Obliczymy i porównamy objętości dwóch brył powstałych przez obrót krzywej [math]y=\sin x[/math] dla [math]x\in\:[0,\tfrac{\pi}{2}\:][/math] najpierw dokoła osi [math]Ox[/math], a następnie dokoła osi [math]Oy[/math].[br][br][u][b]Rozwiązanie[/b][/u][b]:[/b] Poniższy aplet ilustruje jak powstają powierzchnie ograniczające rozważane bryły. Zmieniając kąt obrotu [math]\alpha[/math] dla krzywej [math]y=\sin(x)[/math] określonej na przedziale [math]x\in\:[0,\tfrac{\pi}{2}\:][/math] oraz pionowego odcinka łączącego prawy koniec krzywej z jego prostokątnym rzutem na oś [math]Ox[/math] otrzymamy domkniętą powierzchnię obrotową wokół osi [math]Ox[/math]. Postępując podobnie względem osi [math]Oy[/math] otrzymamy drugą. [br][br][u][b]Wskazówka[/b][/u][b]: [/b]Rozwiń listy [i]Powierzchnia , Odcinek [/i]oraz[i] Krzywa parametryczna,[/i] aby pokazać lub ukryć obiekty. Dla powierzchni [math]b[/math] utwórz "górną pokrywkę" wzorując się na określeniu powierzchni [math]c[/math].

Oznaczmy wykreślone bryły odpowiednio przez [math]V_x[/math] oraz [math]V_y[/math]. Ich objętości możemy wyrazić za pomocą całek:[br][center][math]\left|V_x\right|=\pi\,\limits\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(x)\,dx, \qquad\qquad\left|V_y\right|=\pi\,\limits\int_{0}^{1}\arcsin^2(y)\,dy[/math][/center] Skorzystamy teraz z Widoku CAS, aby obliczyć i porównać wartości tych całek.[br][br][u][b]Uwaga 1.[/b][/u] Rozważaną w zadaniu krzywą [math]y=\sin x, \;\;x\in\:[0,\tfrac{\pi}{2}\:][/math] możemy zapisać jako: [math]x=\arcsin y[/math] dla [math]y\in\:[0,1\:][/math]. [br][u][b]Uwaga 2[/b].[/u] W GeoGebrze funkcje cyklometryczne są zapisywane w formie [math]f^{-1}[/math] np. funkcje [math]\arctan,\;\arcsin [/math] zamienią się automatycznie na [math]\tan^{-1},\;\sin^{-1}[/math]. [br]

[u][b]Uwaga 3.[/b][/u] Aby otrzymać wartości przybliżone [math]V_x[/math] oraz [math]V_y[/math] wystarczy w pasku narzędzi (Widoku CAS) przestawić [icon]/images/ggb/toolbar/mode_evaluate.png[/icon] na [icon]/images/ggb/toolbar/mode_numeric.png[/icon]. Można też wprowadzić np. [math]V_x<V_y, \,{pred}[/math] i otrzymać wartość logiczną zdania [math]V_x<V_y[/math].