In questo capitolo ci occuperemo dei due teoremi che sono essenziali per capire le proprietà dell'integrale definito e della Funzione Integrale ad esso associata, e quindi per capire come calcolarli.[br][br]Iniziamo dal teorema della media, che partendo dall'ormai noto problema dl calcolo dell'area sottesa ad una funzione si pone l'obiettivo di riformulare il problema in termini più semplici e maneggevoli.[br][br]Notiamo che questo teorema introduce una condizione, che sarà richiesta ad ogni funzione [b][color=#ff0000]affinché essa sia integrabile[/color][/b] (cioè affinché sia possibile calcolarne l'area sottesa): [b][color=#ff0000]la funzione deve essere continua[/color][/b]. Il teorema della media infatti richiede che la funzione abbia una proprietà che abbiamo conosciuto esplorando [url=https://www.geogebra.org/m/ahCuGvXP#material/bkYt7ZPA]i teoremi e le proprietà della funzioni continue[/url], in particolare [b]si appoggia sul teorema dei valori intermedi[/b], che non a caso ha un nome simile.[br][br]Torneremo a questo aspetto, per il momento vediamo il contenuto e la dimostrazione del teorema in questa animazione.

Come sottolineato nell'animazione, la tesi può essere scomposta in due parti:[br][br][b]1) L'area sottesa alla funzione può essere espressa come superficie di un rettangolo che ha per base l'intervallo [a,b] considerato[/b]. [br]Questa parte è abbastanza evidente, perché qualsiasi numero può essere visto come prodotto di un numero arbitrario (la base fissata) ed un'opportuno altro numero (l'altezza [math]\large{y_h}[/math] che fa tornare i conti).[br][br][b]2) L'altezza [math]\large{y_h}[/math] può essere vista come output della funzione [math]\large{f(x)}[/math] per un determinato valore [math]\large{\bar{x}}[/math] compreso nell'intervallo di interesse [math]\large{[a,b]}[/math][/b].[br]Questa considerazione è meno semplice: richiede che esista un valore [math]\large{\bar{x}}[/math] [b]nell'intervallo [/b][math]\large{[a,b]}[/math] per cui il risultato di [math]\large{f(x)}[/math] per tale valore sia proprio [math]\large{f(\bar{x})=y_h}[/math]. [color=#ff0000]Questa richiesta è essenziale, perché permette di creare un legame tra l'area cercata e l'andamento della funzione [math]\large{f(x)}[/math], e ci fa capire che conoscendo la funzione potremo in qualche modo risalire al valore dell'area[/color].[br][br][b][color=#ff0000]NOTA:[/color][/b] la parte finale della dimostrazione si appoggia sul teorema dei valori intermedi; [u]in realtà applica una combinazione di questo con il teorema di Weierstrass[/u], quella spiegata al termine della [url=https://www.geogebra.org/m/ahCuGvXP#material/bkYt7ZPA]pagina dei teoremi sulle funzioni continue[/url].[br][br]L'affermazione 2 è anche quella che non può essere data per scontata, come dimostrano i due controesempi riportati qui sotto.

[size=150][color=#ff0000]IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE[br][/color][/size]Siamo pronti per trarre le nostre conclusioni sulla Funzione Integrale e sul calcolo delle aree sottese ai grafici, aggiungendo l'ultimo tassello che ci manca per capire questo meccanismo.[br][br][color=#ff0000][b]Dimostreremo che la Funzione Integrale [/b][/color][math]\large{F(x)}[/math][color=#ff0000][b] [u]è una delle primitive della funzione[/u] [/b][/color][math]\large{f(x)}[/math][color=#ff0000][b] a cui si riferisce, e quindi per ottenerla sia sufficiente calcolare l'integrale indefinito di [/b][/color][math]\large{f(x)}[/math][color=#ff0000][b].[/b][/color][br][br]La dimostrazione di questa affermazione è il contenuto del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, che la riformula verificando che la derivata della Funzione Integrale [math]\large{F(x)}[/math] è proprio [math]\large{f(x)}[/math]. [br][br]Vediamone l'impianto logico nella prossima animazione.

Il teorema ha dimostrato che se calcoliamo la derivata della Funzione Integrale [math]F(x)[/math] e la valutiamo per un qualsiasi valore [math]\bar{x}[/math], otteniamo lo stesso risultato restituito dalla funzione [math]f(x)[/math] di cui vogliamo calcolare l'area:[br][br][math]\Large{F'(\bar{x})=f(\bar{x})\qquad \forall\bar{x}}[/math][br][br]Dato che questo vale punto per punto in ogni [math]\large{x}[/math], ne consegue che [color=#0000ff][b]la derivata della Funzione Integrale [/b][math]\large{\textcolor{blue}{F(x)}}[/math][b] coincide con la funzione [/b][math]\large{\textcolor{blue}{f(x)}}[/math][b] di cui essa restituisce l'area sottesa[/b][/color].[br][br]Possiamo allora ricavare la relazione inversa: [color=#ff0000][b]la Funzione Integrale [/b][math]\large{\textcolor{red}{F(x)}}[/math][b] è una delle primitive della corrispondente funzione [/b][math]\large{\textcolor{red}{f(x)}}[/math][/color].[br]

Abbiamo quindi che la Funzione Integrale [math]F(x)[/math] è UNA delle primitive di [math]f(x)[/math]:[br][br][math]\large{F(\bar{x}) = \int_0^\bar{x} f(x)\cdot dx + \textcolor{red}{c}\qquad \mbox{con }\textcolor{red}{c}\mbox{ uguale a... ???}}[/math][br][br]Rimane un problema: [b][color=#ff0000]QUALE[/color] primitiva deve essere considerata (cioè quale costante arbitraria [/b][math]\large{c}[/math][b]) per ottenere LA primitiva corretta che permette di calcolare l'area desiderata?[/b][br][br]Vedremo fortunatamente che questo non è un problema per gli usi che faremo noi della Funzione Integrale.[br][br][color=#ff0000][size=150]IL CALCOLO DELL'AREA SOTTESA[br][/size][/color]Data una funzione [math]\large{y=f(x)}[/math], supponiamo di voler calcolare l'area sottesa al suo grafico nell'intervallo [math]\large{[a,b]}[/math], in cui essa è continua. [br][br]

Tra tutte le primitive di [math]\large{f(x)}[/math], chiamiamo [math]\large{F(x)}[/math] quella "giusta" che ci permette di effettuare il calcolo delle aree; è insomma la primitiva di [math]\large{f(x)}[/math], tra le sue infinite, per cui vale la definizione [math]\large{F(\bar{x}) = \int_0^\bar{x} f(x)\cdot dx}[/math].[br]Per quanto abbiamo detto sulle [url=https://www.geogebra.org/m/ahCuGvXP#material/we4nhghw]proprietà della Funzione Integrale[/url], ed in particolare per la proprietà che abbiamo identificato come [b]2a[/b], sappiamo che l'area cercata può essere vista come la differenza tra gli output della funzione integrale agli estremi dell'intervallo:[br][br][math]\Large{\int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(x)\cdot dx = \textcolor{red}{\int_0^b f(x)\cdot dx}-\textcolor{blue}{\int_0^a f(x)\cdot dx} = \textcolor{red}{F(b)}-\textcolor{blue}{F(a)}\qquad \qquad [1]}[/math][br][br]Prendendo una primitiva a caso, che chiamiamo [math]\large{\varphi(x)}[/math] (è una lettera greca e si legge "fi"), in generale essa differirà dalla primitiva "giusta" [math]\large{F(x)}[/math] per una costante [math]\large{c}[/math], cioè avremo [math]\large{\varphi(x) = F(x)+c}[/math].[br][br][color=#38761d][b]Verifichiamo ora calcolando l'analoga differenza con questa primitiva "sbagliata", [math]\large{\textcolor{red}{\varphi(b)}-\textcolor{blue}{\varphi(a)}}[/math], otteniamo comunque il risultato corretto, qualsiasi sia la primitiva che abbiamo scelto. [br][/b][/color][br]Per quanto abbiamo detto abbiamo che[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\varphi(a)=F(a)+c=\int_0^af(x)\cdot dx +c}}[/math][br][br]analogamente abbiamo che [br][br][math]\Large{\textcolor{red}{\varphi(b)=F(b)+c=\int_0^bf(x)\cdot dx +c}}[/math][br][br]la differenza che ci proponiamo di utilizzare vale quindi [br][br][math]\Large{\textcolor{red}{\varphi(b)}-\textcolor{blue}{\varphi(a)}=\textcolor{red}{\int_0^b f(x)\cdot dx +c}- \textcolor{blue}{\left (\int_0^af(x)\cdot dx +c\right)}}[/math][br][br]Risolvendo le parentesi scopriamo che si annullano le due costanti [math]\large{c}[/math], e quindi otteniamo:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{\varphi(b)}-\textcolor{blue}{\varphi(a)}=\textcolor{red}{\int_0^b f(x)\cdot dx }- \textcolor{blue}{\int_0^af(x)\cdot dx } = \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(x)\cdot dx} [/math][br][br]Abbiamo quindi ottenuto esattamente l'area cercata (vedi formula [math]\large{[1]}[/math] all'inizio della dimostrazione), e verificato che [b][color=#38761d]l'indeterminazione legata alla costante [/color][/b][math]\large{c}[/math][b][color=#38761d] non influisce in questo calcolo, per il quale possiamo quindi utilizzare una qualsiasi delle primitive di [/color][/b][math]\large{f(x)}[/math].[br] [br]