A GeoGebra kiemelt jelentőségű, ikonként is megjelenő geometriai transzformációi között egy olyan szerepel, amely nem törzsanyag a középiskolai tananyagban, noha megismeréséhez bőven elegendőek a középiskolai ismeretek. Ez az inverzió, másképpen a körre vonatkozó tükrözés. Ismerkedjünk meg vele.

Az ikonhoz tartozó információ azt kéri a felhasználótól, hogy adjon meg egy pontot, majd az alapkört. Az ikont használva a tükrözendő objektumként nem csak pontot hanem egyéb szerkesztett rajzot, (példánkban háromszöget, függvénygörbét, vagy bármilyen rajz-objektumokból álló listát) is megadhatunk. Az Inverzió ikon mellett (helyett) természetesen a parancssor is használható a transzformáció megadására. A Tükrözés(A,k) parancs viszont kör helyett elfogad egyenest, szakaszt, pontot, síkot is). Ezzel természetesen egyenesre, pontra síkra vonatkozó tükörképet állíthatunk elő.

Az előző applet alapján meggyőződhettünk arról, hogy valóban körre vonatkotó tükrözés lehet a művelet, hiszen a körön kívüli pont képe a körön belül van, és viszont. De valóban tükrözés-e? A geometriában ugyanis minden tükrözésnek nevezett transzformációnak (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, síkra vonatkozó tükrözés) meg kell egyeznie az inverzével (fordítottjával), vagyis minden pont tükörképének a tükörképe az eredeti pont. Erről az alábbi pontos definíció győzhet meg bennünket: Definíció:

• Az O középpontú r sugarú k(O,r) körre vonatkozó inverzión azt a pont-transzformációt értjük, amely a k kör síkjának minden O -tól különböző P pontjához azt a P'=φ(P) pontot rendeli, melyre P' az [O,P) félegyenesnek az a pontja, amelyre OP∙OP'=r². (Vagyis a P' pont illeszkedik az O kezdőpontú, P-t tartalmazó félegyenesre, továbbá az OP és OP' szakaszok mértani közepe r.)

Az alábbi applet (és a derékszögű háromszögre megfogalmazott befogótétel) meggyőzhet bennünket arról, hogy ezzel az elemi szerkesztéssel az alapkör középpontját kivéve megszerkeszthető a sík bármely pontjának az inverze, függetlenül attól, hogy az kívül, vagy belül van a körlapon.

Miután megadtuk, hogy a sík pontjainak miként értelmezzük az inverzét, rendre felvethetők, az alábbi kérdések:

• Hogyan értelmezzük egy geometriai alakzat (egyenes, szakasz, sokszögvonal, sokszöglap, kör, stb.) inverzét? Nyilvánvalóan olyan definíciókat kell alkotnunk, hogy az alakzat pontjainak az inverze rendre illeszkedjen az inverz alakzatként értelmezett alakzatra. és viszont.
• Mi lesz az alapkör középpontjára nem illeszkedő (ill. illeszkedő) egyenes inverze?
• Mi lesz az alapkör középpontjára nem illeszkedő (ill. illeszkedő) kör inverze?
• Milyen geometriai alakzatok lesznek "szimmetrikusak" egy adott inverzióra nézve? Egyáltalán: hogyan értelmezhető az "inverzióra nézve szimmetrikus" tulajdonság?
• Melyek lesznek a geometriai alakzatok és inverzeik közötti invariáns (az inverzió során változatlanul maradó) kapcsolatok? (Pl. merőlegesség, az alakzatok szögei.)

E kérdésekre adható válaszok megsejtéséhez könnyen eljuthatunk egy-egy önállóan megszerkesztett GeoGebra fájl elkészítésével, viszont a kapott sejtések igazolásához szükségünk lehet némi ( középiskolás szintű elemi geometriai) segítségre. Javasoljuk olvasóinknak, hogy az alábbi appleteket csak saját kísérleteik elvégzését követően nézzék meg.

Addig, amíg ez egyenes inverzére vonatkozó sejtésünk igazolásához elegendő volt a derékszögű háromszögre megfogalmazott befogó tétel, jelen esetben kissé mélyebb elemi geometriai ismereteket fogunk felhasználni, ezért előbb idézzük fel azokat az ismereteinket, amelyre az alábbi bizonyításban szükségünk lehet.

• Egy adott körhöz és egy adott pontra illeszkedő egyeneshez tartozó szelődaraboknak nevezzük az adott pontból az egyenes és a kör metszéspontjaihoz húzott szakaszokat.
• A kör kerületi szögeire vonatkozó tétel felhasználásával igazolható, hogy egy adott ponthoz és körhöz tartozó bármely egyenes két szelődarabja mérőszámainak az előjeles szorzata független az egyenes megválasztásától. E szorzat akkor negatív, ha az adott pont a kör belső pontja, vagyis a pontból a kör és az egyenes két metszéspontjáig húzott szakaszok ellentétes irányúak.
• Az így kapott szelődarabok szorzatát az adott pont adott körre vonatkozó hatványának nevezzük.
• Legyen adott a c(K,s) kör és egy D pont, amelyre d=DK! Belátható, hogy D-nek a c körre vonatkozó hatványa h =d²-s² , függetlenül attól hogy D kívül van-e a c körön, vagy sem.

Ezek előrebocsátásával vizsgáljuk meg a kör inverzére vonatkozó sejtésünket, és ennek az igazolását.

A fenti appletben lényegében azt láttuk be, hogy a c körnek egy O centrumú centrális nyújtással kapott képe lesz a c kör k-ra vonatkozó inverze. A bizonyítás független attól, hogy a c kör tartalmazza-e az O pontot, vagy sem. Azonban azt érdemes megfigyelni az animáció bekapcsolásával, hogy ha c nem tartalmazza O-t,akkor c és c' körüljárási iránya ellentétes, ha tartalmazza, akkor azonos. Olvasóinkra bízzuk az alábbi - némi számolást igénylő - állításnak az igazolását:

• A c kör k-körre vonatkozó inverzének az S középpontja a k kör O középpontja c-re vonatkozó inverzének a k-ra vonatkozó inverze, azaz S=φ_k(φ_s(O)). Tehát nem igaz, hogy egy kör inverzének a középpontja a kör középpontjának az inverze.

További megállapítások:

• Ha c illeszkedik O-ra, akkor c' egyenessé fajul, mint ez várható volt.
• Ha K=O, vagyis a k alapkör és c koncentrikus, akkor c' is koncentrikus velük.
• Ha két kör (vagy egy kör és egy egyenes) érinti egymást, akkor inverzeik is érintő helyzetűek.

A fenti bizonyítás különleges esete az, amelyben a c és c' közötti centrális nyújtás mértéke 1, vagyis ha r²=d²-s². Ekkor a c kör egybeesik az inverzével. Ezzel az esettel célszerű kissé részletesebben foglalkoznunk.

• Ha egy k(O,r) körre vonatkozó inverzióban egy alakzat inverze önmaga, akkor azt mondjuk, hogy az alakzat erre az inverzióra nézve invariáns. Ez azt jelenti, hogy ha egy P pont illeszkedik az alakzatra, akkor ennek az inverze is illeszkedik ugyanerre az alakzatra.
• Például egy O-ra illeszkedő egyenes invariáns. Ha egy A pont inverze A' , akkor az AA' szakasz invariáns.
• A k körvonal pontjai a k-ra vonatkozó inverzió fix pontjai: egybeesnek az inverzükkel.
• Ha egy c kör illeszkedik az egy A pontra, és ennek a k körre vonatkozó inverzére A'-re is, akkor c az inverzió invariáns köre. A k alapkör két olyan ívre vágja c-t, amelyek egymás inverzei.
• Ha c invariáns a k körre vonatkozó inverzióra nézve, akkor k is invariáns a c körre vonatkozó inverzióra nézve. Ekkor a metszéspontjukba húzott érintőik merőlegesek egymásra. Azt mondjuk, hogy a k és c körök merőlegesek egymásra. A körök közötti merőlegesség szimmetrikus reláció.
• Legyen A inverze k-ra A', továbbá legyen B a sík egy tetszőleges pontja. Az A , A' és B pontok egyértelműen meghatároznak egy k-ra merőleges kört. Így az az A és A' pontokra végtelen sok, k-ra merőleges kör illeszkedik. ( Ha A, A' és B egy egyenesre esik, akkor a kör egyenessé fajul.)

Mint láttuk, egy körre vonatkozó inverzió egy egyenest általában körbe, szakaszt körívbe visz át. Így az alakzatok szögeire eddig nem használt értelmezést kell adnunk.

• Két metsző kör szögén a körök metszéspontjaiba húzott érintőinek a szögét értjük. Az egymást érintő körök szöge 0°.

• Két egymást metsző kör mindkét metszéspontjához tartozó szöge ugyanakkora.
• Ha az a és b egyenes az M pontban metszi egymást, akkor az összes a-t M-ben érintő összes körnek az összes b-t M-ben érintő körrel bezárt szöge ugyanakkora.
• Az inverzió két egymást metsző körének és egy adott k körre vonatkozó inverzeiknek a szöge ugyanakkora, vagyis az inverzió szögtartó transzformáció.

Az inverziónak ezt az igen fontos tulajdonságát igazoljuk az alábbi appletben.

• Adott a k kör belsejében az A és B pont. Szerkesszük meg azt a kört, amely illeszkedik az adott pontokra és merőlegesen metszi k -t!

• Adott két, egymást merőlegesen metsző kör, k és s , valamint a  k  körlap belsejében a P  pont. Szerkesszük meg azt a P -re illeszkedő m kört, amely  merőleges k -ra és s -re is. (Vizsgáljuk külön a  P∈s  és az  P∉s  eseteket!)

• Adott a  k  kör, valamint a  k  körön belül az A és B pont. Szerkesszük meg  azt a k -ra merőleges  s  kört, melyre vonatkozóan  A  és  B  egymás inverzei!

• Legyen adott a  k  kör, valamint a  k -ra merőleges, de egymást nem metsző  s  és g kör. Szerkesszük meg azt az m kört, amely mindhárom adott kört merőlegesen metszi!

A fenti négy (elemi) feladat megoldása ötletet adhat az alábbi absztrakcióra:

• Legyen adott egy k kör! Nevezzük "sík" -nak a k által meghatározott nyitott körlapot, a "sík " "pontjai"-nak a k kör belső pontjait, "egyenes"-nek a k -t merőlegesen metsző köröknek a "sík" -ra eső köríveit, "tengelyes tükrözés"-nek az "egyenesek" -re vonatkozó inverziót!

Ezt az absztrakciót elfogadva vizsgáljuk meg, hogy érvényesek-e alábbi állítások:

1. A "sík" bármely két "pontjára" egy és csak egy "egyenes" illeszkedik;
2. Egy "egyenes" a síkot két "félsíkra" osztja;
3. A"félsíkok" pontjait a "határegyensükre" vonatkozó "tükrözés" felcseréli.
4. A "sík" minden pontjára pontosan egy olyan "egyenes" illeszkedik, amely egy adott "egyenesre"   merőleges.
5. Két "ponthoz" egy és csak egy "tükörtengely" tartozik.

Gyanakvóbb olvasóinknak bizonyára feltűnt e faladatok tendenciózus összeállítása. Valóban így van. Aki az okokat keresi várhatóan itt megtalálja. E sorok írója szeretné, ha így lenne.