[list][*][url=https://www.geogebra.org/m/dc27zpw5]Grundlagen Elementarmatrizen[/url][math]\nearrow[/math][br][/*][/list][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/qbtj5mhd]Gauß-Algorithmus mit Elementarmatrizen[/url][math]\nearrow[/math] [br][/*][/list]Hinweise[br][table][tr][td][math]\small L3\; L2\; L1\; A = R \, = \, \left(\begin{array}{rrrr}x&x&x&x\\0&x&x&x\\0&0&x&x\\0&0&0&x\\\end{array}\right)[/math][/td][td]Generiere Zeilenumformungen (Gauß-Algorithmus)[br]um A in eine rechte obere Dreiecksmatrix R zu überführen.[br]Li Matrix für Zeilenadditionen die in A Spalte i 0en erzeugt.[/td][/tr][/table]==>[math]A=\left(L3\cdot L2\cdot L1\right)^{-1}R=L\cdot R[/math][br][br]LE(A,i): generiert Elementar-Matrizen für Spalte i ==> a[sub]ki[/sub]=0, k>i (0en Spalte i unterhalb a[sub]ii[/sub])[br]- setzt einen Gauß-Eliminationsschritt für eine Spalte i der Matrix A um -[br]Zeilenoperation in Matrix Li = Product( LE(A,i) ) zusammengefasst! [br][br][br][b]Pivotsuche[/b]([size=85]Zeilen- und Spaltentausch damit[/size]) a[sub]ii[/sub] = betragsgrößtes Element [br]SPvt(A,i) suche Spalten-Pivot [br]pi:=PivotZ(A,i), qi:=PivotS(A,i) vollständige Pivotsuche über Zeilen UND Spalten ab Zeile/Spalte i[br]Pi=T(i ,p[sub]i[/sub] ) - Zeilentausch-Matrizen für Zeile i <> Zeile p[sub]i[/sub] (Pivot) [size=85](Multiplikation von Links)[/size][br]Qi=T(i ,q[sub]i [/sub]) - Spaltentausch-Matrizen Spalte i <> Spalte q[sub]i[/sub] (Pivot) [size=85](Multiplikation von Rechts)[/size][br][br][b]Schalter für Pivot-Wahl[/b][br]Pivot:= (2 [size=85]Zeilen/Spalten-Pivot[/size]), (1 [size=85]Spalten-Pivot[/size]), ( 0 [size=85]ohne Pivot-Suche - T(i,k[sub]i[/sub])=Einheitsmatrix[/size] )[br]Wenn ein Pivot abgewählt wird werden die entsprechenden Tauschmatrizen T(i,ki) zur Einheitsmatrix.[br][br](3)...(9) User-Funktionen für Elementarmatrizen und Pivotsuche[br][br]Die Zeilentausch-Matrizen Pi=T(i,pi) und Spaltentausch-Matrizen Qi=T(i,qi) sind Selbstinvers T(i, j) T(i, j) = E[sub]n[/sub]! Wenn R berechnet ist, [br](25) R:=[color=#0000ff](L3 P3 L2 P2 L1) P1[/color] A (Q1 Q2 Q3)[br]muss ein Abgleich der Zeilen/Spalten-Austausche eingefügt werden, [br] R = L' P A Q [math]\Longrightarrow[/math] L'[sup]-1[/sup]R = P A Q , L = L'[sup]-1[/sup] [br]damit die Zeilen/Spaltenabfolge in L R zu P A Q → [sub]P3 P2 P1 A Q1 Q2 Q 3 [/sub] passt, [br]die Tauschmatrizen P[sub]i[/sub] zu P zusammengefasst werden können:[br]R= [size=150]L3[/size] || [color=#1155Cc]P3 [size=150]L2[/size] [i][b]P3[/b][/i] [/color]|| [color=#1155Cc][i][b]P3[/b][/i] P2 [size=150]L1[/size] [i][b]P2[/b][b] P3[/b][/i][/color] || [i][b]P3[/b] [b]P2[/b] P1 || [/i][size=150]A[/size] ||[i] Q1 Q2 Q3[/i] = [br]R= L3 [color=#999999] ||[/color] L[sub]2[/sub] [color=#999999]||[/color] L[sub]1[/sub] [color=#999999]|| [/color] [i]P[/i][color=#999999] ||[/color] A [color=#999999]||[/color] [i]Q[/i] [br][br]In Fettschrift ausgezeichnet die selbstinversen Einsätze der Tauschmatrizen um die Zeilenoperationen an den Zwischenschritten Ai in Zeilen/Spalten-Korrekt zusammen zu fassen in L[sub]i[/sub]. Insbesondere sind die Tauschmatrizen und P,Q orthogonale Matrizen, d.h. die Inverse=Transponiert: P[sup]-1[/sup]= P[sup]T[/sup] bzw. Q[sup]-1[/sup]= Q[sup]T[/sup] ![br][br](26) [math]\text{\underline{\textcolor{blue}{ L3\; P3\; L2\; P2\; L1}\; \overline{\textcolor{red}{P2\; P3}}_{L}}\;\overline{\textcolor{red}{P3\;P2}}^{id}\;\textcolor{blue}{P1}\;A\;Q1\;Q2\;Q3 }[/math] Einschub(ROT=id ) [br]→ Permutationsmatrizen P in der richtigen Reihenfolge vor A angeordnet![br]Unter Verwendung der Permutationsmatrix P [br]→ [i]L:=Transpose(L3 P3 L2 P2 L1 P1 Transpose(P))[/i]

A:={{1, 3, -1 },{2, 5, -1 }, {-1, -6, 3 }}[br][size=85]ggf. wollen Sie auf die Pivotsuchfunktionen verzichten und die Pivotauswahl pi,qi von Hand setzen z.B. P1:=T(1,2),Q1:=T(1,4).[/size][br][br]A x = b ===> L R = P A ===> P A x = P b ===> L R x = P b[br][table][tr][td]LR Zerlegung mit Spaltenpivot R3[/td][td]LR Zerlegung mit Totalpivot R3[/td][td][/td][/tr][tr][td][code]p1:=SPvt(A,1) [br]P1:=T(1,p1)[br]A1:=P1 A[br]L1:=Product(LE(A1,1))[br]A2:=L1 P1 A[br]p2:=SPvt(A2,2)[br]P2:=T(2, p2) [br]L2:=Product(LE(P2 A2 ,2))[br]R:=(L2 P2 L1) (P1 A) [/code][br]"L2 || P2 L1 [size=85][color=#1155Cc]P2[/color][/size] || [size=85][color=#1155Cc]P2[/color][/size] P1 A"[br][code]L:= L2 P2 L1 P2)^-1[br]P:= P2 P1 [br][/code][/td][td][code]p1:=PivotZ(A, 1) || q1:=PivotS(A,1)[br]P1:=T(1,p1) || Q1:=[code]T(1,q1)[br]A1:=P1 A Q1[br]L1:=Product(LE(A1,1))[br]A2:=L1 P1 A Q1[br]p2:=PivotZ(A2, 2) || q2:=PivotS(A2,2)[br]P2:=T(2,p2) || Q2:=T(2,q2)[br]L2:=Product(LE(P2 A2 Q2,2 ))[br]R:= L2 P2 L1 P1 A Q1 Q2[br]L:=(L2 P2 L1 (P2))^-1[br]P:=(P2) P1[br]Q:=Q1 Q2[/code][br][/td][td][/td][/tr][tr][td][code]L R x = P b[br][/code][/td][td][code]L R Q^T x = P b[br][/code][/td][td][/td][/tr][tr][td]L y = P b[br][math]\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\-\frac{1}{2}&1&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{7}&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}y1\\y2\\y3\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}2\\2\\-7\\\end{array}\right) [/math] [math]\scriptsize Y = \left(\begin{array}{r}2\\-6\\\frac{1}{7}\\\end{array}\right) [/math][br]R x = y[br][math]\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}2&5&-1\\0&-\frac{7}{2}&\frac{5}{2}\\0&0&-\frac{1}{7}\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}2\\-6\\\frac{1}{7}\\\end{array}\right) [/math] [math]\scriptsize X = \left(\begin{array}{r}-2\\1\\-1\\\end{array}\right)[/math][br][/td][td]L y =P b[br][math]\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\-\frac{5}{6}&1&0\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}y1\\y2\\y3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}2\\2\\-7\\\end{array}\right)[/math] [math]\scriptsize Y =\left(\begin{array}{r}-7\\-\frac{23}{6}\\-\frac{2}{9}\\\end{array}\right) [/math][br]R Q[sup]T[/sup] x = y[br][math]\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}-6&3&-1\\0&\frac{3}{2}&\frac{7}{6}\\0&0&\frac{1}{9}\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-7\\-\frac{23}{6}\\-\frac{2}{9}\\\end{array}\right)[/math] [math]\scriptsize X = \left(\begin{array}{r}-2\\1\\-1\\\end{array}\right)[/math][br][/td][td][/td][/tr][/table]---[br][math]A=a(i, k) \, := \, \sum_{j=1}^{k} L\left(i,j \right) \; R\left(j,k \right)[/math][br]a(i,k):=Sum(Element(L, i, j) Element(R, j,k) , j,1,k)[br]---

[br]Aus einer Matrix[br] [math]A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\\end{array}\right)[/math] generiere ich die Gaußelimationsfaktoren für L[sub]1[/sub] aus der 1. Spalte[br] [math]\frac{1}{a_{11}} \; \left(\begin{array}{r}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\\a_{41}\\\end{array}\right)[/math] dividiere durch a[sub]11[/sub], alle Faktoren mal (-1) (alles unter a[sub]11[/sub]) und fülle zur Einheitsmatix auf.[br]In der 1. Spalte stehen die Faktoren mit denen die 1.Zeile multipliziert wird. Um dann per Matrixprodukt zur Faktorzeile addiert zu werden. Alle Zeilen 2,3,4..n werden geändert mit Nullen in der ersten Spalte. Da ist jetzt Platz um die Eliminationsfaktoren zu parken. Da quasi die Inverse für L benötigt wird, machen wir den Faktor (-1) rückgängig beim Eintrag in das Matrixfeld LR: [br] [math]L_1= \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\\frac{-a_{21}}{a_{11}}&1&0&0\\\frac{-a_{31}}{a_{11}}&0&1&0\\\frac{-a_{41}}{a_{11}}&0&0&1\\\end{array}\right)[/math][math]\Longrightarrow L_1\cdot A=[/math][math] \, \left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\0&c_{32}&c_{33}&c_{34}\\0&c_{42}&c_{43}&c_{44}\\\end{array}\right)[/math] [math]\Longrightarrow\; LR= \left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ \textcolor{red}{\frac{a_{21}}{a_{11}}}&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\\textcolor{red}{\frac{a_{31}}{a_{11}}}&c_{32}&c_{33}&c_{34}\\\textcolor{red}{\frac{a_{41}}{a_{11}}}&c_{42}&c_{43}&c_{44}\\\end{array}\right)[/math][br]Wiederhole Algorithmus auf der Matrix (c[sub]ij[/sub]) [br] [math]L_2=\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\frac{-c_{32}}{c_{22}}&1&0\\0&\frac{-c_{42}}{c_{22}}&0&1\\\end{array}\right) \Longrightarrow L_2\cdot L_1\cdot A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\0&0&u_{33}&u_{34}\\0&0&u_{43}&u_{44}\\\end{array}\right)[/math] [math]\Longrightarrow\; LR= \left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ \textcolor{red}{\frac{a_{21}}{a_{11}}}&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\\textcolor{red}{\frac{a_{31}}{a_{11}}}&\textcolor{red}{ \frac{c_{32}}{c_{22}}}&u_{33}&u_{34}\\\textcolor{red}{\frac{a_{41}}{a_{11}}}&\textcolor{red}{\frac{c_{42}}{c_{22}}}&u_{43}&u_{44}\\\end{array}\right)[/math][br]Wiederhole Algorithmus auf Matric (u[sub]ij[/sub])[br][math]L_{3}=\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&\frac{-u_{43}}{u_{33}}&1\\\end{array}\right) \Longrightarrow L_3 \cdot L_2\cdot L_1\cdot A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\0&0&u_{33}&u_{34}\\0&0&0&-u_{34} \cdot \frac{u_{43}}{u_{33}} + u_{44}\\\end{array}\right)[/math] [math]\Longrightarrow \; LR=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ \textcolor{red}{\frac{a_{21}}{a_{11}}}&c_{22}&c_{23}&c_{24}\\\textcolor{red}{\frac{a_{31}}{a_{11}}}&\textcolor{red}{ \frac{c_{32}}{c_{22}}}&u_{33}&u_{34}\\\textcolor{red}{\frac{a_{41}}{a_{11}}}&\textcolor{red}{\frac{c_{42}}{c_{22}}}&\textcolor{red}{\frac{u_{43}}{u_{33}}}&u'_{44}\\\end{array}\right)[/math][br][br]Die Koeffizienen bilden die obere Dreiecksmatrix R und untere Dreiecksmatrix L ergänzt um die Diagonale {1,1,1,1}. Zeilen-Tauschmatrizen P[sub]i[/sub] zur Pivotsuche in den Einzelschritten müssen natürlich auch auf LR angewendet werden (L[sub]i[/sub] P[sub]i [/sub]=> P[sub]i[/sub] LR).[br]In dieser Form wird die Verwaltung der Zeilen/Spaltentausche wesentlich einfacher, oder?[br]