[b][size=150]＜三角比の和差による＞[br]上の画像で図形を確認しよう。[br][/size][/b][color=#0000ff]・和の正弦公式を作る[br][/color]点OにA、Bがあつまるように直角三角形を3つかく。[br]△OPQは角O＝Aで、Pが直角。△OQRは角O＝Bで、角Qが直角。△ORSは角O＝A＋Bで、角Sが直角。[br]点Qから辺RSにおろした垂線の足をTとすると、TSPQが長方形になり、[br]Aをもつ△OPQと相似な三角形が他に３つできる。特に△QRTを利用する。[br]AとBが鋭角で、和が90未満の場合は上の図によって証明できる。[br]sin(A+B)=RS/OR=[math]\frac{a+c}{e}=\frac{a}{e}+\frac{c}{e}=\frac{a}{d}\cdot\frac{d}{e}+\frac{c}{b}\cdot\frac{b}{e}=sinAcosB+cosAsinB[/math][br]・のこりの公式[br][color=#0000ff]和の正弦、差の正弦、和の余弦、差の余弦の４つは、１つがわかると他も出せる。[/color][br]sin(A−B)=sin(A+(-B))=sinAcos(-B)+cosAsin(-B)=[math]sinAcosB-cosAsinB[/math][br]cos(A+B)=OS/OR=[math]\frac{f-g}{e}=\frac{f}{e}-\frac{g}{e}=\frac{f}{d}\cdot\frac{d}{e}-\frac{g}{b}\cdot\frac{b}{e}=cosAcosB-sinAsinB[/math][br]または、cos(A+B)=sin(90°-(A+B))=sin((90°-A)+(-B))[br]=[math]sin\left(90^\circ-A\right)cos\left(-B\right)+cos\left(90^\circ-A\right)sin\left(-B\right)=cosAcosB-sinAsinB[/math][br]cos(A-B)=cos(A+(-B))=cosAcos(-B)-sinAsin(-B)=[math]cosAcosB+sinAsinB[/math][br][br][b][size=150]＜単位円で余弦定理＞[br][/size][size=150]自分で図をかいて、自分で計算して確認しよう。[br][/size][/b]・[color=#0000ff]差の余弦公式を作る[/color][br]２点P(cosA,sinA),Q(cosB,sinB)を単位円上にとる。角POQ=A-B＞０でπ未満のとき、[br]△POQで余弦定理を使うと、[br]cos(A-B)=(OP²＋OQ²ーPQ²)/(2･OP･OQ）[br]=[math]\frac{\left(1+1-\left(\left(cosA-cosB\right)^2+\left(sinA-sinB\right)^2\right)\right)}{2\cdot1\cdot1}=\frac{\left(2-\left(1+1-2\left(cosAcosB+sinAsinB\right)\right)\right)}{2}[/math][br][math]=cosAcosB+sinAsinB[/math][br]角POQがπをこえるとき、cosPOQ＜０になり、２πーPOQはπをこえず、[br]cos(２πーPOQ）＝cosPOQだから、上記と同様。[br][br]・のこりの公式は上と同じように出せるね。[br][br][b][size=150]＜単位円×三角比の和差＞[br]冒頭のアプレットで確認しよう。[br][/size][/b]単位円Oで、角POQ＝B、角QOR＝Aとする。[br]斜辺OR＝１とすると、直角三角形ORQで、OQ＝cosA,QR=sinA。[br]直角三角形OPQで、０P＝cosAcosB,PQ=cosAsinB。[br]斜辺RQの直角三角形QRSを角RQC=Bとなるように、PSを直線にする。[br]CQ=sinAcosB,RS=sinAsinB。[br]すると、[br]sin(A+B)=点Rのｙ座標＝sin(A+B)=SQ+QP=sinAcosB+cosAsinB[br]cos(A+B)＝点Rのｘ座標＝OP-RS=cosAcosB-sinAsinB[br]

[b][size=100][size=150]簡単のためにsinAをsA,cosAをｃA,tanAをtAとかくことにします。[br][br]＜和の正弦・余弦・正接＞[/size][/size][/b][br][color=#0000ff][b][size=150]s(A+B)=sAcB+cAsB（スコ＋コス）[br]c(A+B)=cAcB-sAsB（ココースス）[br]t(A+B)=(tA+tB)/(1-tAtB)[math]=\frac{tA+tB}{1-tAtB}[/math]（和／1-積）[br][/size][/b][/color][size=100][b]＜差の正弦・余弦・正接＞（符号が和と逆になる。）[br][/b][/size]s(A[color=#0000ff]-B[/color])=sAc(-B)+cA[u]s[/u][color=#0000ff](-B)=s[/color]AcB[color=#0000ff]-c[/color]AsB（スコーコス）[br]c(A[size=150][color=#0000ff]-B[/color][/size])=cAc[size=150](-B)[/size]-sA[u]s[/u][size=150][color=#0000ff](-B)[/color][/size]=cAcB+sAsB（ココ＋スス）[br]t(A[size=150][size=100][size=150][color=#0000ff]-B[/color][/size][/size][/size])=(tA+[u]t[/u][size=150][color=#0000ff](-B)[/color][/size])/(1-tA[u]t[/u][size=150][color=#0000ff](-B)[/color][/size])=[size=150](tA-tB)/(1+tAtB)=[math]\frac{tA-tB}{1+tAtB}[/math]（差／1+積）[br]以下の[color=#0000ff][b]積和公式、和積公式[/b][/color]は上記の和と差の加法定理を[/size][b][size=150]ペアにして[br]＋ーが消し合う関係性[/size][/b][size=150]として覚えていれば自然に導かれる。[br][br][b]＜積→和＞[/b][br][size=150][size=100]s(A+B)＋s(A[color=#0000ff]-B[/color])=2[size=150]sAcBになる。だから、[/size][/size][size=150][b]sAcB=1/2([b]s(A+B)＋s(A[color=#0000ff]-B[/color]))。[br][/b][/b][size=150][size=100]s(A+B)ーs(A[color=#0000ff]-B[/color])=2c[size=150]AsBになる。だから、[/size][/size][size=150][b]cAsB=1/2([b]s(A+B)ーs(A[color=#0000ff]-B[/color]))。[br][/b][/b][/size][/size][size=150][size=100]c(A+B)＋c(A[color=#0000ff]-B[/color])=2c[size=150]AcBになる。だから、[/size][/size][size=150][b]cAcB=1/2(c[b](A+B)＋c(A[color=#0000ff]-B[/color]))。[br][/b][/b][/size][/size][size=150][size=100]c(A+B) ーc(A[color=#0000ff]-B[/color])=-2s[size=150]AsBになる。だから、[/size][/size][size=150][b]sAsB=-1/2(s(A+B)ーs(A[/b][color=#0000ff]-B[/color][b]))。[br]＜和→積＞[br][/b][size=150][size=100]A+B=P,A-B=Qとすると、A＝(P+Q)/2, B=(P-Q)/2[br]s(A+B)＋s(A[color=#0000ff]-B[/color])=2[size=150]sAcBになる。だから、[/size][/size][size=150][b]s(P)＋s(Q)=2[size=150]s(P+Q)/2 c(P-Q)/2[/size][/b]。[br][size=150][size=100]s(A+B)ーs(A[color=#0000ff]-B[/color])=2c[size=150]AsBになる。だから、[/size][/size][size=150][b]s(P)ーs(Q)=2c[size=150](P+Q)/2 s(P-Q)/2[/size][/b]。[br][/size][/size][size=150][size=100]c(A+B)＋c(A[color=#0000ff]-B[/color])=2c[size=150]AcBになる。だから、[/size][/size][size=150][b]c(P)＋c(Q)=2c[size=150](P+Q)/2 c(P-Q)/2[/size][/b]。[br][/size][/size][size=150][size=100]c(A+B)ーc(A[color=#0000ff]-B[/color])=-2s[size=150]AsB[/size][size=150]になる。だから、[/size][/size][size=150][b]c(P)ーc(Q)=-2s[size=150](P+Q)/2 s(P-Q)/2[/size][/b]。[/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][/size][br][/size][color=#0000ff]（例)[/color][br]sin15°[math]=sin(45-30)^\circ=sin45^\circ cos30^\circ-cos45^\circ sin30^\circ[/math]=[math]\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}[/math]=[math]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/math][br]sin15°[math]=sin(60-45)^\circ=sin60^\circ cos45^\circ-cos60^\circ sin45^\circ[/math]=[math]\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]=[math]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/math][br]cos15°[math]=cos(60-45)^{\circ}=cos60^{\circ}cos45^{\circ}+sin60^{\circ}sin45^{\circ}[/math]=[math]\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]=[math]\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/math][br]sin75°=sin(90-15)°=cos15°=[math]\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/math]。cos75°=sin15°=[math]\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/math][br][size=150][color=#0000ff]（例）[/color]y=1/5x+1とy=2x+1の作る角θのtanθは？[br][math]\frac{\frac{1}{5}-2}{1+\frac{1}{5}\cdot2}=\frac{\frac{-9}{7}}{2}=\frac{-18}{7}[/math][/size][br][color=#0000ff]（例）[/color]「三角形ABCでsin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCが成り立つ」の理由は？[br]　A+B=180-Cなので、sin(A+B)=sinC, cosC=cos(180-(A+B))=-cos(A+B)の置き換えができる。[br]　サインの和積と置き換えから、sin2A+sin2B=2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcos(A-B)[br]　サインの加法と置き換えから、sin2C=2sinCcosC=2sinC(-cos(A+B))[br]　左辺＝2sinC(cos(A-B)-cos(A+B))=...(展開整理）...=2sinC・2sinAsinB=右辺[br][color=#0000ff]（例）[/color]「三角形ABCでsinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2が成り立つ」の理由は？[br]　A+B=180-Cから(A+B)/2=90-C/2、sin((A+B)/2)=cos(C/2),sin(C/2)=cos((A+B)/2)の置き換えができる。[br]　サインの和積と置き換えから、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)=2cos(C/2)cos((A-B)/2)[br]　サインの加法と置き換えから、sin2(C/2)=2sin(C/2)cos(C/2)=2cos((A+B)/2)cos(C/2)[br]　左辺＝2cos(C/2)(cos((A-B)/2)+cos((A+B)/2))=...(展開整理)...=2cosC/2・2cosA/2cosB/2=右辺[br][color=#0000ff]（例）[/color]「ｘが０と2πの間のとき、[math]sin(\frac{9}{2}x)=sin(\frac{1}{2}x)[/math]の解」は？[br][b]和積の公式[/b]「[b]sin(P)ーsin(Q)=2cos[size=150][math]\frac{P+Q}{2}[/math] sin[math]\frac{P-Q}{2}[/math][/size][/b]」を使って、サインの差を積に直そう。[br]和がPで差Qとなる２数は和差算から、大＝(P+Q)/2, 小＝(P-Q)/2と出せるね。[br]和が9/2xで、差が1/2xの２数は大＝5/2xと小＝2x。[math]sin(\frac{9}{2}x)-sin(\frac{1}{2}x)=2cos\frac{5}{2}x\cdot sin2x=0[/math][br]xが0と2πの間だからp=5/2xは０と5πの間。cosp=0よりp=1/2π(1,3,5,7,9)で、[br]x=2/5・p=1/5π(1,3,5,7,9)=1/5π, 3/5π, π, 7/5π, 9/5π[br]xが0と2πの間だからq=2xは０と4πの間。sinq=0よりq=π,2π,3πで、x=1/2π(1,2,3)[br]これより、x=1/2π, 3/2π。[br]まとめると、[math]x=\frac{1}{5}\pi,\frac{1}{2}\pi,\frac{3}{5}\pi,\pi,\frac{7}{5}\pi,\frac{3}{2}\pi,\frac{9}{5}\pi。[/math][br][color=#0000ff][br]（例）[/color]「cos(n+2)θ-2cosθcos(n+1)θ+cosnθ=0の理由とその利用例」は？[br]・理由[br][b]積和の公式「cosAcosB=1/2(cos(A+B)＋cos(A[color=#0000ff]-B[/color]))」から[/b]、2cos(n+1)θcosθ=cos(n+2)θ+cosnθ。[br]・利用例[br][b]cos(n+2)θ=2cosθ･cos(n+1)θ -cosnθ[/b]を使って、最後にcosθ=cとおき、cの多項式にしてみよう。[br]n=-1：cos θ=2cosθ･cos0 -cos(-θ)=2c-c=c[br]n=0：cos2θ=2cosθ･cosθ -cos0 =2c[sup]2[/sup]-1[br]n=1：cos3θ=2cosθ･cos2θ-cosθ =2c(2c[sup]2[/sup]-1)-c=4c[sup]3[/sup]-3c[br]n=2：cos4θ=2cosθ･cos3θ-cos2θ=2c(4c[sup]3[/sup]-3c)-(2c[sup]2[/sup]-1)=8c[sup]4[/sup]-6c[sup]2[/sup]-2c[sup]2[/sup]+1=8c[sup]4[/sup]--8c[sup]2[/sup]+1[br]n=3：cos5θ=2cosθ･cos4θ-cos3θ=2c(8c[sup]4[/sup]--8c[sup]2[/sup]+1)-(4c[sup]3[/sup]-3c)=16c[sup]5[/sup]-16c[sup]3[/sup]+2c -(4c[sup]3[/sup]-3c) =16c[sup]5[/sup]-20c[sup]3[/sup]+5c[br]n=4：cos6θ=2cosθ･cos5θ-cos4θ=2c(16c[sup]5[/sup]-20c[sup]3[/sup]+5c)-(8c[sup]4[/sup]--8c[sup]2[/sup]+1)=32c[sup]6[/sup]-40c[sup]4[/sup]+10c[sup]2[/sup]-(8c[sup]4[/sup]--8c[sup]2[/sup]+1)[br] =32c[sup]6[/sup]-48c[sup]4[/sup]+18c[sup]2[/sup]-1[br]..................[br]こうして、漸化式として使えば、多倍角のコサインはコサインθの多項式になる。[br]cosmθの最高次数項=2[sup]m-1[/sup]c[sup]m[/sup]で、そのあとの次数は２ずつ小さくなっていくね。

[b][size=150][b][size=100][size=150]簡単のためにsinAをsAやsと、cosAをcAやｃと,tanAをtAとかくことにします。[br][/size][/size][/b][/size][/b][b][size=150]＜２倍角＞[/size][/b][br][color=#0000ff][u]加法定理の和の公式で、2a=a+aとして導く。[br][/u][/color][color=#9900ff][u]s2A[/u][/color]=s(A+A)=[color=#0000ff][u]2sc[/u][/color]。（これっきり）[br][color=#9900ff][u]c2A[/u][/color]=c(A+A)=(c)²-(s)²=[color=#0000ff][u][b]2c²-1=1-2s²[/b][/u][/color]。(１種の２乗は逆算できる）[br][br]t2A=[math]\frac{tA+tA}{1-tAtA}=\frac{2tA}{1-t^2A}[/math][br][color=#0000ff]（例）「[/color]s+c=1/√2のときのc2Aの値」は？[br] 辺々２乗して、1+2sc=1/2。2sc=1/2-1=-1/2=s2A。[br](c2A)²=1-(s2A)²=1-(-1/2)²=3/4。c2A=+-√3/2[br][color=#0000ff]（例）[/color]「aがπ/2とπの間（cosaが負、sinaが正)でsina=3/5のときの、sin2a,co2s」は？[br]　cosa=-4/5となるので、sin2a=2sinacosa=-12/25, cos2a=1-2･(3/5)[sup]2[/sup]=7/25=2(-4/5)[sup]2[/sup]-1[br][color=#0000ff]（例）[/color]「tanθ/2=t(t≠±1)として、sinθ、cosθ、tanθをｔの式で表す」と？[br] θ/2=aとかくと、sinθ=sin(2a)=2sina・cosa=2t・cos[sup]2[/sup]a=2t・1/(1+t[sup]2[/sup])=[math]\frac{2t}{1+t^2}[/math][br] cosθ=cos(2a)=2cos[sup]2[/sup]a-1=2・1/(1+t[sup]2[/sup])-1=(2-(1+t[sup]2[/sup]))/(1+t[sup]2[/sup])=[math]\frac{1-t^2}{1+t^2}[/math][br] tanθ=sinθ/cosθ=[math]\frac{2t}{1-t^2}[/math][br][b][size=150]＜半角＞[br][/size][/b]s[sup]2[/sup](A/2)=(1−c)/2[br]c[sup]2[/sup](A/2)=(1+c)/2[br]t[sup]2[/sup](A/2)=(1-c)/(1+c)[br][color=#0000ff]（理由）[/color][u]a=２A、A=a/2で倍角cos公式を言い換えただけ。[br][/u][color=#0000ff]（用途）[/color]サインコサインの2次式を1次式にしたいとき、微分・積分のときに役立つね。[br][color=#0000ff]（例）[/color]Aが鋭角でcosA=1/2のとき、cos2Aと、cos(A/2)の値は？[br]　cos2A=2cos²A-1=2･(1/2)²-1=-1/2。[br]　cos²(A/2)=(1+cosA)/2=(1+1/2)/2=3/4。cos(A/2)>0から、cos(A/2)=1/2√3。[br][color=#0000ff]（例）cos15°=x, sin15°=y の値は？[br][/color]　 [math]sin30^{\circ}=2xy=\frac{1}{2}[/math]から、ｙ＝1/4x。[br] 　[math]cos30^{\circ}=x^2-y^2=2x^2-1=1-2y^2=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math][br]　これから、ｘ²＝[math]\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)}{2}=\frac{\sqrt{3}+2}{4}=\frac{2\left(2\sqrt{3}+4\right)}{16}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{4^2}=\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^2[/math]。[br]　15°は鋭角だから、x=[math]\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/math]>0、y=[math]\frac{1}{4x}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/math]。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「aがπ/2とπの間（cosaが負、sinaが正)でsina=3/5のときの、sin(a/2),cos(a/2)」は？[br]　cosa=-4/5となるので、sin[sup]2[/sup](a/2)=(1-cosa)/2=9/10 sin(a/2) = 3√10/10[br] cos[sup]2[/sup](a/2)=(1+cosa)/2=1/10 cos(a/2)=√10/10

[b][size=150]＜３倍角＞[br][/size][/b]sin,cosをs,cと、sinA=s, cosA=cと略す。係数の符号が反転している。[br]s(3A)=[math]-4s^3+3s[/math]。[br]c(3A)=[math]4c^3-3c[/math]。[br]（理由）加法定理、2倍角公式などを使う。[br]s(3A)=s(2A+A)=[math]s\left(2A\right)c+c\left(2A\right)s=2s\left(1-s^2\right)+\left(1-2s^2\right)s=3s-4s^3[/math][br]c(3A)=c(2A+A)=[math]c\left(2A\right)c-s\left(2A\right)s=\left(2c^2-1\right)c-2c\left(1-c^2\right)=4c^3-3c[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]「aがπ/2とπの間（cosaが負、sinaが正)でsina=3/5のときの、sin(3a),cos(3a)」は？[br]　cosa=-4/5となるので、sin(3a)=-4sin[sup]3[/sup]a+3sina=-4・27/125+ 3・3/5=-108/125+225/125=117/125[br] cos(3a)=4cos[sup]3[/sup]a-3cosa=4・(-64/125)- 3・(-4/5)=-256/125+300/125=44/125[br][color=#0000ff]（例）[/color]cos54°の値は？[br] 　p=54とすると5p=270で、270 -2p＝3pから、「cos(270 - 2p)=-sin(2p)=cos3p」がなりたつ。[br] 　 cos54°=c, sin54°＝sとおくと、c,sともに正。-sin(2p)=-2sc。cos3p＝4c³ー3cだから、[br]　 -2sc=4c³-3cの両辺を,cが正だからcで割り、c[sup]2[/sup]=1-s[sup]2[/sup]で、-2s-4(1-s²)+3=0。4s²-2s-1=0。[br]　 s=[math]\frac{1+\sqrt{5}}{4}[/math]、c=[math]\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]cos36°の値は？[br]　p=36とすると、5p=180。180- 2p＝3p。sin3p=sin(180-2p)=sin2p。 [br] cos36°=c, sin36°＝sとおくと、c,sともに正。sin(2p)=2sc。sin3p＝-4s³+3sだから、[br]　2sc=-4s³+3sの両辺を,sが正だからsで割り、s[sup]2[/sup]=1-c[sup]2[/sup]で、2c+4(1-c²)-3=0。4c²-2c-1=0。[br] c=[math]\frac{1+\sqrt{5}}{4}[/math]、ｓ=[math]\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}[/math][br]　ちなみに、36+54=90だから、cos36°=sin54°[br][size=150][b]＜４倍角＞[/b][/size][br]c(4A)=[math]8c^4-8c^2+1[/math][br]s(4A)=[math]4cs-8s^3c[/math][br][color=#0000ff]（理由）[br][/color]c(4A)=c(2A+2A)=2c(2A)²-1=2(2c²-1)²-1=8c⁴-8c²+1[br]s(4A)=c(2A+2A)=2s(2A)c(2A)=2･2sc･(1-2s²)=4sc-8s³c[br][b][size=150]＜５倍角＞[/size][/b][br]c(5A)=[math]16c^5-20c^3+5c[/math][br]s(5A)=[math]16s^5-20s^3+5s[/math][br][color=#0000ff]（理由）[/color][br]c(3A+2A)=c3Ac2A-s3As2A=[math]\left(4c^3-3c\right)\left(2c^2-1\right)-\left(3s-4s^3\right)2sc[/math][br]=[math]\left(4c^3-3c\right)\left(2c^2-1\right)-s^2\left(3-4s^2\right)2c=\left(4c^3-3c\right)\left(2c^2-1\right)-\left(1-c^2\right)\left(3-4\left(1-c^2\right)\right)2c[/math][br]=[math]\left(4c^3-3c\right)\left(2c^2-1\right)-\left(2c-2c^3\right)\left(4c^2-1\right)=8c^5-10c^3+3c-8c^3+8c^5-2c^3+2c[/math][br]=[math]16c^5-20c^3+5c[/math][br]s(3A+2A)=s3Ac2A+c3As2A=[math]\left(-4s^3+3s\right)\left(1-2s^2\right)+\left(4c^3-3c\right)2sc=8s^5-10s^3+3s+2s\left(4c^4-3c^2\right)[/math][br]=[math]8s^5-10s^3+3s+8s\left(1-2s^2+s^4\right)-6s\left(1-s^2\right)=16s^5-20s^3+5s[/math][br][br]