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Ganzrationale Funktionen EF
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1. Ganzrationale Funktionen Einstieg
- Video: Ganzrationale Funktionen - Matheretter
- Übung zur Definition ganzrationaler Funktionen
- Wiederholung und Erarbeitung: Verschiebung von Funktionen
- Transformation ganzrationaler Funktionen
- Ganzrationale Funktionen untersuchen
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2. Grenzwertverhalten Ganzrationaler Funktionen
- Ganzrationale Funktionen für x --> +/- unendlich
- Übung Verhalten gegen +/- Unendlich
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3. Symmetrie von ganzrationalen Funktionen
- Achsensymmetrie
- Punktsymmetrie
- Symmetrie an der Funktionsgleichung erkennen
- Beispiele zur Berechnung der Symmetrie
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4. Nullstellen einer ganzrationalen Funktion
- Nullstellen ganzrationaler Funktionen
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5. Mittlere Änderungsrate - Differenzenquotient
- Differenzenquotient
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6. Momentane Änderungsrate - Ableitung
- Die momentane Änderungsrate
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Ganzrationale Funktionen EF
Elias Anand, Oct 26, 2024
Ganzrationale Funktionen EF
Table of Contents
- Ganzrationale Funktionen Einstieg
- Video: Ganzrationale Funktionen - Matheretter
- Übung zur Definition ganzrationaler Funktionen
- Wiederholung und Erarbeitung: Verschiebung von Funktionen
- Transformation ganzrationaler Funktionen
- Ganzrationale Funktionen untersuchen
- Grenzwertverhalten Ganzrationaler Funktionen
- Ganzrationale Funktionen für x --> +/- unendlich
- Übung Verhalten gegen +/- Unendlich
- Symmetrie von ganzrationalen Funktionen
- Achsensymmetrie
- Punktsymmetrie
- Symmetrie an der Funktionsgleichung erkennen
- Beispiele zur Berechnung der Symmetrie
- Nullstellen einer ganzrationalen Funktion
- Nullstellen ganzrationaler Funktionen
- Mittlere Änderungsrate - Differenzenquotient
- Differenzenquotient
- Momentane Änderungsrate - Ableitung
- Die momentane Änderungsrate
Ganzrationale Funktionen Einstieg
S. 44 (Lambacher Schweizer)
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1. Video: Ganzrationale Funktionen - Matheretter
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2. Übung zur Definition ganzrationaler Funktionen
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3. Wiederholung und Erarbeitung: Verschiebung von Funktionen
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4. Transformation ganzrationaler Funktionen
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5. Ganzrationale Funktionen untersuchen
Video: Ganzrationale Funktionen - Matheretter
Video: Ganzrationale Funktionen - Matheretter
Ganzrationale Funktionen für x --> +/- unendlich
Verändere mit Hilfe der Schieberegler die Koeffizienten der ganzrationalen Funktion und beobachte, wie sich das Schaubild verändert. Den Grad der Funktion kannst du mit Hilfe der Schieberegler damit auch zwischen 0 und 6 verändern. Beachte insbesondere den Einfluss des Grades und des Leitkoeffizienten auf das Schaubild.
Kleine Anmerkung am Rande: Der Grad der Nullfunktion wird per Konvention auf minus unendlich gesetzt. Denn dadurch ist die allgemeingültige Formel
Grad von = Grad von + Grad von
auch für den Fall zutreffend, dass oder die Nullfunktion ist.
Achsensymmetrie
Der Graph einer Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse,
wenn für alle Werte gilt: .
Der Ausdruck heißt für den Graphen übersetzt, dass die y-Werte des Graphens links und rechts der y-Achse beide gleich sind – also z.B. . Wenn dies für alle Werte gilt, so ist die Funktion achsensymmetrisch.
Verschiebe in der Abbildung den Schieberegler. Dir wird jeweils die Stelle und angezeigt. Dabei kannst du beobachten, dass an diesen Stellen die roten Linien immer gleich lang sind; also die y-Werte immer den gleichen Wert besitzen.
Nullstellen ganzrationaler Funktionen
Selbstlernaufgaben zur Bestimmung von Nullstellen
1) Ausklammern
Erklärvideo Ausklammern
Aufgabe
Bestimme die Nullstellen durch Ausklammern.
a) f(x)=x2-4x
b) f(x)=x3-3x2
c) f(x)=2x3-4x
Zum Überprüfen deiner Lösungen kannst du dir die Graphen der Funktionen anzeigen lassen.
Differenzenquotient
Lassen Sie sich mit folgendem Applet eine Funktion, sowie ein zufälliges Intervall generieren. Ihre Aufgaben sind dann folgende:
a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten auf dem Intervall.
b) Interpretieren Sie die Bedeutung ihres Ergebnisses.
c) Sagen Sie mit Hilfe des Funktionsgraphen das Aussehen der zugehörigen Sekante voraus.
d) Ermitteln Sie die Sekantengleichung.
e) Wiederholen Sie die Aufgabe mit einem Klick auf "neue Funktion generieren".
Die momentane Änderungsrate
Zu schnell oder noch okay?
Alex hat Pauls Fahrt mit dem Auto über den Live-Standort auf dem Handy gemessen und die Entfernung zum Startpunkt gegen die Zeit aufgetragen. Alex weiß, dass man auf der gesamten Strecke nicht schneller als 50km/h fahren darf. Hat sich Paul daran gehalten?
Der so entstehende Graph ist unten abgebildeten.
Wie man damit die Frage von Alex beantworten kann, werden Sie jetzt herausfinden:
Aufgabe 1:
Beschreibe zunächst mit eigenen Worten, was genau in dem Applet abgebildet ist, indem du vollende Fragen beantwortest:
Welche Koordinaten hat der Punkt A?
Welche Koordinaten hat der Punkt B?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Der Punkt A hat die x-Koordinate und die y-Koordinate also den Wert von f, wenn der Wert in diese eingesetzt wird.
Der Punkt B hat die x-Koordinate und ist somit um größer als der Wert für . Die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen von in die Funktion f.
b)
Schreib dir die Punkte nochmal auf und setze diese dann in die Formel für den Differenzenquotienten ein:
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Aufgabe 2:
a)
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate für die erste halbe Stunde der Fahrt. Verschieben Sie dazu die Schieber für und auf die passenden Werte.
Geben Sie die mittlere Änderungsrate in das Feld unten ein und überprüfen Sie Ihr Ergebnis.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
25.2
b)
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate für die zweite halbe Stunde der Fahrt. Verschieben Sie dazu die Schieber für und auf die passenden Werte.
Geben Sie die mittlere Änderungsrate in das Feld unten ein und überprüfen Sie Ihr Ergebnis.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
37.2
c)
Entscheiden Sie, in welche Hälfte der Zeit Paul durchschnittlich schneller gefahren ist.
Zurück zur eigentlichen Frage
So, jetzt sollten Sie sich mit dem GeoGebra- Applet schon etwas auseinandergesetzt haben. Jetzt können wir uns um die eigentliche Frage kümmern.
Aufgabe 3:
Alex überlegt, wann Paul in dem Zeitraum wohl am schnellsten gewesen ist.
Geben Sie den Bereich an, in dem Sie vermuten, dass Paul am schnellsten war.
Hier ist das Applet von oben noch einmal, damit Sie nicht scrollen müssen :)
Aufgabe 4:
Stellen Sie den Schieber für auf =1 und zoomen Sie stark an den Punkt A heran.
Untersuchen Sie, wie sich die Sekante verändert, wenn sie mit dem Schieber vergrößern oder verkleinern. Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Mögliche Antwort: Je kleiner h wird, desto näher kommt die Sekante der Funktion f. Die Sekante nähert sich also für kleiner werdende Werte für h der Funktion f in dem Punkt an.
Aufgabe 5:
a)
Bestimmen Sie mit dem Applet die Differenzenquotienten für und
Tragen Sie die Werte in ihr Heft ein!
.
Beschreiben Sie, wie sich die Werte verändern.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Mögliche Antwort:
Die Werte nehmen ab, scheinen aber nicht unter 63 zu fallen.
b)
Formulieren Sie eine Schätzung, wie schnell Paul zu diesem Zeitpunkt tatsächlich gefahren sein wird.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Sie werden es noch herausfinden und können dann schauen, wie nah sie dran waren ;)
Das hier ist ein NEUES Applet, dass den Begriff der Tangente einführt.
Aufgabe 6:
In dem Applet oben wurde eine Gerade mit der Bezeichnung Tangente eingeführt. Erklären Sie kurz was genau diese Tangente sein könnte.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Mögliche Antwort:
Die Tangente Ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen in einem Punkt schneidet. Dabei schmiegt sie sich dem Funktionsgraphen so sehr an, dass sie in dem Schnittpunkt die selbe Steigung hat, wie die Funktion selbst.
Die Tangente kann durch Sekanten angenähert werden, indem der Abstand zwischen den beiden Schnittstellen unendlich klein gemacht wird.
Aufgabe 7:
Nutzen sie die Tangente um die Steigung die Geschwindigkeit von Paul zu dem Zeitpunkt zu bestimmen, an dem er genau eine Stunde gefahren war.
Geben Sie die Geschwindigkeit an.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
63.2 km/h
Überprüfen Sie, ob Sie bei der Aufgabe 5 b) gut geschätzt haben. Wenn ja herzlichen Glückwunsch!
Aufgabe 8:
Suchen Sie unter Verwendung des Applets die Zeitpunkte, an denen Paul exakt 50kmh und 30kmh schnell gefahren ist.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
50 km/h: nach 0.9 Stunden
30 km/h: nach ca. 0.69 und ca. 0.11 Stunden.
Aufgabe 9:
Ist Paul nach einer Stunde am Ziel angekommen?
Begründen Sie unter Verweis auf die Funktion und die Erkenntnisse aus den vorherigen Aufgaben.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Nein, da er nach einer Stunde, also an der Stelle =1 eine Geschwindigkeit von 63.2 km/h hat und somit nicht zu stehen scheint.
Für die Schnellen:
Sie haben jetzt herausgefunden, dass die momentane Änderungsrate an der Stelle durch den Differenzenquotienten bestimmt werden kann, wenn man x unendlich klein werden lässt. Es muss also der bestimmt werden.
Abb.1.
*Aufgabe 10:
In der Abbildung Abb.1. oben wird die momentane Änderungsrate der Funktion mit an der Stelle rechnerisch bestimmt. Versuchen Sie den Rechenweg nachzuvollziehen und zu beschreiben, wie genau in den einzelnen Schritten vorgegangen wird.
a) Beschreiben Sie, was in den blau markierten Schritten 1-3 passiert.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Mögliche Antwort:
Es wird zunächst der Wert in den Differenzenquotienten eingesetzt. Anschließend wird für die Funktionsgleichung eingesetzt. Da die Funktion die Vorschrift hat, werden die Klammern jeweils quadriert.
b) Beschreiben Sie, was in den blau markierten Schritten 4 und 5 passiert.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Mögliche Antwort:
Die Klammern werden aasmultipliziert und schließlich aufgelöst. wird hier als normale Variable gehandhabt.
c) Beschreiben Sie, was in den blau markierten Schritten 6 und 7 passiert.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Mögliche Antwort:
Durch das Kürze mit ist nun nur noch der Term übrig. Wenn hier unendlich klein, also Null wird, bleibt nur die 6 übrig. Dementsprechend ist die momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle gleich 6.
Saving…
All changes saved
Error
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