A sugársorok-ciklusok témakörét kicsit továbbgondolva felvetődhet a kérdés, miként lehetne kialakítani egy olyan kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést, mint amit a Descartes-féle koordináta rendszer létesít az euklideszi sík és a valós számokból álló számpárok között.[br][br]Az imént láttunk két, egymásra merőleges számegyenest az ultrapárhuzamos sugársor és a hiperciklusok halmaza közötti kapcsolat elemzésekor. Az (x.y) valós számpár és az euklideszi sík pontjai közötti hozzárendelést Descartes úgy oldotta meg. hogy az X tengelynek megfelelő számegyenesen kijelölte az x valós számnak megfelelő P[sub]x[/sub] pontot, ugyanígy az Y tengelyen az y-nak megfelelő P[sub]y [/sub]pontot. Majd ezeken át az X ill. Y tengelyre merőleges egyeneseket állítva ezek metszéspontjaként kaptuk meg a P[sub]xy[/sub] pontot. Ez az út a hiperbolikus geometriában nem járható, ugyanis elég nagy x és y szám esetén a tengelyekre bocsátott merőlegesek nem fogják egymást metszeni.[br] [br]Másik lehetőség az euklideszi geometriában az, hogy az x → P[sub]x [/sub]hozzárendelést követően az X tengelyre merőlegesen állítjuk elő a P[sub]x[/sub] kezdőpontú x-re merőleges számegyenest, amelyen kijelölhetjük a P[sub]xy [/sub]pontot.[br]A két megadás az euklideszi geometriában egyenértékű, az O, P[sub]x[/sub] , P[sub]xy [/sub]P[sub]y[/sub] téglalapnak - az euklideszi párhuzamossági axiómából következő - tulajdonságai miatt.[br][br]A P-modellen azonban csak ez az utóbbi a járható út. Így az azonos abszcisszájú (x értékű) pontok egy egyenesen, míg az azonos ordinátájú ( y értékű) pontok egy hipercikluson helyezkednek el.[br][br]Vajon van-e ettől különböző lehetőség? Olyan, az előzőtől lényegesen különböző (x,y) →P[sub]xy [/sub]hozzárendelés is létesíthető a P-modellen, amelyen mind az azonos abszcisszájú, mind az azonos ordinátájú pontok egy-egy a tengeleyktől x ill. y távolságú pontok mértani helyeként kapott hiperciklusok metszéspontjaként áll elő (az előzőtől nyilvánvalóan különböző P[sub]xy[/sub] pont.[br][br]Mindkét rendszerben megoldható az euklideszitől alaposan különböző képet mutató függvényábrázolás.[br][br]Az alábbi applet jellegéből adódóan sok számolást igényel, ezért a hálózaton keresztül alkalmazva a legtöbb esetben lassú. Emiatt[b] nyomatékosan kérjük felhasználóinkat, hogy ha tehetik, töltsék le a saját gépükre, és offline üzemmódban futtassák a kapott ggb fájlt. [/b]

Az applet nyolc, bizonyára jól ismert, vagy könnyen lerajzolható függvény képét mutatja be ebben a kétféle - elég bizarr rajzokat eredményező - koordináta rendszerben. Azok az olvasóink, akik letöltik az appletet, ezeket a függvényeket könnyedén átírhatják más, érdekesnek ígérkező függvényre. [br][br]Figyeljük meg, az [i]y=x[/i] függvény rajzát. Az könnyen észrevehető, hogy, ha az azonos ordinátájú pontok egy H-egyenesre illeszkednek, a függvény képe nem H-egyenes. Így amikor először hallottuk az iskolában azt a feladatot, hogy „rajzoljuk le a koordináta rendszerben az [i]y =x[/i] [u]egyenest[/u]”, akkor tulajdonképpen elfogadtuk az euklideszi párhuzamossági axiómát, ha nem is tudtunk róla. (az y=x függvényt kivéve a másik koordináta rendszerben sem lesz egy elsőfokú függvény képe egyenes.[br][br]Az viszont valóban érdekes megállapítás, hogy az [i]y=x[/i] függvény rajza nem függ a távolságegység megválasztásától.[br][br]Valóban bizarr képeket kapunk a függvényeinkről? A koordináta rendszerünk origója közeli zoomolással ( ⊕,⊖ parancsok) nagyítsuk az alapkörünk sugarát a [i]t[/i] távolság közel 50 szeresére. [br][br][b]Tudjuk,[/b] hogy a koordináta rendszerünk egész számainak megfelelő rács H-egyenesekből és hiperciklusokból - tehát körívekből - áll, ezeket azonban egyre inkább egyenes vonalaknak [b]látjuk.[/b] Maguk a függvények pedig egyre inkább felveszik az ismert alakjukat. Még akkor is, ha a koordináta rendszer origóját kimozdítottuk az alapkör középpontjából.[br][br]Úgy is mondhatnánk, hogy ha a P modell alapkörének a sugara eléggé nagy, akkor épp úgy nem érzékeljük, hogy nem az euklideszi síkon, hanem a P-modellen dolgozunk, mint ahogy egy szobában nem érzékeljük, hogy egy gömb alakú bolygón élünk.[br][br]Ezek a messzire vezető gondolatok azonban már túlmutatnak a kitűzött feladatukon, a Bolyai geometria lényegének, legegyszerűbb fogalmainak a megismerésén. [br]