Das Rechteck ABCD besitzt die Länge [math] | \overline {AB} |=14\,cm[/math] und die Breite [math] | \overline {BC} |=5\,cm[/math] .[br]Es entstehen neue Rechtecke AB[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub], wenn die Seite [math]\overline {AB}[/math] von B aus um [b][color=#ff0000]x cm[/color][/b] verkürzt wird und die Seite [math]\overline {BC}[/math] über C hinaus um [b][color=#ff0000]3x cm[/color][/b] verlängert wird.[br][br]a) Zeichne das Rechteck ABCD und das neue Rechteck AB[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub]D[sub]1[/sub] für x = 1,5. [br]b) Berechne den Flächeninhalt für die Rechtecke ABCD und AB[sub]1[/sub]C[sub]1[/sub]D[sub]1[/sub] .[br]c) Für welche Werte von x existieren Rechtecke? [br]d) Stelle den Flächeninhalt der Rechtecke AB[sub]n[/sub]C[sub]n[/sub]D[sub]n[/sub] in Abhängigkeit von x dar.[br]e) Für welchen Wert von x besitzt der Flächeninhalt einen Extremwert?
[br]Gegeben:[br][math]|\overline{AB}|=14\,cm[/math][br][math] |\overline{BC}|=5\,cm[/math][br]a) Zeichnung für [math]x=1{,}5,\text{cm}[/math][br][br]b) Flächeninhalte[br]Ausgangsrechteck:[br][math]A_{ABCD}=|\overline{AB}| \cdot |\overline{BC}|=14cm \cdot 5 cm=70 \, cm^2[/math][br][br]Neues Rechteck für x=1,5[br][math]A_{AB_1C_1D_1}=|\overline{AB_1}| \cdot |\overline{BC_1}| =12,5\,cm \cdot 9,5 \,cm=118,75\,cm^2[/math][br][br]c) Werte von x, für die Rechtecke existieren[br]Seiten müssen positiv sein:[br][math]0\le x<14[/math] [br][br]d) Flächeninhalt in Abhängigkeit von x[br]Neu:[br][math]|\overline{AB_n}|=(14-x) \, cm[/math][br][math]|\overline{BC_n}|=(5+3x) \,cm[/math][br][br]Ansatz und Ausmultiplizieren:[br][math]A(x)=((14-x) \cdot (5+3x)) \, cm^2= ... = (70+37x-3x^2)\,cm^2=(-3x^2+37x+70)\,cm^2[/math][br][br]e) Extremwert mittels TR[br]Term:[br][math]T(x)=-3x^2+37x+70[/math] [br]=> a = -3 [br]=> b = 37 [br]=> c= 70 [br][br]Eingabe:[br]2nd - cos => 1 => a = -3 => b = 37 => c= 70 => Enter bis QuadErg: f(x) => STORE => h und k ablesen[br][br]Maximum bei [math]x=\frac{37}{6}[/math][br]Maximaler Flächeninhalt [math]A_{\max}=\tfrac{2209}{12}\, cm^2[/math]