Bis wohin muss man Toricellis Trompete füllen (ausgehend von [math]x=1[/math]), damit sie halb voll ist?[br][br]Um diese Frage zu beantworten, muss natürlich zuerst geklärt werden, welches Volumen sie hat, wenn sie ganz gefüllt ist.
Berechne im ersten Schritt [math]V_N=\pi\cdot\int_1^N(\frac{1}{x})^2dx[/math].
Was ergibt sich für [math]N\to\infty[/math]?
Für [math]N\to\infty[/math] geht [math]\pi\cdot(1-\frac{1}{N})[/math] gegen [math]\pi[/math].
Nun kann man die obige Frage erneut und präziser stellen:[br]Für welches [math]N[/math] ist [math]V_N=\frac{1}{2}\pi[/math]?
Wegen [math]V_N=\pi\cdot\left(1-\frac{1}{N}\right)[/math] muss untersucht werden, für welches [math]N[/math] der Ausdruck in der Klammer [math]=\frac{1}{2}[/math] ist.