Grenzwerte entdecken KS LF

Klaus Schmidt, Nov 25, 2020

Die faszinierende Welt der Grenzwerte

Table of Contents

  1. Arbeitsblatt Grenzwerte entdecken
    1. Arbeitsblatt zum selbst Erkunden
  2. Überprüfung der Lösungen (und fachlicher Hintergrund)
    1. Grenzwert einer Folge (Epsilon-Umgebung)
    2. Reihen und Grenzwerte
    3. Flächeninhalt eines Kreises angenähert durch Vielecke
    4. Achill und die Schildkröte
  3. Ausblick stetig differenzierbar
    1. MatheWelt 187_Aufgabe14b differenzierbare Funktion

1.

Arbeitsblatt Grenzwerte entdecken

Dauer: ca. 1-2 Unterrichtsstunden Erst im Anschluss zu den nachfolgenden Kapiteln springen und die eigenen Lösungen überprüfen.

  • 1. Arbeitsblatt zum selbst Erkunden

1.1.

Arbeitsblatt zum selbst Erkunden

Arbeitsblatt: Grenzwerte von Folgen und Reihen entdecken
– Klaus Schmidt

2.

Überprüfung der Lösungen (und fachlicher Hintergrund)

  • 1. Grenzwert einer Folge (Epsilon-Umgebung)
  • 2. Reihen und Grenzwerte
  • 3. Flächeninhalt eines Kreises angenähert durch Vielecke
  • 4. Achill und die Schildkröte

2.1.

Grenzwert einer Folge (Epsilon-Umgebung)

Das Applet zeigt eine Folge von Zahlen. Zusätzlich erkennst Du, ob die Folge einen Grenzwert a hat oder nicht.[br][color=#980000][i]Def.: Eine Folge besitzt genau dann einen Grenzwert, wenn es eine ε-Umgebung gibt, aus der alle Folgeglieder ab einem bestimmten n nicht mehr "ausbrechen" können.[br][/i][/color][br][b]Aufgaben[/b][br]1. Gib die verschiedenen Folgen vom Arbeitsblatt (Aufgabe 2) ein und überprüfe, ob die Folge einen Grenzwert besitzt. Vergleiche mit Deinen Ergebnissen.[br][br]2. Schaue Dir die ε-Umgebung einer Folge an (s. u.) und bestimme für eine Folge das Folgeglied (n), ab dem alle weiteren Folgeglieder darin liegen (ε =1; ε = 0,1; ε = 0,01).[br]Tipp: DU kannst das Verhältnis der Achen ändern, indem Du auf eine der Achsen mit dem Mauszeiger tippst und anschließend die rechte Maustaste drückst (xAchse : yAchse -> 5:1).[br][br]3. Gib eine andere Folge ein und wiederhole deine Beobachtungen.
Gib eine Regel an, wann eine Zahlenfolge einen Grenzwert besitzt.
– Klaus Schmidt, Andreas Lindner

2.2.

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2.3.

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2.4.

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3.

Ausblick stetig differenzierbar

linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten

  • 1. MatheWelt 187_Aufgabe14b differenzierbare Funktion

3.1.

MatheWelt 187_Aufgabe14b differenzierbare Funktion

Im Bild siehst Du den Graphen einer Funktion f mit "Knick"[br]Was bedeutet hier die Bezeichnung rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert?[br]Im rechten Bild kannst Du Dir die beiden Sekanten und Steigungsdreiecke anzeigen lassen. Verringere zunehmend den Wert für h und schildere Deine Beobachtungen kurz im Heft.[br]Wähle für A andere Werte (ziehe ihn auf dem Graphen entlang) und verfahre wie oben.[br]Welchen Einfluss haben die Parameter a und b?[br]Für welche Werte von a und b ist f an der Stelle x = 1 differenzierbar?
H.-J. Elschenbroich, G. Seebach: Funktionen unter der Lupe – MatheWelt © Friedrich Verlag GmbH 2014
– Klaus Schmidt, A. Hilgers

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