auf dieser Seite werden diese Funktion und einige ihrer Eigenschaften vorgestellt.[br]Die Anwendung der Funktion erfolgt im nächsten Kapitel.

Die Funktion [math]f\left(x\right)=\cosh\left(x\right)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/math] heißt Cosinus hyperbolicus.

Die Funktion [math]f\left(x\right)=\cosh\left(x\right)[/math] ist aufgrund der Definition symmetrisch zur y-Achse.[br]Ihr Graph ist einer Parabel ähnlich, lässt sich aber nicht exakt durch eine Parabel überdecken.[br]Der Definitionsbereich ist [math]\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}[/math].[br]Der Wertebereich ist [math]\mathbb{W}_{f}=\{y\in \mathbb{R}|y\ge 1\}[/math].

Aus der Definition ergibt sich mithilfe der Faktor-, Summen- und Kettenregel[br][math]f'(x)=\left(\frac{1}{2}\cdot\left(e^x + e^{-x}\right)\right)' =\frac{1}{2}\left(e^x - e^ {-x}\right)=[br]\sinh(x)[/math][br][math]f''(x)=\left(\frac{1}{2}\cdot\left(e^x - e^{-x}\right)\right)' =\frac{1}{2}\left(e^x + e^ {-x}\right)= \cosh(x)[/math][br]

Die Funktion [math]f'\left(x\right)=\sinh\left(x\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/math] heißt Sinus hyperbolicus.

Ableitungen[br][math][br]\begin {array}{l|l|l}[br]\text{ } & hyperbolische \; Fktn. & trigonometrische \; Fktn. \\[br]\hline[br]\text{ } & \boldsymbol{\cosh(x)} & \boldsymbol{ \cos(x)} \\[br]\hline[br]\text{1.Ableitung} & \sinh(x) & -\sin(x) \\[br]\hline[br]\text{2.Ableitung} & \cosh(x) & -\cos(x) \\[br]\hline[br]\text{3.Ableitung} & \sinh(x) & \sin(x) \\[br]\hline[br]\text{4.Ableitung} & \cosh(x) & \cos(x) \\[br]\end {array}[br][/math]

Beziehungen[br][math][br]\begin {array}{l|rl|rl}[br]\text{ } & hyperbolische & Funktionen. & trigonometrische & Funktionen. \\[br]\hline[br]{\rm (I)} [br] %% Die römische Gleichungsnummer soll nicht in kursiv erscheinen, deshalb \rm[br] %% Die Syntax von {\rm bla bla} ist anders als bei \mathrm{bla bla}[br] &\cosh^2(x) - \sinh^2(x ) &= 1 [br] & \cos^2(x) + \sin^2(x) &= 1 \\[br]{\rm (II)} [br] &\cosh(x \pm y) &= \cosh(x)\cosh(y) \pm \sinh(x)\sinh(y) [br] & \cos(\alpha \pm \beta) &= \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta) \\[br]{\rm (III)} [br] & \sinh(x \pm y) &= \sinh(x)\cosh(y) \pm \cosh(x)\sinh(y) [br] & \sin(\alpha \pm \beta) &= \sin(\alpha) \cos(\beta) \pm \cos(\alpha) \sin(\beta) \\[br]{\rm (IV)} [br] & \cosh(2x) &= \cosh^2(x)+\sinh^2(x) [br] & \cos(2x) &= \cos^2(x) - \sin^2(x)\\[br]{\rm (V)} [br] & \sinh(2x) &= 2 \cdot \sinh(x)\cdot\cosh(x) [br] & \sin(2x) &=2 \cdot \sin(x)\cdot \cos(x) \\[br]{\rm (VI)} [br] & -1 + \cosh(x) &= 2 \cdot \sinh^2\left(\frac{x}{2}\right) [br] & 1 + \cos(x) &=2 \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \\[br]\end {array}[br][/math]

Führt man [math]\sinh(x)[/math] und [math]\cosh(x)[/math] auf die Definition mit [math]e\small{-}[/math]Funktionen zurück, sind die Beweise für die Beziehungen zwischen den hyperbolischen Funktionen alle sehr einfach.[br][br][math][br]\begin{array}{lr}[br]\cosh(x) + \sinh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \;+\; \frac{e^x - e^{-x}}{2} = e^x &\quad \rm{(i)} \\[br]\cosh(x) - \sinh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \;-\; \frac{e^x - e^{-x}}{2} = e^{-x} &\quad \rm{(ii)} \\[br] & \\[br]\mathsf{\text{Einerseits gilt nach der 3. binomischen Formel}} & \quad \\[br]\left(\cosh(x)+\sinh(x)\right)\cdot \left(\cosh(x)-\sinh(x)\right)=\cosh^2(x) - \sinh^2(x) &\quad \rm{(iii)} \\[br] & \\[br]\mathsf{\text{Andererseits gilt nach }}\rm{(i)} \mathsf{\text{ und }}\rm{(ii)} & \quad \\[br]\left(\cosh(x)+\sinh(x)\right)\cdot \left(\cosh(x)-\sinh(x)\right)=e^x \cdot e^{-x} = 1 &\quad \rm{(iv)}\\[br] & \\[br]\mathsf{\text{Aus }}\rm{(iii)} \mathsf{ und }\rm{(iv)} \mathsf{\text{ folgt}} & \quad \\[br]\cosh^2(x) -\sinh^2(x) = 1 & \quad \mathsf{\text{ q.e.d.}}[br]\end{array}[br][/math][br]