Funktionentypen
lineare, quadratische und sonstige Funktionentypen
Table of Contents
- Lineare Funktionen
- Lineare Funktionen
- Schnittpunkte mit den Achsen
- Quadratische Funktionen
- Einfache Parabeln
- Punktprobe
- Transformation
- Parabeltrainer
- Parabeltester
- Schnittpunkte mit den Achsen (quadratische Funktionen)
- Ganzrationale Funktionen (Polynome)
- Potenzfunktionen
- Globalverhalten ganzrationaler Funktionen
- Spiel: Grad von ganzrationalen Funktionen erkennen
- Transformation ganzrationaler Funktionen
- Sinusfunktionen
- Transformation von Sinusfunktionen
Lineare Funktionen
Allgemeine Form einer linearen Funktion
blablubb
teste mal
Einfache Parabeln
Vom Bekannten zum Neuen
Du kennst bereits die linearen Funktionen. Sie lassen sich durch den Funktionsterm y=m[math]\cdot[/math]x+n beschreiben. [br]Quadratische Funktionen erkennst du daran, dass der Term am x ein Quadrat enthält!
Teil 1: Gestreckte und gestauchte Parabeln
Die einfachste Form der [i]quadratischen Funktionen [/i]lässt sich mit der Formel[math]f\left(x\right)=a\cdot x^2[/math] beschreiben. [br]Wie du schon von den linearen Funktionen der Form [math]f\left(x\right)=m\cdot x[/math] kennst, startet auch diese im Ursprung, da sie kein [i]absolutes Glied, [/i]also kein "+n" angehängt hat. [br][br]Der Graph einer quadratischen Funktion nennt sich [b]Parabel[/b] und ist durch folgende Merkmale zu erkennen:[br]- die Parabel ist [i]achsensymmetrisch[/i]: wenn man die y-Achse wie ein Buch zusammenklappt, passen die Teile genau aufeinander, sie hat links genau die gleichen Werte wie rechts[br]- die Parabel hat eine ungleichmäßige Steigung: zur Null hin wird er flacher, danach wieder steiler[br]- die Parabel sieht aus wie ein Bogen
Achsensymmetrie: Bewege den Punkt über den Schieberegler!
Steigung und Scheitelpunkt
Beobachte einmal die Steigung: Stell dir vor, du fährst von links nach rechts auf der Parabel Skateboard![br]Dann beginnst du mit einer sehr steilen Steigung, die immer flacher wird, bis du schließlich im [b]Scheitelpunkt [/b](der höchste bzw. niedrigste Punkte der Parabel) angekommen bist.[br]Am Scheitelpunkt hat die Parabel die [b]Steigung 0[/b]. Danach beginnt sie wieder flach zu steigen und wird immer steiler.
Aussehen der Parabel: Verändere die Werte für a und beobachte, wie sich die Parabel verändert!
Verschiedene Vorfaktoren von Parabeln
Wie du in den beiden Animationen gesehen hast, kannst du das Aussehen der Parabel verändern, indem du den Vorfaktor von [math]f\left(x\right)=a\cdot x^2[/math] veränderst. Die Grundform der Parabel mit ihrer [i]Achsensymmetrie[/i] bleibt jedoch erhalten.[br]Die Parabel wird [b]breiter[/b], wenn die Werte zwischen 0schmaler, wenn die Werte a>1 oder a<-1 sind.[br]Das Vorzeichen von a bestimmt nur, ob die Parabel nach [b]unten[/b] oder [b]oben[/b] geklappt ist.
Teil 2: Quadratische Funktionen zeichnen
Wenn du quadratische Funktionen zeichnen sollst, ist die einfachste Methode, sich Stellen herauszusuchen und deren y-Werte zu berechnen. Hast du ein paar Punkte eingezeichnet, kannst du schwungvoll einen Bogen dadurch zeichnen. Achte darauf, dass der Bogen achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll und im Scheitelpunkt am flachsten ist.[br][br]Beispiel:[br][math]f\left(x\right)=0,5\cdot x^2[/math] --> berechne die Werte z.B. für die Stellen x=1 und x=2[br][br][math]f\left(1\right)=0,5\cdot1^2=0,5\cdot1=0,5\Rightarrow A\left(1\mid0,5\right)[/math] da diese Parabeln auch achsensymmetrisch sind, liegt auch [math]B\left(-1\mid0,5\right)[/math] auf dem Graphen.[br][math]f\left(2\right)=0,5\cdot2^2=0,5\cdot4=2\Rightarrow C\left(2\mid2\right)[/math], aus der Achsensymmetrie folgt auch hier, dass [math]D\left(-2\mid2\right)[/math] ebenfalls auf dem Graphen liegt.[br][br]Diese 4 Punkte legst du nun in ein Koordinatensystem und zeichnest einen Parabelbogen durch!
gezeichnete Funktion
Potenzfunktionen
Potenzfunktionen allgemein
Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, die nur aus einem einzigen Summanden der Form [math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math] mit [math]a\in\mathbb{R}[/math] und [math]n\in\mathbb{N}[/math]. Für den Vorfaktor [i]a [/i]kannst du also alle beliebigen, reellen Zahlen einsetzen, auch welche mit negativem Vorzeichen. Der Exponent [i]n [/i]darf hingegen nur eine natürliche Zahl sein.[br][br]In den folgenden Animationen sollst du untersuchen, wie sich die Form der Potenzfunktionen in Abhängigkeit von den Parametern [i]a [/i]und [i]n[/i] verändert. Im Buch ab S.14 kannst du weitere Beispiele finden.[br][br]Fasse deine Beobachtungen auf dem Lernzettel zusammen.
Potenzfunktionen für n gerade
Potenzfunktionen für n ungerade
Potenzfunktionen allgemein
Transformation von Sinusfunktionen
Die Sinusfunktion als Beschreibung für eine Welle
Mithilfe der Sinusfunktion lassen sich ebene Wellen beschreiben. Die Standardsinusfunktion f(x)=sin(x) startet in (0|0) und schwankt dann periodisch zwischen den Werten 1 und -1. [br]Die "Breite", "Höhe" und der "Startwert" der Sinusfunktion lassen sich recht einfach verändern, indem man Faktoren und Summanden an den richtigen Stellen hinzufügt. [br][br]Die Fachbegriffe dafür lauten:[br][i]Amplitude[/i]= der maximale Ausschlag der Sinusfunktion[br][i]Frequenz[/i]= Schwingungen pro Sekunde, also wie viele Nulldurchläufe die Sinusfunktion in einem Intervall der Breite 1 hat.[br][i]Phasenverschiebung[/i]= Verschiebung entlang der x-Achse