Geometria na Educação Básica
1. História
1. Bonaventura Cavalieri
2. Aplicações
1. Aplicações
3. Brincando com o Geogebra
1. Princípio de Cavalieri
2. Coluna Distorcida
3. Área da Coroa Circular e Semiesfera
4. Volume do Cilindro x Volume do Cubo x Volume do Prisma
4. Bibliografia
1. Bibliografia

0

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Geometria na Educação Básica

Paulo Victor Gomes, Nov 29, 2018

Esse livro abordará o Princípio de Cavalieri de 3 formas: -História -Aplicações -Aplicações usando o Geogebra

História
1. Bonaventura Cavalieri
Aplicações
1. Aplicações
Brincando com o Geogebra
1. Princípio de Cavalieri
2. Coluna Distorcida
3. Área da Coroa Circular e Semiesfera
4. Volume do Cilindro x Volume do Cubo x Volume do Prisma
Bibliografia
1. Bibliografia

Information

História

1. Bonaventura Cavalieri

Bonaventura Cavalieri

Nascido em Milão no ano de 1598, Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano discípulo de Galileu Galilei e professor da Universidade de Bolonha entre os anos de 1629 e 1647, ano de sua morte. Cavalieri desenvolveu um método para calcular volumes de sólidos conhecido como Princípio de Cavalieri. Este princípio diz o seguinte: Considere dois sólidos S1 e S2 com a mesma altura h e mesma área da base. Se, para cada plano α intersectando S1 e S2 paralelo às suas bases, as áreas determinadas pelas regiões α∩S1 e α∩S2 forem iguais, então os volumes desses sólidos serão iguais. Como podemos perceber, as ideias de Cavalieri estavam intimamente relacionadas ao cálculo infinitesimal, o qual ainda não havia sido formalizado na época. Galileu mencionava os indivisíveis, referindo-se a retângulos de largura infinitesimal. Houveram muitos debates e questionamentos sobre a veracidade dessas ideias propostas por Galileu e Cavalieri, ideias que, posteriormente, foram aceitas por importantes cientistas, dentre eles Torricelli, Fermat e Pascal. A maior contribuição de Cavalieri para a Matemática foi o tratado Geometria Indivisibilibus de 1635, em que explica seu métodos dos indivisíveis. Método este motivado pelas tentativas de Kepler em calcular Áreas e Volumes de certas figuras planas e espaciais.

– Paulo Victor Gomes

2.

Aplicações

Nesse capítulo, apresentaremos algumas aplicações do Princípio de Cavalieri, bem como sua importância histórica para o desenvolvimento da Matemática e de outras áreas do conhecimento afins.

1. Aplicações

2.1.

Aplicações

Teorema 1: O volume de um prisma qualquer é dado pelo produto da sua altura pela sua base. Demonstração: Considere um prisma de altura h e área da base A e o plano

no qual a base está contida. Considere também um paralelepípedo reto retângulo de altura h cuja base inferior, também contida no plano

, tenha área A. Além disso, considere um plano

, paralelo a

, cuja distância com relação a

seja h₀.

Fig(1)

Assim, obtemos duas secções transversais de áreas A′ e A′′, no paralelepípedo e no prisma, respectivamente. Como o paralelepípedo, em particular, é um prisma e toda secção feita por um plano paralelo à base de um prisma determina uma figura congruente à base, obtemos que A′ = A = A′′. Como os dois prismas possuem a mesma altura h e as secções feitas paralelas à base determinam figuras equivalentes, e, portanto, possuem a mesma área, então, pelo Princípio de Cavalieri, podemos concluir que os volumes destes sólidos são iguais.

 Teorema 2: O volume de um cilindro circular é dado pelo produto da área de sua base pela altura do cilindro.

Demonstração:

A demonstração deste teorema é análoga à demonstração do teorema 1. Dado um cilindro circular com área da base A e altura h, construa um paralelepípedo de base A e altura h. Como A′ = A = A′′ e a área do cilindro é igual a A · h, segue, pelo Princípio de Cavalieri, que os dois sólidos possuem o mesmo volume e, portanto, o volume V do cilindro é tal que V = A · h.

Fig(2)

– Paulo Victor Gomes

3.

Brincando com o Geogebra

Nesse Capítulo, é possível que o leitor teste o Princípio de Cavalieri de forma prática.

1. Princípio de Cavalieri
2. Coluna Distorcida
3. Área da Coroa Circular e Semiesfera
4. Volume do Cilindro x Volume do Cubo x Volume do Prisma

3.1.

Princípio de Cavalieri

– Aroldo Eduardo Athias Rodrigues

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Bibliografia

https://brasilescola.uol.com.br/matematica/principio-cavalieri.htm https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/principio-cavalieri.htm https://www.obaricentrodamente.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/3674/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Kariton%20Pereira%20Lula%20-%202013.pdf https://www.geogebra.org/m/dp6g2TSv https://www.geogebra.org/m/j6pdn6mp

1. Bibliografia

4.1.

Bibliografia

– Paulo Victor Gomes

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Geometria na Educação Básica

Table of Contents

Information

1.

História

1.1.

Bonaventura Cavalieri

2.

Aplicações

2.1.

Aplicações

3.

Brincando com o Geogebra

3.1.

Princípio de Cavalieri

3.2.

3.3.

3.4.

4.

Bibliografia

4.1.

Bibliografia