Geometria na Educação Básica
[b]Esse livro abordará o Princípio de Cavalieri de 3 formas: -História -Aplicações -Aplicações usando o Geogebra[/b]
Table of Contents
- História
- Bonaventura Cavalieri
- Aplicações
- Aplicações
- Brincando com o Geogebra
- Princípio de Cavalieri
- Coluna Distorcida
- Área da Coroa Circular e Semiesfera
- Volume do Cilindro x Volume do Cubo x Volume do Prisma
- Bibliografia
- Bibliografia
Bonaventura Cavalieri
Nascido em Milão no ano de 1598, Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano discípulo de Galileu Galilei e professor da Universidade de Bolonha entre os anos de 1629 e 1647, ano de sua morte. Cavalieri desenvolveu um método para calcular volumes de sólidos conhecido como Princípio de Cavalieri. Este princípio diz o seguinte: Considere dois sólidos S1 e S2 com a mesma altura h e mesma área da base. Se, para cada plano α intersectando S1 e S2 paralelo às suas bases, as áreas determinadas pelas regiões α∩S1 e α∩S2 forem iguais, então os volumes desses sólidos serão iguais.[br] Como podemos perceber, as ideias de Cavalieri estavam intimamente relacionadas ao cálculo infinitesimal, o qual ainda não havia sido formalizado na época. Galileu mencionava os indivisíveis, referindo-se a retângulos de largura infinitesimal. Houveram muitos debates e questionamentos sobre a veracidade dessas ideias propostas por Galileu e Cavalieri, ideias que, posteriormente, foram aceitas por importantes cientistas, dentre eles Torricelli, Fermat e Pascal.[br] A maior contribuição de Cavalieri para a Matemática foi o tratado Geometria Indivisibilibus de 1635, em que explica seu métodos dos indivisíveis. Método este motivado pelas tentativas de Kepler em calcular Áreas e Volumes de certas figuras planas e espaciais.
Aplicações
[br][br] [i][b]Teorema 1: O volume de um prisma qualquer é dado pelo produto da sua altura pela sua[br]base.[br][/b][/i][b][br] Demonstração: [/b][br][br] Considere um prisma de altura h e área da base A e o plano [math]\beta[/math] no qual a base está contida.[br]Considere também um paralelepípedo reto retângulo de altura h cuja base inferior, também contida no plano [math]\beta[/math], tenha área A. Além disso, considere um plano [math]\alpha[/math], paralelo a [math]\beta[/math], cuja distância com relação a [math]\beta[/math] seja h[sub]0[/sub].[br][br][br]
Fig(1)
Assim, obtemos duas secções transversais de áreas A′ e A′′, no paralelepípedo e no prisma, respectivamente. Como o paralelepípedo, em particular, é um prisma e toda secção feita por um plano paralelo à base de um prisma determina uma figura congruente à base, obtemos que A′ = A = A′′. Como os dois prismas possuem a mesma altura h e as secções feitas paralelas à base determinam figuras equivalentes, e, portanto, possuem a mesma área, então, pelo Princípio de Cavalieri, podemos concluir que os volumes destes sólidos são iguais.[br][br]
[b] Teorema 2: O volume de um cilindro circular é dado pelo produto da área de sua base pela altura do cilindro.[/b]
[b] Demonstração:[/b]
A demonstração deste teorema é análoga à demonstração do teorema 1.[br] Dado um cilindro circular com área da base A e altura h, construa um paralelepípedo de base A e altura h. Como A′ = A = A′′ e a área do cilindro é igual a A · h, segue, pelo Princípio de Cavalieri, que os dois sólidos possuem o mesmo volume e, portanto, o volume V do cilindro é tal que V = A · h.[br][br]
Fig(2)
Princípio de Cavalieri
Bibliografia
[br][br]https://brasilescola.uol.com.br/matematica/principio-cavalieri.htm[br][br]https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/principio-cavalieri.htm[br][br][url=https://www.obaricentrodamente.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html]https://www.obaricentrodamente.com/2009/12/o-principio-de-cavalieri.html[/url][br][br][url=https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/3674/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Kariton%20Pereira%20Lula%20-%202013.pdf]https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/3674/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Kariton%20Pereira%20Lula%20-%202013.pdf[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/dp6g2TSv]https://www.geogebra.org/m/dp6g2TSv[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/j6pdn6mp]https://www.geogebra.org/m/j6pdn6mp[/url][br]
