[right][size=85][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](19.02.2023)[br][/b][/color][/size][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right]

[size=85]Das Applet zeigt [math]x=\mathbf{const}[/math], bzw. [math]y=\mathbf{const}[/math] Kurven der [color=#9900ff][i][b]elliptischen[/b][/i][/color] [b]WEIERSTRASS[/b]schen [math]\wp[/math]-[color=#38761D][i][b]Funktion[/b][/i][/color] [math]x+i\cdot y=z\mapsto g(z)[/math],[br]deren [b][i][color=#9900ff]elliptische Differentialgleichung[br][/color][/i][/b][list][b][i][color=#9900ff][/color][/i][/b][*][b][i][color=#9900ff][/color][/i][/b][math]\left(g'\right)^2=c\cdot g\cdot\left(g-0\right)\cdot\left(g-e^{i\cdot\varphi}\right)\cdot\left(g-e^{-i\cdot\varphi}\right)=c\cdot g\cdot\left(g^2-\left(e^{i\cdot\varphi}+e^{-i\cdot\varphi}\right)+1\right)[/math][/*][/list]lautet mit den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten [/b][/i][/color] [math]f_0=0[/math], [math]f=e^{i\cdot\varphi}[/math] und [math]f'=e^{-i\cdot\varphi}[/math] auf der [math]x[/math]-Achse. Der [b][color=#cc0000]4[/color][/b].-te [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist [math]\infty[/math].[br]Die [b][i][color=#00ff00]Brennunkte[/color][/i][/b] liegen [b][i][color=#BF9000]spiegelsymmetrisch[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b], hier die [math]x[/math]-Achse und der [b][i][color=#f1c232]Einheitskreis[/color][/i][/b].[br]Daher sind für geeignetes [math]c\in\mathbb{C}[/math] die Lösungskurven [b]1-teilige[/b] [b][i][color=#ff0000]bizirkulare[/color][/i][/b] [b][i][color=#38761D]konfokale[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b].[br][br]Das Erstellen diese Applets war sehr aufwendig, alle Kurven wurden als Ortskurven konstruiert.[br]Leider Ist es uns nicht gelungen, die impliziten Quartik-Gleichungen für diese Kurven zu bestimmen.[br]Da sie [b]1-teilig[/b] sind, handelt es sich auch nicht um [b][i][color=#0000ff]CARTESISCHE Ovale[/color][/i][/b].[br][br][b][color=#38761D]Für Hinweise sind wir sehr dankbar![br][/color][br][/b]Für [b][color=#cc0000]2[/color][/b] spezielle Lagen der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] ergeben sich weitere [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] als [b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b].[br][b][i][color=#9900ff]Quadrat-Fall oder harmonische Lage: [/color][/i][/b][color=#9900ff][color=#000000]für die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]f=i,f'=-i[/math], sind die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sowohl [b][i][color=#ff0000]konzyklisch[/color][/i][/b], als auch [b][i][color=#BF9000]spiegelsymmetrisch[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b]: daher existieren [b]2-teilige[/b] und [b]1-teilige[/b] [b][i][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/i][/b]. [br]Sie schneiden sich unter Vielfachen von [b][color=#cc0000]45°[/color][/b].[br][br][b][i][color=#9900ff]Hexagonal-Fall:[/color][/i][/b] Für [math]\varphi=\pm30°[/math] erfüllt jede Paarbildung der [b][i][color=#cc0000]4[/color][/i][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]e die oben-genannte Bedingung: [b][i][color=#BF9000]spiegelbildlich[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b], es gibt [b][color=#cc0000]3[/color][/b] Scharen von [b][i][color=#38761D]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b]. Sie schneiden sich unter Vielfachen von [b][color=#cc0000]30°[/color][/b].[br]Auf der [b][i][color=#0000ff]Möbiusquartik[/color][/i][/b] kann man die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] als Eckpunkte eines [b][i]regulären Tetraeders[/i][/b] anordnen.[/color][/color][br][/size]