Sea [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a7a366ba3cc8f60d9d97fccbca4ff7e00edaba[/img] una curva suave a trozos parametrizada por una función [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a0beeee4a96a162b4440002200e0f885ec0ae1[/img], si [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda2855e490ef9b473c36497549aa3a416454ddb[/img] es un [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar]campo escalar[/url] continuo, la integral de línea del campo escalar [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] sobre [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] (también llamada integral de trayectoria), está definida como [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b7fb248678e8f7a00517ba6448197d50e39413[/img]La función [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a0beeee4a96a162b4440002200e0f885ec0ae1[/img] es una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica]parametrización[/url] [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva]biyectiva[/url] arbitraria de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] donde  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33961c093c1fd3636fcd1f9a54ae2b370dd3138[/img] y )[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e5f0587ec4a4ab631c61e3af13b955283973f8[/img] son los puntos iniciales y finales respectivamente. En particular, cuando =1[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60eab5895ca5fe74555e9d59e499c94e1d2ef3f4[/img], entonces obtenemos la longitud de la curva [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img], esto son Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica]parametrización[/url] de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img], esto es, si [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] es una curva simple orientada y [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8476d2ba832661f8979ab4d6ed822319d785e7[/img] denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d855d755ac1c80d0be6acfc4882c95977de044[/img][br][br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Line_integral_of_scalar_field.gif/220px-Line_integral_of_scalar_field.gif[/img][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Line-Integral.gif][img width=300,height=275]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Line-Integral.gif[/img][/url][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Line-Integral.gif][/url]Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.[br]Geométricamente, cuando el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar]campo escalar[/url] [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] está definida sobre el plano [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b321005be9f1e34bdc13cb7ad823d3899b0bd9ca[/img], su gráfica es una superficie [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eefb2840000f404c8c0f3f5d6d72f2624854591[/img] en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valla entre la base de la imagen de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] y la gráfica de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img].Deducción Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann]sumas de Riemann[/url] [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca805f5a6c6548a825d119230ab751152321ff1[/img].Comencemos subdividiendo el intervalo [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935[/img] por medio de la partición [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dde99a5204a9c5385888d120fabf39f25e1ecc5[/img]lo anterior conduce a una descomposición de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1[/img] en trayectorias [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed603561819ebd007acd75a0931d3ba401ad677a[/img] definidas en el intervalo[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5847784c78dde5ff1000d6a2885311bb3bc4a95[/img] para [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45d6c8fd86db1b4d7512ee824a713b374bd3500[/img], si denotamos la longitud de arco de[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed603561819ebd007acd75a0931d3ba401ad677a[/img] por [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a369483db37c9ede89254f876794b6373c400435[/img] entonces [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ffc5f5415c963a9b29620920bb859b15ef2fe4[/img]Cuando →∞[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23159ea0d291e21c5709a6dd7486bed7f18febe[/img], es decir, [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3[/img] es grande, la longitud de arco [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a369483db37c9ede89254f876794b6373c400435[/img] es pequeña y [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] es aproximadamente constante para puntos en [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed603561819ebd007acd75a0931d3ba401ad677a[/img]. Consideremos las sumas donde )[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7216e69d28fdb11c29c859f015a284c1ec6f06ac[/img] está definida para [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74ba28db7893372d54339c022fa854065c38302[/img].Por el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio]teorema del valor medio[/url], [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc6cd70d66b63dd35dfc3313333c5a826ab82dd[/img] donde [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ecf1f103a93ce33ebabb0dff68d57a672c854cf[/img] y [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa47f1a9b88c5bf4946bedc4440dfe59d7d6b1d[/img]. A partir de la teoría de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann]sumas de Riemann[/url] puede demostrarse que Ejemplo 1Se desea evaluar la integral de línea sobre la hélice [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c2f5b47717481824429989850c490d0b25c464[/img], )[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378cb965816d2d7eea986fd4843c24c10bd08631[/img].En primer lugar notemos que [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4607ff4dbcbb292030ce91bba8ab1ce7b2c1d[/img]por lo que [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee97fc716dbf2e7d0c56d3fe8905c41ae4ef46c[/img]Y como [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d826d3939524bcb9d11a20478b508d2d2ee3aed[/img]Entonces[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60de7c88aba7a745abc99613a63b1d9c2ba27a27[/img][br]Integral de línea de un campo vectorial Definición Sean [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ef192c40c3ff114283e4f96b14945c08ad32f4[/img] un [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial]campo vectorial[/url] continuo en una región [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1caefb347c86337ea7cd0c354acd2294bd7d81d[/img] y [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403df774931f856d98b8771ce404076768afc6ac[/img] una curva suave a trozos parametrizada por una función [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a0beeee4a96a162b4440002200e0f885ec0ae1[/img], la integral de línea del campo vectorial [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256[/img] sobre [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] en la dirección de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0f46511c4c986c48b254073732c0bd98ae0c1[/img], está definida como .[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edb3cd30c40791cc8fa110f8669b000f480a19c[/img]donde ⋅[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2c023bad1bd39ed49080f729cbf26bc448c9ba[/img] es el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar]producto escalar[/url] y la función [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a0beeee4a96a162b4440002200e0f885ec0ae1[/img] es una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica]parametrización[/url] [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva]biyectiva[/url] arbitraria de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] donde  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43025a21c70d2da843f3a0e0e99bb6a8396d1963[/img] y  [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd207c8fbfe6f8212347725d44011c3e8285784[/img] son los puntos iniciales y finales respectivamente. Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img], no son independientes de la orientación de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img], para este tipo de integrales, si [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] es una curva simple orientada y [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8476d2ba832661f8979ab4d6ed822319d785e7[/img] denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d473ee50ce91aafd71f84e9e322d2c73b7186fd[/img]Relación con las integrales de línea de campos escalares Para trayectorias [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a0beeee4a96a162b4440002200e0f885ec0ae1[/img] que satisfagan [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3515e414719cf710b00c6232e462109dc33f8ac[/img] si denota un vector tangente unitario a [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] entonces∫[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1bff3db9c5dd3f11f4fff12bce1f41dbf12067[/img]donde [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a834b4a85a39e13b007b57e5212c5e7e496ff197[/img], por lo tanto Forma diferencial Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256[/img] es un campo vectorial en 2[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd[/img] de la forma=()[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740539805c1a167f98c8eca883835a40c1b95f23[/img] y [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029[/img] es una curva parametrizada por [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484cab2cf90e698a13c6fb3e1ec829cfe8df3ecf[/img] entonces [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd61e1bcaf2696307da184a12896b96c92eb5c13[/img]Decimos que la expresión [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193080736e61c9b119d6f0d26894ab6c2045bed0[/img] es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en 3[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5[/img].