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Sie planen im November gemeinsam mit Freunden für den Kurs Plätzchen zu backen. Es sollen Spritzgebäck, Vanillekipferl und Butterplätzchen zum Ausstechen werden.[br]Folgende Zutaten werden gebraucht:[br]Spritzgebäck: 150g Butter, 100g Zucker, 200g Mehl, 2 Eier, 120g Mandeln[br]Vanillekipferl: 300g Mehl, 4 Eier, 120g Zucker, 100g Mandeln, 220g Butter[br]Butterplätzchen: 250g Butter, 400g Mehl, 200g Zucker, 2 Eier [br][br]a) Stellen Sie die Zutaten jedes Rezepts als Vektoren dar. Achten Sie auf eine einheitliche Reihenfolge! (Warum eigentlich?)[br]b) Berechnen Sie die Einkaufsliste (für die Zutaten aller Rezepte gemeinsam).[br]c) Definieren Sie eine Rechenoperation für die Rezept-Vektoren, mit der Sie die Einkaufsliste erstellen können.
[math]\overrightarrow{Rezept}=\begin{pmatrix}Butter \\ Zucker \\ Mehl \\ Eier \\ Mandeln \end{pmatrix}[/math][br][br]a) [math]\overrightarrow{Spritzgebäck}=\begin{pmatrix}150g \\ 100g \\ 200g \\ 2St \\ 120g \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Vanillekipferl}=\begin{pmatrix}220g \\ 120g \\ 300g \\ 4St \\ 100g \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Butterplätzchen}=\begin{pmatrix}250g \\ 200g \\ 400g \\ 2St \\ 0g \end{pmatrix}[/math][br]Wenn man die Zutaten immer gleich sortiert, hat man ein Muster und kann die Rezeptvektoren direkt vergleichen. [br][br]b) Da die Zutaten in allen Rezeptvektoren gleich sortiert sind, kann man für die Einkaufsliste die Komponenten der Vektoren einfach addieren.[br] [math]\overrightarrow{Einkaufsliste}=\overrightarrow{Spritzgebäck}+\overrightarrow{Vanillekipferl}+\overrightarrow{Butterplätzchen}[/math][br][br][math]\overrightarrow{Einkaufsliste}=\begin{pmatrix}Butter \\ Zucker \\ Mehl \\ Eier \\ Mandeln \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}150g \\ 100g \\ 200g \\ 2St \\ 120g \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}220g \\ 120g \\ 300g \\ 4St \\ 100g \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}250g \\ 200g \\ 400g \\ 2St \\ 0g \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}620g \\ 420g \\ 900g \\ 8St \\ 120g \end{pmatrix}[/math][br][br]c) Definition der Vektoraddition:[br][math]\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ ... \\v_n \end{pmatrix}[/math] und [math]\vec{w}=\begin{pmatrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4 \\ ... \\w_n \end{pmatrix}[/math][br][math]\vec{v}+\vec{w}=\begin{pmatrix}v_1+w_1 \\ v_2+w_2 \\ v_3+w_3 \\ v_4+w_4 \\ ... \\v_n+w_n \end{pmatrix}[/math]
Da Vanillekipferl weniger beliebt sind, dafür aber Spitzgebäck umso mehr und das Ausstechen und Verzieren der Butterplätzchen besonders viel Spaß macht, beschließen Sie die doppelte Menge an Spritzgebäck, die halbe Menge an Vanillekipferl und die dreifache Menge an Butterplätzchen zu backen. [br]d) Berechnen Sie die neue Einkaufsliste.[br]e) Für die Rechnung in d) haben Sie ebenfalls eine Rechenoperation für Vektoren genutzt, die Multiplikation mit einem Faktor. Formulieren Sie dafür eine Definition.
[math]\overrightarrow{Spritzgebäck}=\begin{pmatrix}150g \\ 100g \\ 200g \\ 2St \\ 120g \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Vanillekipferl}=\begin{pmatrix}220g \\ 120g \\ 300g \\ 4St \\ 100g \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Butterplätzchen}=\begin{pmatrix}250g \\ 200g \\ 400g \\ 2St \\ 0g \end{pmatrix}[/math][br][br]d) Doppelte Menge Spritzgebäck bedeutet [math]2 \cdot \overrightarrow{Spritzgebäck}[/math] oder [math]\overrightarrow{Spritzgebäck}+\overrightarrow{Spritzgebäck}[/math].[br]Also kann man einfach die einzelnen Komponenten verdoppeln, oder halbieren, oder verdreifachen.[br][math]\overrightarrow{Einkaufsliste_{neu}}=2 \cdot \overrightarrow{Spritzgebäck}+ \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{Vanillekipferl}+3 \cdot \overrightarrow{Butterplätzchen}[/math][br][br][math]\overrightarrow{Einkaufsliste_{neu}}=2 \cdot \begin{pmatrix}150g \\ 100g \\ 200g \\ 2St \\ 120g \end{pmatrix}+\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}220g \\ 120g \\ 300g \\ 4St \\ 100g \end{pmatrix}+3 \cdot \begin{pmatrix}250g \\ 200g \\ 400g \\ 2St \\ 0g \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}300g \\ 200g \\ 400g \\ 4St \\ 240g \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}110g \\ 60g \\ 150g \\ 2St \\ 50g \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}750g \\ 600g \\ 1200g \\ 6St \\ 0g \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1160g \\ 860g \\ 1750g \\ 12St \\ 290g \end{pmatrix}[/math][br][br]e) Definition der Multiplikation eines Vektors [math]\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ ... \\v_n \end{pmatrix}[/math] mit einer reellen Zahl [math]r[/math]:[br][math]r \cdot \vec{v}=r \cdot \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ ... \\v_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r \cdot v_1 \\ r \cdot v_2 \\ r \cdot v_3 \\ r \cdot v_4 \\ ... \\r \cdot v_n \end{pmatrix}[/math][br]
Im Ergebnisbericht "[url=https://bmdv.bund.de/SharedDocs/DE/Anlage/G/mid-ergebnisbericht.pdf?__blob=publicationFile]Mobilität in Deutschland[/url]" (2017) findet sich die unten aufgeführte Grafik. Sie stellt die Verteilung der täglichen Wege einer Person auf die unterschiedlichen Verkehrsmittel differenziert nach Stadt- und Landregionen dar.[br]a) Geben Sie für jeden Raumtyp einen Mobilitätsvektor an.[br]b) Betrachten Sie nun die Stadt Ihrer Schule. Wählen Sie den dazu passenden Raumtyp und ermitteln Sie anhand der Einwohnerzahl die zurückgelegten Kilometer der Stadt pro Mobilitätsart pro Tag.[br]c) Geben Sie einen (gemittelten) Mobilitätsvektor für einen Landkreis (ländliche Region) an, in dem ein Drittel der Einwohner im Dorf, ein Drittel in der Mittelstadt und ein Drittel in der zentralen Stadt wohnt.
a) Stadtregion[br][math]\overrightarrow{Metropole}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 15 \\ 7 \\ 12 \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Regiopole}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 17 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}[/math];[math]\overrightarrow{Mittelstadt_S}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 23 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Kleinstadt}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 26 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}[/math][br][br]Ländliche Region[br][math]\overrightarrow{zentraleStadt}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 19 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Mittelstadt_L}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 22 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Dorf}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 29 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix}[/math][br][br]b) Landau (Pfalz) hat 49.000 Einwohner (Stand: 1/2025) und ist eine Mittelstadt in ländlicher Region:[br][math]\overrightarrow{Mobi_{Landau}}=49.000 \cdot \overrightarrow{Mittelstadt_L}=49.000 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 22 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}49.000 \\ 49.000 \\ 1.421.000 \\ 232.000 \\ 145.000 \end{pmatrix}[/math][br][br]c) [math]\overrightarrow{Landkreis}=\frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{zentraleStadt}+\frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{Mittelstadt_L}+\frac{1}{3} \cdot \overrightarrow{Dorf}[/math][br][math]\overrightarrow{Landkreis}=\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 19 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}+\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 22 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix}+\frac{1}{3} \cdot\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 29 \\ 8 \\ 5 \end{pmatrix}[/math][br][br][math]\overrightarrow{Landkreis}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{19}{3} \\ \frac{8}{3} \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{22}{3} \\ \frac{22}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{29}{3} \\ \frac{8}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ \frac{4}{3} \\ \frac{70}{3} \\ 8 \\ \frac{16}{3} \end{pmatrix}[/math]
Instagram hat das Ziel für jeden Nutzer den am besten passenden Inhalt zu präsentieren, damit sich die Nutzer möglichst lange auf der Plattform aufhalten. [br]Ein KI-gestützter aber auch regelbasierter Algorithmus entscheidet darüber, welcher Content in welcher Reihenfolge in den Feeds der Instagram-Nutzer, auf der Entdecken-Seite, im Reels-Feed, auf den Hashtag-Seiten usw. auftaucht.[br]Der Instagram-Algorithmus analysiert jeden einzelnen Inhalt, der auf der Plattform gepostet wird. Dabei bezieht er Metadaten (einschließlich Bildunterschriften und ALT-Texte zu Fotos), Hashtags und Engagement-Kennzahlen mit ein. Nehmen Sie an, der Algorithmus bewertet alle Posts nach den folgenden[br]Kriterien mit Kennzahlen (in Realität sind es weit mehr Kriterien): [br][list=1][*]Relevanz (Nähe zu Trend-Themen und wie neu der Post ist)[br][/*][*]Interaktion (Anzahl der Kommentare/Likes/... aller Nutzer bisher mit dem Post)[/*][*]Interesse (Anzahl der Interaktionen des Nutzers mit Content aus dem Themenbereich des Posts)[/*][*]Beziehung Ersteller-Betrachter (Anzahl der gegenseitigen Interaktionen, gegenseitigem Folgen)[/*][*]Netzwerk (Anzahl der Accounts, die dem Ersteller folgen)[br][/*][/list][br]Um aus den Unmengen von Daten zu Posts und Nutzern die obigen Kennzahlen zu generieren wird KI eingesetzt. Nehmen Sie vereinfachend an, dass die Kennzahlen Werte von 0...10 annehmen können.[br][br]Betrachten Sie nun folgende Posts:[br][br]a) Kamela Harris[i] „…I know Donald Trump’s type.“ von Anfang August 2024 (zum Start ihrer Kandidatur im US-Wahlkampf)[/i][br][math]Relevanz=1 \ ; \ Interaktion=6 \ ; \ Netzwerk=9[/math] [br][br]b) Toni Kroos[i] „lasst es nicht mehr los! Der Weg dieser Mannschaft geht weiter. “ von Anfang Juli 2024 (nach seinem Rückzug aus der Nationalmannschaft nach der EM 2024)[/i][br][math]Relevanz=1 \ ; \ Interaktion=7 \ ; \ Netzwerk=10[/math] [br][br]c) Letzte Generation[i] „Oil kills … internationale Flughafenkampagne“ von Ende Juli 2024 (Unterstützungsaufruf für Kampagne)[/i][br][math]Relevanz=1 \ ; \ Interaktion=4 \ ; \ Netzwerk=7[/math] [br][br]und nehmen Sie als Nutzer sich (oder eine/n Mitschüler/in) und Ihre/n Mathelehrer/in. [br]Schätzen Sie für beide Nutzer die Kennzahlen für das [math]Interesse[/math] und die [math]Beziehung[/math] für die drei Posts.[br]Stellen Sie dann für beide Nutzer Rankingvektoren für die drei Posts auf.
[math]\overrightarrow{Rankingvektor}=\begin{pmatrix}Relevanz \\ Interaktion \\ Interesse \\ Beziehung \\ Netzwerk \end{pmatrix}[/math][br] [br]a) Kamlea Harris[br][math]\overrightarrow{SchülerIn_K}=\begin{pmatrix}1 \\ 6 \\ 2 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}[/math]; [math]\overrightarrow{Lehrkraft_K}=\begin{pmatrix}1 \\ 6 \\ 4 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}[/math][br][br]b) Toni Kroos[br][math]\overrightarrow{SchülerIn_T}=\begin{pmatrix}1 \\ 7 \\ 7 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}; \overrightarrow{Lehrkraft_T}=\begin{pmatrix}1 \\ 7 \\ 5 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}[/math][br][br]c) Letzte Generation[br][math]\overrightarrow{SchülerIn_L}=\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 8 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}; \overrightarrow{Lehrkraft_L}=\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 6 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}[/math]
